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Aufgabensammlung Mathematik: Gleichmäßige Stetigkeit der Abstandsfunktion eines Punktes zu einer festen Menge

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Gleichmäßige Stetigkeit der Abstandsfunktion eines Punktes zu einer festen Menge

Sei ein metrischer Raum und sei eine nicht leere Teilmenge von . Beweise, dass folgende Funktion gleichmäßig Stetig ist:

Beweis

Behauptung 1: Für alle und ist und .

Sei und beliebig. Nach der Dreiecksungleichung ist:

Analog ist:

Behauptung 2: Für alle und ist und

Sei und beliebig. Es ist und analog . Damit ist

und

Behauptung 3: Für alle ist und

Wegen gibt es eine Folge mit . Weil für alle nach Behauptung 2 die Ungleichung erfüllt ist, ist auch

Analog kannst du beweisen.

Behauptung 4: ist gleichmäßig stetig.

Nach Behauptung 3 ist und . Aus diesen beiden Gleichungen folgt .

Sei nun . Wähle . Für alle mit gilt dann:

Damit ist gleichmäßig stetig.