Primzahlen: VI. Kapitel: Verschiedene Primzahl-Arten

Primzahlen

Verschiedene Arten von Primzahlen

Cullen-Zahl

Eine Cullen-Zahl ist eine Zahl der Form $C_n = n\cdot 2^n+1$, mit der sich Reverend James Cullen 1905 beschäftigt hat. Ihm fiel auf, dass außer $C_1=3$ alle Zahlen dieser Form bis $C_{99}$ zusammengesetzte Zahlen, also keine Primzahlen sind. Seine Unsicherheit bezüglich $C_{53}$ konnte von Allan J.C. Cunningham 1906 ausgeräumt werden, indem dieser den Teiler 5519 fand. Cunningham zeigte, dass alle $C_n$ bis $n=200$ zusammengesetzt sind, mit einer möglichen Ausnahme für $n=141$.

1958 bestätigte Raphael M. Robinson, dass $C_{141}$ eine Primzahl ist und wies nach, dass alle Cullen-Zahlen $C_n$ mit $n \le 1000$, mit Ausnahme von $C_1$ und $C_{141}$ zusammengesetzte Zahlen sind.

Wilfrid Keller hat 1984 gezeigt, das $C_{4713}$, $C_{5795}$, $C_{6611}$ und $C_{18496}$ ebenfalls Primzahlen sind, aber alle anderen $C_n$ mit $n \le 30.000$ zusammengesetzte Cullen-Zahlen sind.

Inzwischen (Juli 2004) ist bekannt, dass $C_n$ für folgende n Primzahlen sind: 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899 und 1354828. Außer diesen gibt es keine Cullen-Primzahlen bis n=1150000.

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Cullen-Primzahlen gibt.

Woodall-Zahl

Eine Zahl der Form $C_n = n\cdot 2^n-1$ wird Cullen-Zahl der zweiten Art oder auch Woodall-Zahl genannt (nach H.J. Woodall, der sie 1917 beschrieb).

Im Bereich von $n \le 20.000$ sind nur die Woodall-Zahlen C^'₂, C^'₃, C^'₆, C^'₃₀, C^'₇₅, C^'₈₁, C^'₁₁₅, C^'₁₂₃, C^'₂₄₉, C^'₃₆₂, C^'₃₈₄, C^'₄₆₂, C^'₅₁₂, C^'₇₅₁, C^'₈₈₂, C^'₅₃₁₂, C^'₇₇₅₅, C^'₉₅₃₁, C^'₁₂₃₇₉, C^'₁₅₈₂₂ und C^'₁₈₈₈₅ Primzahlen.

Weitere Woodall-Primzahlen sind C^'_n für folgende n: 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Woodall-Primzahlen gibt.

Verallgemeinerte Cullen- und Woodall-Zahlen

Zahlen der Form $n\cdot b^n + 1$ bezeichnet man als verallgemeinerte Cullen-Zahlen. Zahlen der Form $n\cdot b^n - 1$ bezeichnet man als verallgemeinerte Woodall-Zahlen

Sophie-Germain-Primzahlen

Eine Primzahl $p\$ nennt man Sophie-Germain-Primzahl oder auch Germainsche Primzahl wenn auch $2p+1\$ eine Primzahl ist.

Beispiele

$p = 2\$ ist eine Sophie-Germain-Primzahl, denn $2p + 1 = 5\$ ist eine Primzahl. Das gleiche gilt für 3, 5, 11 und 23.

$5p + 1 = 11\$

$11p + 1 = 23\$

$23p + 1 = 47\$

$p = 7\$ ist keine Sophie-Germain-Primzahl, denn $2p + 1 = 15\$ ist keine Primzahl.

Cunningham-Ketten

Cunningham-Ketten der ersten Art

In dem obigen Beispiel der Sophie-Germain-Primzahlen sind die Zahlen wie an einer Kette aufgereiht. Diese Reihe ist eine Cunningham-Kette (benannt nach Allan Joseph Champneys Cunningham) der ersten Art, also eine Folge von Primzahlen der Form:

$a_0=p \quad a_{n+1}=2 \! \cdot \! a_n + 1$

(also p, 2p+1, 4p+3, 8p+7, ...)

Alle Primzahlen einer solchen Folge, mit Ausnahme der letzten Primzahl, sind Sophie-Germain-Primzahlen. Die erste Cunningham-Kette ist die Folge: 2, 5, 11, 23, 47.

Die jeweils kleinsten vorkommenden Cunninghamketten mit k Kettengliedern, die mit der Primzahl p beginnen, sind in der nachfolgenden Tabelle aufgeführt:

Kleinste Cunningham-Kette mit k Kettengliedern
k	p
5	2
6	89
7	1.122.659
8	19.099.919
9	85.864.769
10	26.089.808.579
11	665.043.081.119
12	554.688.278.429
13	4.090.932.431.513.069
14	95.405.042.230.542.329

Cunningham-Ketten der zweiten Art

Eine Cunningham-Kette der zweiten Art ist eine Folge von Primzahlen der Form:

$a_0=p \quad a_{n+1}=2 \! \cdot \! a_n - 1$

Zwei Beispiele für Cunningham-Ketten der zweiten Art sind die Folge 2, 3, 5 und die Folge 1531, 3061, 6121, 12241, 24481 .

Verallgemeinerte Cunningham-Ketten

Eine Folge von Primzahlen der Form: p, ap+b, a(ap+b)+b, ... mit festem a und festem b nennt man eine verallgemeinerte Cunningham-Kette.

_{Quelle: Der Abschnitt mit Cullen-Zahl und Woodall-Zahl stamt aus dem Artikel Cullen-Zahl entnommen von der deutsprachigen de.wikipedia.org. Der Abschnitt Cuningham-Kette stamt aus dem Artikel Cunningham-Kette entnommen von der deutsprachigen de.wikipedia.org. Weitere Informationen zu den verschiedenen Primzahlarten findet man u.a. bei primes.utm.edu und www.prothsearch.net}