MathemaTriX ⋅ Schluss und Prozentrechnung

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Direkte Proportionalität

1. 1. 1980 €
   2. 132000 Flaschen
2. 1. $\ x=0{,}0224\ \ l\quad$
   2. $\ x\approx 14344\ {\text{ min}}$
3. 1. $\ x=0{,}0735\ \ kg\quad$
   2. $\ x\approx 916{,}7\ l$
4. 1. $\ x\approx 0{,}125\ \ t\quad$
   2. $\ x=7,3\ Tage$
5. 1. $\ x\approx 26717\ \ Liter\quad$
6. 1. $\ x=92{,}25\ \ t\quad$
   2. $\ x=20\ {\text{Kühe}}$
7. 1. $\ x=115\ {\text{Menschen}}$
   2. $\ x=17{,}5\ \ km^{2}\quad$
8. 1. $\ x=320\ m$
   2. $\ x=28\ \ g\quad$

Indirekte Proportionalität

Typ A

1. $9\ {\text{Stunden}}\qquad$
2. $65\ {\text{g}}\qquad$
3. $371\ {\text{€}}\qquad$
4. $1{,}4\ {\text{kWh}}\qquad$
5. $7{,}8\ {\text{Tage}}\qquad$
6. $21\ {\text{Tage}}\qquad$
7. $3\ {\text{Stücke}}\qquad$
8. 100000 €

Typ B

1. 1,5 Tage später
2. 34 Tage
3. 20 Jahre
4. 7 Kinder je 3 Stücke und 14 Kinder je 6 Stücke
5. 1,5 Tage später
6. 34 Tage
7. 15,5 Tage
8. 100000 €

Vergleich direkter und indirekter Proportionalität

1. 1. 1,65 kWh
   2. $3{,}{\dot {8}}\ {\text{kWh pro h}}$
   3. 1,25 Milliarden Menschen
   4. $36{,}9{\dot {4}}\ {\text{kWh}}$
2. 1. 525 €
   2. 87,5 €
   3. 3937,5 €
3. 1. 9,375 mal (durchschnittlich)
   2. 7 mal
   3. ca. 7,2 mal (durchschnittlich)
4. 1. 3,15 h
   2. 14 h
   3. 19,6875 h
5. 1. $325\ t$
   2. 11,7 Tage
   3. 6 Tage
6. 1. 40,5 Tage
   2. ca. 11,6 Tage
   3. ca. 3.8 Tage
7. 1. 14 Kinder
   2. 9 Kinder
   3. 20 Tage
8. 1. 4,2 Tage
   2. 25 Tage
   3. 27 Arbeiter

Prozentrechung Begriffe

Grundaufgaben der Prozentrechnung

1. 1. $\ x\approx 23170\%\quad$
   2. $\ x=1225{,}67\ kg\quad$
   3. $\ x\approx 0{,}432\ {\text{kg}}\quad$
2. 1. $\ x\approx 61786\ {\text{V}}\quad$
   2. $\ x\approx 0{,}162\%\quad$
   3. $\ x\approx 1{,}94\ {\text{V}}\quad$
3. 1. $\ x\approx 58{,}82\%\quad$
   2. $\ x=170\ {\text{h}}\quad$
   3. $\ x=1{,}7\ {\text{h}}\quad$
4. 1. $\ x\approx 0{,}0026\ {\text{h}}\quad$
   2. $\ x\approx 3830000\%\quad \$
   3. $x\approx 11{,}1\ {\text{h}}\quad$
5. 1. $\ x=40\ {\text{h}}\quad$
   2. $\ x=625000\%\quad \$
   3. $x=0{,}016\ {\text{h}}\quad$
6. 1. $\ x=180000\ {\text{h}}\quad$
   2. $\ x=50\ {\text{h}}\quad \$
   3. $x=200\%\quad$
7. 1. $\ x=125000\ {\text{Volt}}\quad$
   2. $\ x=0{,}08\%\quad \$
   3. $x=0{,}98\ {\text{Volt}}\quad$
8. 1. $\ x=250\%\quad$
   2. $\ x=40\ {\text{h}}\quad \$
   3. $x=7{,}225\ {\text{h}}\quad$

Vertiefende Aufgaben der Prozentrechnung

Prozentrechnung und Brüche

1. ✘, ✔, ✔
2. ✘, ✘, ✘
3. ✘, ✔, ✔
4. ✔, ✘, ✔
5. ✘, ✔, ✔
6. ✘, ✘, ✘
7. ✘, ✔, ✔
8. ✔, ✘, ✔

Prozentrechnung bei Wachstum und Abnahme

Prozentrechnung bei Wachstum oder Zerfall

1. $1755\ {\text{€}}\qquad 45\ {\text{€}}$
2. $24\ {\text{cm}}\qquad 36\ {\text{cm Unterschied (das ist 60}}\ \%{\text{ von 60 cm)}}$
3. $60\ {\text{cm}}\qquad 36\ {\text{cm Unterschied (das ist 150}}\ \%{\text{ von 24 cm)}}$
4. $685100\ {\text{€}}\qquad 35100\ {\text{€ mehr}}$
5. $71{,}4\ {\text{kg}}\qquad 3{,}4\ {\text{kg}}$
6. $68{,}4\ {\text{kg}}\qquad 3{,}6\ {\text{kg}}$
7. $3{,}91\ {\text{min}}\qquad 0{,}51\ {\text{min}}$
8. $50\ {\text{Jahre}}\qquad 30\ {\text{Jahre mehr}}$

Umkehraufgaben der Prozentrechnung

1. $4{,}5\ {\text{kW}}$
2. $3\ {\text{m}}$
3. $35\ {\text{cm}}$
4. $0{,}24\ {\text{kW}}$

Erklärung der Prozent- und Schlussrechnung

Kombinationsaufgaben der Prozentrechnung

1. 1. $7\ {\text{Stunden}}$
   2. 77% reduziert
2. 1. $2{,}4\ cm\qquad$
   2. 2,5% zurückgegangen
3. 1. $1750\ {\text{€}}\qquad$
   2. 0,8% erhöht
4. 1. $15\ {\text{t}}\qquad$
   2. 9,2% erhöht
5. 1. $155\ {\text{cm}}$
   2. ca. 12,28% reduziert
6. 1. $2{,}5\ cm\qquad$
   2. keine Änderung
7. 1. $350\ {\text{ml}}\qquad$
   2. ca. 43% mehr
8. 1. $440\ {\text{ml}}\qquad$
   2. keine Änderung

Prozentrechnung vertiefend

1. 1. ca. 65,07%
   2. 150% mehr
   3. relative Änderung der Studierenden zwischen 1994-1996
   4. ca. 33,45% mehr
   5. 44%, da der Grundwert unterschiedlich ist
   6. ca. 58,62%
   7. Für 12 km sind 6 min notwendig, mit 5% mehr Geschwindigkeit (126 km/h) ca. 5,71 min. Das ist ca. 4,76% weniger
2. 1. fast 14878 Todesfälle
   2. 62802 Todesfälle
   3. ca. 13,86%
   4. Der Grundwert ist nicht gleich
   5. 8% ist die Änderung der täglichen Zigaretten, für die Todesfälle gilt: ${\tfrac {27^{2}-25^{2}}{25^{2}}}=16{,}64\%\$
   6. Die Anzahl der Menschen, die mit dem Rauchen aufhören, bei der der Gewinn sich verdoppelt
   7. Relative Änderung des Gewinns, wenn die Anzahl der Menschen, die mit dem Rauchen aufhören, sich von 241 auf 303 erhöht
3. 1. ca. 56,87%
   2. ca. 42,86%
   3. Relative Änderung der Anzahl der Einwohner zwischen von 2001 auf 2003
   4. ca. 2,3%
   5. 15,5%, da der Grundwert nicht gleich ist
   6. ca. 13.41%
   7. Für 5 km sind 6 min notwendig, mit 20% mehr Geschwindigkeit (60 km/h) 5 min. Das ist ca. 16,67% weniger
4. 1. ca. 107.1 MWh
   2. ca. 1334.0 MWh
   3. ca. 5.98%
   4. Der Grundwert ist nicht gleich
   5. Das Verhältnis der Durchmesser ist zwar ${\tfrac {1}{10000}}\$(0,01% ist 1/10000), das Volumen allerdings ist die dritte Potenz des Durchmessers, also das Verhältnis ist ${\tfrac {1}{10000^{3}}}$
   6. Halbwertszeit
   7. Relative Änderung der Menge der Atome vom 4. auf das 5. Jahr

Relative Änderung

1. 1. $0{,}4\ ^{\circ }{\text{C}}$
   2. $0\%$
   3. $1{,}{\dot {6}}\%$
   4. Die Temperatur in der Zeit $t_{2}$ ist um 3,2% weniger als in der Zeit $t_{1}$
   5. Die Temperatur in der Zeit $t_{1}$ ist um 2,4% weniger als in der Zeit $t_{2}$
2. 1. ca. 42 Prozenteinheiten
   2. $ca.100\%\qquad$
   3. Schmutz zwischen 8. und 16. Minute um 25% reduziert (20 Prozenteinheiten, von 80% auf 60%)
   4. Wenn man Blautrex benutzt bleibt in der Zeit $t_{2}$ 3,2% weniger Schmutz als in der Zeit $t_{1}$
   5. Wenn man Linix benutzt, gibt es in der Zeit $t_{1}$ immer noch 202,4% mehr Schmutz als in der Zeit $t_{2}$
3. 1. $ca.1{,}2\ ^{\circ }{\text{C}}$
   2. $66{,}{\dot {6}}\%$
   3. $0\%,\$Temperatur gleich geblieben
   4. Die Temperatur in der Höhe $h_{2}$ ist um 303,2% mehr als in der Höhe $h_{1}$
   5. Die Temperatur in der Höhe $h_{1}$ ist um 102,4% mehr als in der Höhe $h_{2}$
4. 1. 2 Millionen Menschen
   2. 300% erhöht
   3. 100% erhöht, die Bevölkerung hat sich in dieser Zeit verdoppelt
   4. Die Bevölkerung in der Stadt Grün war in der Zeit $t_{2}$ um 3,2% mehr als in der Zeit $t_{1}$
   5. Die Bevölkerung in der Stadt Schwarz war in der Zeit $t_{1}$ um 2,4% weniger als in der Zeit $t_{2}$

Prozentrechnung abstrakt

1. 1. $20\%\qquad$
   2. 8,7 Jahre
   3. Männer ca. 79,4 Jahre, Frauen ca. 80,7 Jahre
   4. Quoten in der höheren Altersstufe
   5. Einfluss anderer Faktoren. Studien nach kann es großenteils (40%-60% des Unterschieds) stimmen.
   
   
2. 1. $50\%\qquad$
   2. $33{,}{\dot {3}}\%\qquad$
   3. $125\%\qquad$
   4. $55{,}{\dot {5}}\%$
   
   
3. 1. $50\%\qquad$
   2. $1462{,}5\%\qquad$
   3. $60\%\qquad$
   4. $84\%$
   
   
4. 1. $30\%\qquad$
   2. 8 Jahre
   3. Männer 77,8 Jahre, Frauen 80,2 Jahre
   4. Quoten in der höheren Altersstufe
   5. Einfluss anderer Faktoren. Studien] nach, kann es großenteils (40%-60% des Unterschieds) stimmen.
   
   
5. 1. Die stärkste Partei (V) hatte 39% der Stimmen, also weniger als die nicht Wähler.
   2. 75% WENIGER
   3. 90%
   4. 800%
   5. 2%
   6. 11,28%
   
   
6. 1. $100\%\qquad$
   2. $50\%\qquad$
   3. $300\%\qquad$
   4. $75\%$
   
   
7. 1. $800\%\qquad$
   2. $2600\%\qquad$
   3. $66{,}{\dot {6}}\%\qquad$
   4. $88{,}{\dot {8}}\%$
   
   
8. 1. Die stärkste Partei (V) hatte 29,4% der Stimmen, also weniger als die nicht Wähler.
   2. 200%
   3. 90%
   4. 800%
   5. 13,3%
   6. 13,93%
   
   

Umsatzsteuer (USt.) und Rabatt

Umsatzsteuer (USt.)

1. BVP: 56 €, USt.: 6 €
2. NVP: 60 €
3. 12,5%
4. NVP: 75 €

Rabatt

1. BVP: 66 €
2. PnR: 572 €
3. 12%
4. 6%

USt. und Rabatt Kombination

USt. und Rabatt Gegebener Anfangswert

USt. und Rabatt Gegebener Endwert

1. NVP: 60 €, Rabatt: 9,9 €, USt.: 6 €
2. NVP: 85 €, Rabatt: 20%
3. NVP: 455 €, BVP: 527,8 €, Rabatt: 131,95 €, USt.: 72,8 €
4. NVP: 88 €, BVP: 110 €, Rabatt: 22 €, USt.: 22 €

USt. und Rabatt Kombinationsaufgaben

1. 
   

   $\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$
   	$\$Bsp. 1$\$	$\$Bsp. 2$\$
   Nettoverkaufspreis €	$\$55$\$	$\$780€$\$
   Umsatzsteuer %	60%	25%
   Umsatzsteuer €	33	195€
   Bruttoverkaufspreis €	88€	975
   Rabatt %	37,5%	20%
   Rabatt €	33€	195€
   Preis nach dem Rabatt €	55€	780€

2. 
   

   $\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$
   	$\$Bsp. 1$\$	$\$Bsp. 2$\$
   Nettoverkaufspreis €	$\$336000€$\$	$\$420€$\$
   Umsatzsteuer %	10%	20%
   Umsatzsteuer €	33600	84€
   Bruttoverkaufspreis €	369600€	504€
   Rabatt %	3%	5%
   Rabatt €	11088€	25,2€
   Preis nach dem Rabatt €	358512€	478,8€

3. 
   

   $\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$
   	$\$Bsp. 1$\$	$\$Bsp. 2$\$
   Nettoverkaufspreis €	$\$914,94$\$	$\$780€$\$
   Umsatzsteuer %	14,1%	25%
   Umsatzsteuer €	129€	195€
   Bruttoverkaufspreis €	1043,94€	975
   Rabatt %	10%	20%1
   Rabatt €	104,39€	95€
   Preis nach dem Rabatt €	939,55€	780€

4. 
   

   $\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$
   	$\$Bsp. 1$\$	$\$Bsp. 2$\$
   Nettoverkaufspreis €	$\$3500€$\$	$\$84$\$
   Umsatzsteuer %	14%	10%
   Umsatzsteuer €	490€	8,4€
   Bruttoverkaufspreis €	3990€	92,4€
   Rabatt %	10%	10%
   Rabatt €	399€	9,24€
   Preis nach dem Rabatt €	3591€	83,16€

5. 
   

   $\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$
   	$\$Bsp. 1$\$	$\$Bsp. 2$\$
   Nettoverkaufspreis €	$\$55€$\$	$\$3500€$\$
   Umsatzsteuer %	60%	14%
   Umsatzsteuer €	33€	490€
   Bruttoverkaufspreis €	88€	3990€
   Rabatt %	37,5%	10%
   Rabatt €	33€	399€
   Preis nach dem Rabatt €	55€	3591€

6. 
   

   $\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$
   	$\$Bsp. 1$\$	$\$Bsp. 2$\$
   Nettoverkaufspreis €	$\$420€$\$	$\$55€$\$
   Umsatzsteuer %	20%	60%
   Umsatzsteuer €	84€	33€
   Bruttoverkaufspreis €	504€	88€
   Rabatt %	5%	37,5%
   Rabatt €	25,2€	33€
   Preis nach dem Rabatt €	478,8€	55€

7. 
   

   $\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$
   	$\$Bsp. 1$\$	$\$Bsp. 2$\$
   Nettoverkaufspreis €	$\$60€$\$	$\$85€$\$
   Umsatzsteuer %	10%	14%
   Umsatzsteuer €	6€	11,9€
   Bruttoverkaufspreis €	66€	96,9€
   Rabatt %	15%	20%
   Rabatt €	9,9€	19,38€
   Preis nach dem Rabatt €	56,1€	77,52€

8. 
   

   $\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle:$\$
   	$\$Bsp. 1$\$	$\$Bsp. 2$\$
   Nettoverkaufspreis €	$\$455€$\$	$\$40€$\$
   Umsatzsteuer %	16%	10,5%
   Umsatzsteuer €	72,8€	4,2€
   Bruttoverkaufspreis €	527,8€	44,2€
   Rabatt %	25%	5%
   Rabatt €	131,95	2,21€
   Preis nach dem Rabatt €	395,85€	41,99€

Zinsen und Kapitalertragssteuer (KESt.)

Zinsrechnung Begriffe

Zinsen

KESt., effektive Zinsen, Guthaben nach einem Jahr

2. $G\approx 6397{,}19\ {\text{€}}\quad$
   $Z\approx {\text{38,21 € }}\quad$
   $eZ\approx {\text{28,66 € }}\quad$
   $KESt.\approx {\text{9,55 € }}$
4. $G\approx 7660{,}89\ {\text{€}}\quad$
   $Z\approx {\text{268,54 € }}\quad$
   $eZ\approx {\text{201,41 € }}\quad$
   $KESt.\approx {\text{67,14 € }}$
6. $G\approx 6454{,}51\ {\text{€}}\quad$
   $Z\approx {\text{114,63 € }}\quad$
   $eZ\approx {\text{85,98 € }}\quad$
   $KESt.\approx {\text{28,66 € }}$
8. $G=80840\ {\text{€}}\quad$
   $Z={\text{1120 € }}\quad$
   $eZ={\text{840 € }}\quad$
   $KESt.={\text{280 € }}$

Effektiver Zinssatz

Zinsen Umkehraufgaben

2. $G=6340\ {\text{€}}\quad$
   $eZs=0{,}45\%$
4. $G\approx 7263{,}37\ {\text{€}}\quad$
   $eZs=2{,}7\%$
6. $G\approx 6283{,}70\ {\text{€}}\quad$
   $eZs=1{,}35\%$
8. $G\approx 79168{,}73\ {\text{€}}\quad$
   $eZs=1{,}05\%$

Zinsrechnung

1. 1. $G_{45}\approx 7794{,}47\ {\text{€}}$
2. 1. $G_{15}\approx 11124{,}11\ {\text{€}}$
3. 1. $G_{158}\approx 52989{,}79\ {\text{€}}$
4. 1. $G_{106}\approx 242069{,}28\ {\text{€}}$