Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Matrizenrechnung

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Was ist eine Matrix? Eine Matrix ist rechteckiges Zahlenschema. Oft ist die Grundlage einer Matrix eine Tabelle.


Beispiele für Tabellen[Bearbeiten]

Beispiel 1: Volkswirtschaftliche Verflechtungstabelle

Lieferungen in Mio. Euro

Von - Nach Energie Bergbau Industrie Dienstleistungen
Energie 20 100 2000 500
Bergbau 1000 10 500 0
Industrie 100 40 1000 500


Beispiel 2: Auswertung eines Versuchs

Saatgutkontrolle von Zuckermais, dessen Samen im Freiland gewonnen werden. Man untersuchte die Kolben von 10 Maispflanzen.

Nummer des Kolbens             | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10
Keimfähigkeit der Körner in %  | 80 85 95 90 90 80 80 95 95 75 
Sortenreinheit der Körner in % | 60 65 70 65 60 75 50 45 70 55


Beispiel 3: Verbrauchswerte von drei Firmen

In der Stadt Ökonopolis befinden sich drei Unternehmen , und . Die Unternehmen verbrauchen an Produktionsfaktoren unter anderem Energie (in MW), Wasser (in to), Holz (m3) und Eisen (to). Es ergaben sich für die beiden Halbjahre 2010 die Verbrauchswerte

Lieferungen in Mio. Euro

1. Halbjahr

Energie Wasser Holz Eisen
200 100 2000 0
100 500 100 10
100 1000 0 0


2. Halbjahr

Lieferungen in Mio. Euro

Energie Wasser Holz Eisen
200 200 1000 0
200 200 200 20
300 2000 10 0

Die Preise für eine Einheit eines Produktionsfaktors und die variablen Kosten für Lagerung und Lieferung einer Einheit sind (in Euro)

Gut        Preis    Lieferung und Lagerung
Energie    1000     10    
Wasser      800     20 
Holz         20      5
Eisen       500     50


Beispiel 4: Lineares Gleichungssystem

Berta kauft am Montag in der Bäckerei 5 Semmeln und ein Brot und zahlt 5 €. Am Dienstag kauft sie 4 Semmeln und 2 Brote und zahlt 7,60 €. Wieviel haben eine Semmel und ein Brot gekostet?

Gegeben ist also

Semmel Brot Summe
Montag 5 1 5,00 €
Dienstag 4 2 7,60 €


Wir bezeichnen den Preis einer Semmel als und den eines Brotes als und erhalten das lineare Gleichungssystem


Für die Lösung des Gleichungssystems kann man verschiedene Methoden anwenden, z.B.

  • das Additions- oder Eliminationsverfahren,
  • das Einsetzungsverfahren.

Tabellenbeispiele in Matrixform[Bearbeiten]

Man kann nun diese Tabellen aus den obigen Beispielen verkürzt darstellen als die Matrizen


Beispiel 1: Volkswirtschaftliche Verflechtungstabelle


Die Zeilen i der Matrix bezeichnen die Lieferanten, die Spalten j die Empfänger.


Beispiel 2: Auswertung eines Versuchs



Beispiel 3: Verbrauchswerte von drei Firmen


1. Halbjahr



2. Halbjahr


Beachten: Jede Spalte hat eine andere Einheit: MW, 1000 m3, Holz m3 und to.


  • Wie würde sich der Verbrauch eines Jahres berechnen?
Das ist die Summe der Halbjahresverbräuche,




  • Was würde bei M die Summe über die erste Spalte ergeben?



den Gesamtverbrauch an Energie über das ganze Jahr.


  • Was würde die Summe über die erste Zeile von M ergeben?
Man könnte versucht sein, zu sagen, den gesamten Verbrauch von Unternehmen 1,



Berücksichtigt man die Einheiten, wird sofort klar, dass man hier Äpfel mit Birnen vergleichen würde. Eine Summation über die Zeile ist also unsinnig.

Wir könnten aber die Kosten bestimmen: Kosten = Menge * Preis.


Die Preise für eine Einheit eines Produktionsfaktors und die Kosten für Lieferung und Lagerung einer Einheit sind



also


Beispiel 4: Lineares Gleichungssystem

Die Werte 5, 1, 4, 2 sind die Koeffizienten des Gleichungssystems. Sie werden in der Koeffizientenmatrix zusammengefasst:



Vorteile der Matrixdarstellung: Ganze Zahlensysteme können knapp und übersichtlich präsentiert werden, z.B.:


oder


Auf Matrizen sind im Prinzip die Rechenregeln der Algebra anwendbar. Die Rechenregeln und ihre Besonderheiten werden weiter unten erläutert.


Genauere Beschreibung einer Matrix:

aus Beispiel 3:


Bei handelt es sich um eine (3×4)-Matrix. Sie hat also 3 Zeilen und 4 Spalten.

Definition[Bearbeiten]

Eine Matrix ist eine Zusammenstellung von Objekten in einer Tabelle, die aus Zeilen und Spalten besteht. Ein Objekt in der Matrix nennt man Element, Komponente oder Eintrag. Die Tabelle wird mit einer Klammer links und rechts abgeschlossen. Eine Matrix mit Zeilen und Spalten nennt man eine )-Matrix, gesprochen "-kreuz- -Matrix". Allgemein betrachtet sieht eine Matrix mit dem Element (Zeilenindex ; Spaltenindex so aus:



Man bezeichnet eine )-Matrix auch mit oder .

Die Elemente werden Hauptdiagonalelemente genannt. Sie liegen auf der Hauptdiagonalen der Matrix.

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