Wikibooks:Abstellraum: Strukturwissenschaften: Lösung von Gleichungen

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Inhaltsverzeichnis

1 Lösungsweg für lineare Gleichung
2 Lösungsweg für quadratische Gleichung
3 Lösungsweg für kubische Gleichung
4 Lösungsweg für quartische Gleichung

[Bearbeiten] Lösungsweg für lineare Gleichung

$a \cdot x = b$ mit $a \in \mathbb{R}\setminus\{0\},b \in \mathbb{R}$

[Bearbeiten] Lösungsweg für quadratische Gleichung

$ax^2+bx+c=0, \quad a\neq 0$

Man benutze die sog. „Mitternachtsformel“:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

[Bearbeiten] Lösungsweg für kubische Gleichung

Kubische Gleichung: $a x 3 + b x 2 + c x + d = 0$

Durch Substitution mit

$p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2} ;\qquad q=\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}$

in die Form $x 3 + p x + q = 0$ bringen.

Lösung

Fall 1: $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}>0$

Eine reelle Lösung:

$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{b}{3a}$

Fall 2: $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=0$

Zwei reelle Lösungen:

$x_1=\sqrt[3]{\frac{q}{2}}-\frac{b}{3a}$

$x_2=-\sqrt[3]{4q}-\frac{b}{3a}$

Fall 3: $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}<0$ (Casus irreducibilis)

Drei reelle Lösungen:

$x_1= 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{q}{2}\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)\right)-\frac{b}{3a}$

$x_{2,3}=-2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{q}{2}\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)\pm\frac{\pi}{3}\right)-\frac{b}{3a}$

[Bearbeiten] Lösungsweg für quartische Gleichung

$a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0$

Substitution mit $p=\frac{3bd-c^2}{12a^2}-\frac{e}{a} ;\qquad q=\frac{8ce-3d^2}{24a^2}-\frac{27b^2e-9bcd+2c^3}{216a^3}$

z ist eine beliebige Lösung der Gleichung $z 3 + p z + q = 0$ .

Mit $y=z+\frac{c}{6a}$ ergibt sich:

Fall 1: $\frac{b}{a}y-\frac{d}{a}>0$

$x_{1,2,3,4}=-\frac{b}{4a}\pm\frac{1}{2}\sqrt{2y+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{b^2}{8a^2}-\frac{1}{2}y-\frac{c}{4a}\pm\left(\frac{b}{4a}\sqrt{2y+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}-\sqrt{y^2-\frac{e}{a}}\right)}$

Fall 2: $\frac{b}{a}y-\frac{d}{a}<0$

$x_{1,2}=-\frac{b}{4a}\pm\frac{1}{2}\sqrt{2y+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}-\sqrt{\frac{b^2}{8a^2}-\frac{1}{2}y-\frac{c}{4a}\pm\left(\frac{b}{4a}\sqrt{2y+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}+\sqrt{y^2-\frac{e}{a}}\right)}$

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