Algebraische Topologie/ Rechenregeln für die singuläre Homologie

Satz (Homologie wird zusammenhangskomponentenweise berechnet):

Es sei

$X=\bigsqcup _{\alpha \in A}X_{\alpha }$

eine Zerlegung eines topologischen Raumes in seine Zusammenhangskomponenten. Dann gilt für alle $n\in \mathbb {N}$

$H_{n}(X)=\bigoplus _{\alpha \in A}H_{n}(X_{\alpha })$.

Selbiges gilt für Wegzusammenhangskomponenten.

Beweis: Wegen der Stetigkeit einer Abbildung $\Delta _{n}\to X$ aus der Definition der singulären Homologie können Ketten in ihre Summanden aus den verschiedenen (Weg-)Zusammenhangskomponenten zerlegt werden. Ferner bewahrt die Abbildung $\partial$ die Zusammenhangskomponenten. Daraus folgt, dass der der singulären Homologie zugrundeliegende Kettenkomplex mitsamt der Abbildung $\partial$ als direkte Summe über die Zusammenhangskomponenten zerfällt. $\Box$