Kartenprojektionen: Abbildungsfunktion

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Urbild

Wir haben auf der Erdkugel, unseren Urbild, einige Koordinaten erfasst:

Caracas	$\lambda =$-67° 10'	$\phi =$10° 20'
Petersburg	$\lambda =$30° 30'	$\phi =$59° 50'
Stuttgart	$\lambda =$48° 46'	$\phi =$9° 10'
Wellington	$\lambda =$174° 50'	$\phi =$-41° 10'

Die Koordinaten beziehen sich auf die folgende Parametrisierung:

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}R\cdot cos{U}\cdot cos{V}\\R\cdot sin{U}\cdot cos{V}\\R\cdot sin{V}\end{pmatrix}}$

$V\in \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)\,U\in \left(-\pi ;\pi \right)$

R=6371 km

Da es sich um das Urbild handelt, schreiben wir die gaußschen Flächenparameter in Großbuchstaben U,V.

Abbild

Nun wollen wir als Abbild eine ebene Karte erstellen. Darauf werden wir die erfassten Punkte bezüglich des Abbilds darstellen. Über die Lage der Ebene relativ zur Kugel denken wir hier noch nicht nach. Das gehört zur Abbildung.

Wir legen auf der Ebene ein Koordinatengitter fest mit nordzeigender x-Achse und ostweisender y-Achse. Als Koordinatendarstellung verwenden wir w:Polarkoordinaten:

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v\cos u\\v\sin u\end{pmatrix}}$

Um den Definitionsbereich festlegen zu können, müssten wir wissen, auf welchen Wertebereich die noch zu definierenden Abbildungsgleichungen den Urbild-Definitionsbereich abbilden. Also gedulden wir uns.

Abbildung

Lage der Projektionsfläche

Wir legen nun die Geometrie der Abbildung fest. Rechts sehen wird einen Querschnitt durch die Erdkugel. Wir denken uns den Schnitt längs des Nullmeridians. Die Abbildebene legen wir tangential an den Nordpol an. Alle parametrisierten Punkte der Erdoberfläche werden durch einen Strahl, der vom mit Z gekennzeichneten Südpol ausgeht, auf die Ebene abgebildet.

Abbildungsgleichungen

Die Abbildungsgleichungen drücken die Parameter u und v der Ebene durch die Parameter U und V aus.

u-Parameter

mögliche Achslage

Im Bild links sehen wir die Erde in der Aufsicht, wir betrachten die Nordhalbkugel. Der Äquator ist der Kreis, der Nullmeridian die orangene Linie. Weiterhin sehen wir in der an den Nordpol angelegten Ebene drei mögliche Lagen der Koordinatenachsen.

Fällt die x-Achse mit dem Nullmeridian zusammen, sind Längenwinkel der Kugel U und Polarwinkel u identisch, zumindest wenn der Definitionsbereich gleich ist. Wir setzen also beide Parameter gleich:

Abbildungsgleichung für u:

$u(U,V)=U$

Definitionsbereich:

$D_{u}=D_{U}$

Formal handelt es sich bei den Abbildungsgleichung um Funktionen in Abhängigkeit der Parameter U und V. Um dies nicht zu vergessen, haben wir es angegeben.

v-Parameter

Die Abbildungsfunktion für den Parameter v leiten wir aus den geometrischen Verhältnissen her. Wir sehen, dass das Polarelement Radius v quer des ebenen Systems in einem rechtwinkligen Dreieck mit unbekannter Hypotenuse aber zweiter bekannter Kathete mit doppelter Länge des Kugelradius liegt. Am Projektionszentrum schliesst das Dreieck den Winkel ${\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}$ (w:Strahlensatz!) ein. Für v folgt mittels w:Trigonometrie:

Abbildungsgleichung für v:

$v(U,V)=2R\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)$

Definitionsbereich:

Betrachten wir die Grenzwerte der Funktion für ${\frac {\pi }{2}}$ bzw. $-{\frac {\pi }{2}}$ (die Werte, die gerade nicht mehr im Definitionsbereich von V enthalten sind), stellen wir fest, dass der Wertebereich, also der Definitionsbereich für v, alle reellen Zahlen sind.

$v\in \mathbb {R}$

Abbildungsgleichungen

In aller Kürze:

$u(U,V)=U$

$v(U,V)=2R\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)$

Abbildung gültig?

Bevor wir munter losrechnen, müssen wir überprüfen, ob

1. Jedem Ort $(U_{0},V_{0})$ der Kugel genau ein Ort $(u_{0},v_{0})$ auf der Karte (Ebene) zugeordnet wird? (Eindeutigkeit)
2. Jedem abgebildeten Ort durch Umkehr der Abbildungsfunktionen wieder genau ein Ort auf dem Urbild zugeordnet wird? (Eineindeutigkeit)
3. ob die Parameter u und v in ihrem Definitionsbereich mit der Parametergleichung eine gültige Fläche im Sinne der Differentialgeometrie generieren?

Punkt 3 ist unproblematisch. Es gibt zwar ein Loch im Ursprung, dies ist jedoch tolerierbar. Die Parametrisierung ist unendlich oft ableitbar.

Punkt 1: Wir versuchen, Punkte zu finden, die nicht an einen eindeutigen Ort oder gar nicht abgebildet werden. Die einzigen Kandidaten hierfür sind die Pole, so kann der Südpol nicht abgebildet werden. Da die Pole aber gar nicht im Definitionsbereich der Kugelfläche enthalten sind, sind sie irrelevant und die Abbildung ist eindeutig.

Punkt 2: Sie ist auch umkehrbar eindeutig (eineindeutig). Dies lässt sich über die Eigenschaften der Tangensfunktion oder die Geometrie begründen.

Bemerkung

Bei der Überlegung zum Südpol ist dir vielleicht aufgefallen, dass Punkte nahe dem Südpol in fast unendlich weite Ferne abgebildet werden.

Art

Einteilen können wir die Projektion nach Art und Lage der Projektionsfläche, also der Ebene, als azimutal und polar. Hinsichtlich der Art der Abbildung können wir noch nicht kategorisieren, da wir die dafür notwendigen Verzerrungen erst noch herleiten müssen.

Wir sind übrigens nicht die ersten, die diese Abbildung verwenden, Hipparch hat sie sich bereits vor Christi Geburt ausgedacht.

Streckenänderung Urbild-Abbild

Uns sind eben schon die enormen Verzerrungen aufgefallen. Wir wollen uns die Verzerrungen einmal sehr empirisch selbst vor Augen führen. Dazu berechnen wir die kürzeste w:Distanz zwischen Petersburg und Wellington einmal auf der Kugeloberfläche und einmal die Länge des Abbilds der Entfernungsstrecke in der Karte.

Kugel

Die kürzeste Verbindung auf der Kugel sind Großkreisbogen. Die Distanz ist das Bogenstück eines Großkreises, der Petersburg und Wellington enthält. Das Bogenstück wird w:Orthodrome genannt.

$S=\alpha \cdot R$

$\alpha$ ist der Raumwinkel zwischen den Ortsvektoren der beiden Städte:

$\alpha =\arccos {\frac {\left|{\vec {x}}_{L}\cdot {\vec {x}}_{W}\right|}{\left|\left|{\vec {x}}_{L}\right|\right|\cdot \left|\left|{\vec {x}}_{W}\right|\right|}}=?$

Die Ortsvektoren erhalten wir über die Parametergleichung der Kugel!

Ebene Wir wissen nicht, ob die kürzeste Strecke auf der Kugel (Orthodrome) als kürzeste Strecke in der Ebene(Geradenstück) abgebildet wird. Deswegen ist unserer empirsche Methode zur Berechnung einzelner Verzerrungen bereits gescheitert! Wir ignorieren den eventuellen Fehler und rechnen die Distanz in der Ebene als Strecke.

Die Distanz folgt aus der Wurzel zwischen den abgebildeten Orten:

$s={\sqrt {{\left|\left|{\vec {x}}_{L}\right|\right|}^{2}+{\left|\left|{\vec {x}}_{W}\right|\right|}^{2}}}=?$

Verzerrung Damit beträgt die Distanz im Abbild etwa das ?-fache der Urbilddistanz.

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