Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Matrizenrechnung

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Was ist eine Matrix? Eine Matrix ist rechteckiges Zahlenschema. Oft ist die Grundlage einer Matrix eine Tabelle.


Beispiele für Tabellen[Bearbeiten]

Beispiel 1: Volkswirtschaftliche Input-Output-Tabelle der BRD 2006, in Mrd €.

Diese Input-Output-Tabelle, auch häufig Verflechtungstabelle genannt, gibt an, was die verschiedenen Sektoren produziert haben und wie diese Produkte auf die Sektoren verteilt wurden. Natürlich liefern die Sektoren auch für sich selbst Produkte. Bei den Empfängern sind auch noch Konsumenten angegeben.

Primärer Sektor Sekundärer Sektor Tertiärer Sektor Konsum Summe geliefert
Primärer Sektor (Land-, Forstwirtschaft, Fischerei) 7,7 22,9 2,4 9 42
Sekundärer Sektor (produzierendes Gewerbe) 8,5 629,2 120,7 238,7 997,1
Tertiärer Sektor (Dienstleistungen) 11,3 331,9 653,5 1230,9 2227,6
Summe empfangen 27,5 984 776,6 1478,6 3266,7


Beispiel 2: Auswertung eines Versuchs

Saatgutkontrolle von Zuckermais, dessen Samen im Freiland gewonnen werden. Man untersuchte die Kolben von 10 Maispflanzen.

Nummer des Kolbens             | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10
Keimfähigkeit der Körner in %  | 80 85 95 90 90 80 80 95 95 75 
Sortenreinheit der Körner in % | 60 65 70 65 60 75 50 45 70 55


Beispiel 3: Verbrauchswerte von drei Firmen

In der Stadt Ökonopolis befinden sich drei Unternehmen , und . Die Unternehmen verbrauchen an Produktionsfaktoren unter anderem Energie (in MW), Wasser (in to), Holz (m3) und Eisen (to). Es ergaben sich für die beiden Halbjahre 2010 die Verbrauchswerte

Lieferungen in Mio. Euro

1. Halbjahr

Energie Wasser Holz Eisen
200 100 2000 0
100 500 100 10
100 1000 0 0


2. Halbjahr

Lieferungen in Mio. Euro

Energie Wasser Holz Eisen
200 200 1000 0
200 200 200 20
300 2000 10 0

Die Preise für eine Einheit eines Produktionsfaktors und die variablen Kosten für Lagerung und Lieferung einer Einheit sind (in Euro)

Gut        Preis    Lieferung und Lagerung
Energie    1000     10    
Wasser      800     20 
Holz         20      5
Eisen       500     50


Beispiel 4: Lineares Gleichungssystem

Lisa kauft im Tante-Emma-Laden 1 Schokoriegel und 2 Tüten Chips und zahlt 8 Euro. Familie Meier kauft im selben Laden 4 Schokoriegel und 5 Tüten Chips und zahlt 23 Euro. Was kostet ein Schokoriegel, was eine Tüte Chips?

Gegeben ist also

Schokoriegel Chips Summe
Lisa 1 2 8 €
Fam. Meier 4 5 23 €


Wir bezeichnen den Preis eines Schokoriegels als und den einer Tüte Chips als und erhalten das lineare Gleichungssystem


Für die Lösung des Gleichungssystems kann man verschiedene Methoden anwenden, z.B.

  • das Additions- oder Eliminationsverfahren,
  • das Einsetzungsverfahren.

Tabellenbeispiele in Matrixform[Bearbeiten]

Man kann nun diese Tabellen aus den obigen Beispielen verkürzt darstellen als die Matrizen


Beispiel 1: Volkswirtschaftliche Input-Output-Tabelle


Die Zeilen der Matrix bezeichnen die Lieferanten, die Spalten die Empfänger.


Beispiel 2: Auswertung eines Versuchs



Beispiel 3: Verbrauchswerte von drei Firmen

1. Halbjahr

2. Halbjahr

Beachten: Jede Spalte hat eine andere Einheit: MW, 1000 m3, Holz m3 und to.


  • Wie würde sich der Verbrauch eines Jahres berechnen?
Das ist die Summe der Halbjahresverbräuche,



  • Was würde bei M die Summe über die erste Spalte ergeben?
den Gesamtverbrauch an Energie über das ganze Jahr.


  • Was würde die Summe über die erste Zeile von M ergeben?
Man könnte versucht sein, zu sagen, den gesamten Verbrauch von Unternehmen 1,
Berücksichtigt man die Einheiten, wird sofort klar, dass man hier Äpfel mit Birnen vergleichen würde. Eine Summation über die Zeile ist also unsinnig.

Wir könnten aber die Kosten bestimmen: Kosten = Menge * Preis.


Die Preise für eine Einheit eines Produktionsfaktors und die Kosten für Lieferung und Lagerung einer Einheit sind

also


Beispiel 4: Lineares Gleichungssystem

Die Werte 1, 2, 4, 5 sind die Koeffizienten des Gleichungssystems. Sie werden in der Koeffizientenmatrix zusammengefasst:


Vorteile der Matrixdarstellung: Ganze Zahlensysteme können knapp und übersichtlich präsentiert werden, z.B.:

oder

Auf Matrizen sind im Prinzip die Rechenregeln der Algebra anwendbar. Die Rechenregeln und ihre Besonderheiten werden weiter unten erläutert.


Genauere Beschreibung einer Matrix:

aus Beispiel 3:


Bei handelt es sich um eine )-Matrix. Sie hat also 3 Zeilen und 4 Spalten.

Definition[Bearbeiten]

Eine Matrix ist eine Zusammenstellung von Objekten in einer Tabelle, die aus Zeilen und Spalten besteht. Ein Objekt in der Matrix nennt man Element, Komponente oder Eintrag. Die Tabelle wird mit einer Klammer links und rechts abgeschlossen. Eine Matrix mit Zeilen und Spalten nennt man eine -Matrix, gesprochen "-kreuz- -Matrix". Allgemein betrachtet sieht eine Matrix mit dem Element (Zeilenindex ; Spaltenindex so aus:



Man bezeichnet eine )-Matrix auch mit oder .

Die Elemente werden Hauptdiagonalelemente genannt. Sie liegen auf der Hauptdiagonalen der Matrix.

Bemerkung: Eine Matrix kann mit runden oder auch eckigen Klammern begrenzt werden. Runde Klammern sehen gefälliger aus, aber eckige Klammern brauchen weniger Platz in der Breite. In diesem Buch werden beide Arten verwendet.

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