Algebraische Topologie/ Rechenregeln für die singuläre Homologie

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Satz (Homologie wird zusammenhangskomponentenweise berechnet):

Es sei

eine Zerlegung eines topologischen Raumes in seine Zusammenhangskomponenten. Dann gilt für alle

.

Selbiges gilt für Wegzusammenhangskomponenten.

Beweis: Wegen der Stetigkeit einer Abbildung aus der Definition der singulären Homologie können Ketten in ihre Summanden aus den verschiedenen (Weg-)Zusammenhangskomponenten zerlegt werden. Ferner bewahrt die Abbildung die Zusammenhangskomponenten. Daraus folgt, dass der der singulären Homologie zugrundeliegende Kettenkomplex mitsamt der Abbildung als direkte Summe über die Zusammenhangskomponenten zerfällt.