Varianten der klassischen Mechanik/ Der eindimensionale harmonische Oszillator in der Newton'schen Mechanik

In den Kapiteln über Kinematik und Dynamik wurde bereits die physikalischen Größe "Geschwindigkeit"

$v={\dot {x}}$,

als "Ortsänderung pro Zeiteinheit" ${\dot {x}}={\dfrac {dx}{dt}}$ eingeführt, die nach Multiplikation mit der Masse m des Körpers den Impuls p ergibt:

$p=mv$.

Wir haben uns hier auf nur eine Dimension, die x-Achse, beschränkt, entlang der sich das betrachtete punktförmige Teilchen bewegen soll. Das zweite Newton'sche Axiom verknüpft die zeitliche Änderung des Impulses p, die sog. Trägheitskraft, mit einer Kraft F und lautet dann:

${\frac {d}{dt}}p\left(t\right)=F\left(t\right)$.

Wenn auf das Teilchen keine Kraft wirkt, also $F\left(t\right)\equiv 0$ gilt, liefert uns diese sog. "Bewegungsgleichung" einen Erhaltungssatz:

${\frac {d}{dt}}p\left(t\right)=0\;\Longrightarrow \;p=const.$

Dies bedeutet, dass sich unter jener Voraussetzung für alle betrachteten Zeiten der Impuls nicht verändert, er also (zeitlich) konstant bleibt. Es gilt dann der sog. "Impulserhaltungssatz" .

Den Ausgangspunkt für einen weiteren Erhaltungssatz bekommen wir, indem die Bewegungsgleichung des Teilchens mit dessen Impuls p multipliziert (und die Produktregel der Differenziation angewendet) wird:

${\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}p^{2}=p{\dot {p}}=pF=m{\dot {x}}\,F\,\Longleftrightarrow \,{\frac {d}{dt}}{\frac {p^{2}}{2m}}={\dot {x}}F$.

Im letzten Schritt haben wir die zeitliche Konstanz vom m angenommen. Wenn sich jetzt die Kraft F mit Hilfe der Ableitung einer Funktion V nach dem Ort x darstellen lässt, wobei V aber nicht explizit von der Zeit abhängen soll,

$F=-{\frac {d}{dx}}V\left(x\right)$,

können wir unsere Rechnung auch folgendermaßen fortsetzen:

${\frac {d}{dt}}{\frac {p^{2}}{2m}}={\dot {x}}F=-{\frac {dx}{dt}}{\frac {d}{dx}}V\left(x\left(t\right)\right)=-{\frac {d}{dt}}V\left(x\left(t\right)\right)\,\Longleftrightarrow \,{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {p^{2}\left(t\right)}{2m}}+V\left(x\left(t\right)\right)\right]=0$.

Somit haben wir einen weiteren Erhaltungssatz gewonnen, nämlich den sog. "Energieerhaltungssatz" mit der Erhaltungsgröße (oder alternativ auch dem Integral bzw. der Konstanten der Bewegung) "Energie" E:

$E={\frac {p^{2}\left(t\right)}{2m}}+V\left(x\left(t\right)\right)=const.$

Sie setzt sich dabei aus der kinetischen Energie T,

$T={\frac {p^{2}\left(t\right)}{2m}}={\frac {1}{2}}mv^{2}\left(t\right)={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}\left(t\right)$,

und der "potentiellen Energie" V zusammen. Kräfte, die sich aus einer Ortsableitung der potentiellen Energie gewinnen lassen, werden auch als "Potentialkräfte" bezeichnet.

Die Bewegungsgleichung des Federpendels lässt sich ja mit Hilfe der Federkraft beschreiben, die proportional zur Auslenkung x der Masse m (aus ihrer Ruhelage im Nullpunkt) ist und der Trägheitskraft entgegenwirkt:

$m{\ddot {x}}=-Dx$.

Die Proportionalitätskonstante, d.h. die sog. Federkonstante, ist hierin mit D bezeichnet. Multiplizieren wir die Gleichung auf beiden Seiten mit der Geschwindigkeit ${\dot {x}}$, dann folgt

${\frac {1}{2}}m{\frac {d}{dt}}{\dot {x}}^{2}=m{\dot {x}}{\ddot {x}}=-D{\dot {x}}x=-{\frac {D}{2}}{\frac {d}{dt}}x^{2}\,\Longleftrightarrow \,{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}Dx^{2}\right)=0$,

d.h. $E={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}Dx^{2}$.

Der erste Summand der Gesamtenergie enthält offensichtlich wieder die kinetische Energie T. Der zweite Summand müsste dann darin die potentielle Energie V sein. Wir überzeugen uns hiervon, indem wir aus

$F=-{\frac {d}{dx}}V\left(x\right)=-Dx$,

durch Integration über x mit Hilfe des Hauptsatzes der Analysis V ermitteln:

$V=\int dx\,{\frac {d}{dx}}V\left(x\right)=-\int dx\,F=D\int dx\,x={\frac {1}{2}}Dx^{2}+const.$

Die Federkraft ist somit eine Potentialkraft, was jedoch nicht für jede Kraft zutrifft. Wir werden später sehen, dass z.B. Reibungskräfte keine Potentialkräfte sind. Die Konstante in V können wir auch gleich Null wählen, da sie bei der Differenziation nach der Zeit sowieso verschwindet: Wir können also über den Nullpunkt der Energie noch frei verfügen.

Wir stehen jetzt vor dem Problem, Bewegungsgleichungen wie z.B. die des Federpendels lösen zu wollen. Dies bedeutet, dass wir in ihnen gerne den Ort x als Funktion der Zeit t bestimmen würden. Sie sind dabei sog. Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit, d.h. sie enthalten einen Term mit zweifacher Zeitableitung, nämlich die Beschleunigung ${\ddot {x}}$. Aus der Beschleunigung erhalten wir durch Integration über die Zeit die Geschwindigkeit ${\dot {x}}$, die sich somit rein formal wie folgt aus der Newton'schen Bewegungsgleichung ergibt:

$m{\dot {x}}+const.=p+const.=\int dt\,{\frac {d}{dt}}p=\int dt\,F$.

Um hieraus wiederum den Ort x als Funktion der Zeit zu bestimmen, müsste diese Gleichung erneut über die Zeit integriert werden. Auf die erste Integration können wir in den hier betrachteten Fällen aber verzichten, wenn wieder der Energieerhaltungssatz gilt, d.h. die vorliegenden Kräfte wie beim Federpendel (unter Vernachlässigung von Reibungseffekten) Potentialkräfte sind. Denn dann lässt sich die Energiebilanz-Gleichung nach dem Impuls bzw. der Geschwindigkeit auflösen:

$m{\dot {x}}=p=\pm {\sqrt {2m\left(E-V\left(x\right)\right)}}\,\Longrightarrow \,{\frac {m\,dx}{\sqrt {2m\left(E-V\left(x\right)\right)}}}=\pm dt$.

Außerdem haben wir diese Gleichung noch so umgestellt, dass die Funktionen der Variablen x und t jede für sich auf einer Seite stehen, d.h. voneinander getrennt sind: Dieses Verfahren wird daher "Variablen-Separation" genannt. Die somit erhaltene Gleichung lässt sich jetzt auf beiden Seiten integrieren: auf der rechten über dt, was trivialer weise t (plus eine Integrationskonstante) ergibt, und auf der linken Seite über dx. Am Beispiel des Federpendels möchten wir nun untersuchen, ob das Integral über dx gelöst werden kann:

$\pm t+const.=\pm \int dt=\int {\frac {m\,dx}{\sqrt {2m\left(E-V\left(x\right)\right)}}}={\sqrt {\frac {m}{2E}}}\int {\frac {dx}{\sqrt {1-{\frac {D}{2E}}\,x^{2}}}}={\sqrt {\frac {m}{D}}}\int {\frac {d\xi }{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}={\sqrt {\frac {m}{D}}}\,\arcsin \left({\sqrt {\frac {D}{2E}}}\,x\right)$,

worin wir die Substitution $\xi ={\sqrt {\frac {D}{2E}}}\,x$ verwendet haben. Die somit gewonnene Beziehung zwischen der Zeit t und dem Ort x können wir jetzt noch wie gewünscht nach x auflösen:

$x\left(t\right)={\sqrt {\frac {2E}{D}}}\,\sin \left({\sqrt {\frac {D}{m}}}\,t+\delta \right)$,

worin \delta eine Konstante, die sog. "Phasenverschiebung" , darstellt. Für jede Integration haben wir eine Integrationskonstante erhalten: Aus der ersten Integration folgte die Gesamtenergie E und aus der letzten die Phasenverschiebung $\delta$. Beide Konstanten sind noch unbestimmt. Sie können z.B. durch anfängliche Bedingungen an den Ort x und die Geschwindigkeit ${\dot {x}}$ bestimmt werden. Zu Letzterem ist also noch die Zeitableitung von x notwendig:

${\dot {x}}\left(t\right)={\sqrt {\frac {2E}{m}}}\cos \left({\sqrt {\frac {D}{m}}}\,t+\delta \right)$.

Eine mögliche von beliebig vielen Anfangskonfigurationen könnte z.B. sein, dass zur Zeit $t=0$ das Federpendel um $x_{0}$ aus seiner Ruhelage ausgelenkt war, seine Geschwindigkeit aber zu diesem Zeitpunkt Null gewesen ist.

Die hier gefundene Form der Bewegung wird übrigens "harmonische Schwingung" genannt und ist (wegen der Eigenschaften von Sinus- und Cosinus-Funktion) in der Zeit periodisch. Der Faktor ${\sqrt {\frac {D}{m}}}$ ist dabei die sog. "Schwingungsfrequenz" $\omega$. Der Faktor ${\sqrt {\frac {2E}{D}}}$ ist hingegen die sog. "Amplitude" der Schwingung.