Mathematrix: Werkzeuge/ Abstellraum/ PSA/ Prozentrechnung E1B

Effektiver Zinssatz

Da der Zinssatz Zs und der effektiver Zinssatz eZs Prozentsätze sind, ist es oft verwirrend, wenn man den effektiven Zinssatz als Prozentanteil des Zinssatzes berechnet. Daher fangen wir mit einem Beispiel an, in dem die effektiven Zinsen berechnet werden.

In einem Konto ist das Guthaben am Anfang 4000€, der Zinssatz 5%. Berechnen sie die effektiven Zinsen!

Berechnen wir erst die Zinsen. In diesem Fall ist das Guthaben der Grundwert (Wert am Anfang, 100%).

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}4000\ {\text{€}}\\{}\\Z\end{matrix}}$      $\left(4000\cdot {\frac {5}{100}}=4000\cdot 0{,}05\right)\qquad Z=200\ {\text{€}}$.

Wenn die effektiven Zinsen berechnet werden, sind sie 75% der Zinsen (hier ist der Grundwert 100% die Zinsen und nicht das Guthaben am Anfang):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\75\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\{}\\eZ\end{matrix}}$      $\left(200\cdot {\frac {75}{100}}=200\cdot 0{,}75\right)\qquad eZ=150\ {\text{€}}$.

Wie viel % von 4000 € können diese 150 € sein?

${\begin{matrix}4000\ {\text{€}}\\\uparrow :\\150\ {\text{€}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\eZs\end{matrix}}$      $\left({\frac {150\cdot 100}{4000}}\right)\qquad eZs=3,75\%$

Hier ist der Grundwert das Guthaben am Anfang. Da der Grundwert (100%) hier das Guthaben G₀ ist (4000€), ist dieser Prozentsatz (3,75%) ein Anteil des Guthabens G₀. 150€ sind die effektiven Zinsen, daher ist 3,75% der effektiver Zinssatz, also der Prozentsatz des Guthabens, der am Ende im Konto dazu bleibt. Die effektiven Zinsen sind 75% der Zinsen. Man könnte dann vielleicht denken, dass die effektiven Zinsen mit der folgenden Schlussrechnung zu berechnen wären:

${\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\\\eZ\ \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}5\%\\:\uparrow \\75\%\end{matrix}}$      $\left({\frac {200\cdot 75}{5}}\right)\qquad eZ=3000{\text{€}}\qquad$FALSCH!!

Wir wissen schon, dass die effektiven Zinsen 150€ sind. Das Ergebnis ist eindeutig falsch. Wie so? Wir haben in der Schlussrechnung schon € in der linken Spalte, Prozentsätze (%) in der rechten und das gegebene in einer Ziele. Es sollte doch richtig funktionieren. Was ist hier schief gegangen?

Die Antwort ist, dass die Prozentsätze sich auf einen unterschiedlichen Grundwert beziehen. Die Zinsen sind 5% des Guthabens, die effektiven Zinsen 75% der Zinsen. In der rechten Spalte stehen nicht gleichen Sachen!

${\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\\\eZ\ \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}5\%\ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\:\uparrow \\75\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\end{matrix}}\qquad$FALSCH!!

Was können wir machen, damit die Schlussrechnung doch stimmt? Einfach Prozentanteile benutzen, die sich auf den gleichen Grundwert beziehen. Eine Möglichkeit ist das Guthaben G₀ als Grundwert zu benutzen. Die Zinsen sind 5% des Guthabens und die effektiven Zinsen 3,75% (wie wir schon gesehen haben).

${\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\\\eZ\ \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}5\%\ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\:\uparrow \\3{,}75\%\ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\end{matrix}}\qquad$$\left({\frac {200\cdot 3{,}75}{5}}\right)\qquad eZ=150{\text{€}}\qquad$RICHTIG!!

Eine andere Möglichkeit ist, die Zinsen als Grundwert zu benutzen. Wie viel Prozent sind die Zinsen, wenn sie mit sich selbst verglichen werden? 100% selbstverständlich. Die Zinsen sind 100% der Zinsen. Wenn man eine Sache mit sich selbst vergleicht, hat man die ganze Sache, also 1, also 100%. Die effektiven Zinsen hingegen sind 75% der Zinsen:

${\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\\\eZ\ \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\\:\uparrow \\75\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\end{matrix}}\qquad$$\left(200\cdot {\frac {75}{100}}=200\cdot \ 0{,}75\right)\qquad eZ=150{\text{€}}\qquad$RICHTIG!!

Jetzt ist es leichter zu erklären, wie der effektiver Zinssatz eZs direkt berechnet werden kann, wenn der Zinssatz gegeben ist. In der folgenden Schlussrechnung stehen überall Prozentanteile. An jeder Spalte werden aber die gleichen Grundwerte benutzt, daher stimmt die ganze Rechnung:

${\begin{matrix}5\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\\\eZs\ (\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}})\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\\:\uparrow \\75\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\end{matrix}}\qquad$$\left(5\cdot {\frac {75}{100}}\right)\qquad eZ=5\%\cdot 0{,}75=3{,}75\%\qquad$RICHTIG!!

Wurde der effektiver Zinssatz einmal so berechnet, kann man die effektiven Zinsen sofort berechnen, ohne erst die Zinsen berechnen zu müssen:

${\begin{matrix}100\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\\uparrow :\\3{,}75\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}4000\ {\text{€}}\\{}\\eZ\end{matrix}}$      $\left(4000\cdot {\frac {3{,}75}{100}}=4000\cdot 0{,}0375\right)\qquad eZ=150\ {\text{€}}$.

Sogar das Guthaben nach einem Jahr kann sofort und ohne weitere Zwischenschritte berechnet werden. Das Guthaben am Anfang ist 100% und wird um 3,75% mehr. Daher ist das Guthaben nach einem Jahr 103,75% des Guthabens am Anfang(100+3,75=103,75):

${\begin{matrix}100\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\\uparrow :\\103{,}75\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}4000\ {\text{€}}\\{}\\G_{1}\end{matrix}}$      $\left(4000\cdot {\frac {103{,}75}{100}}=4000\cdot 1{,}0375\right)\qquad G_{1}=4150\ {\text{€}}$.

In all den letzten vier Schlussrechnungen und auch in einigen davor, wird auch der Weg für Fortgeschritten, also ohne Schlussrechnung, gezeigt (der zweite Teil der Gleichung in der Berechnung in Klammer).

Dieser hier gezeigte Weg, das Guthaben nach einem Jahr zu berechnen, ist bei den Umkehraufgaben unvermeidlich, wie im entsprechenden Kapitel gezeigt wird. Wenn der effektiver Zinssatz nicht gegeben ist, dann soll er erst berechnet werden, wie in diesem Abschnitt schon gezeigt.

Wenn in einer Aufgabe der Zinssatz gefragt und der effektiver Zinssatz gegeben ist, wird genau die gleiche Schlussrechnung, wie für den effektiven Zinssatz, (angepasst) benutzt:

${\begin{matrix}Z\ (\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}})\\\\3{,}75\ \%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \nearrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\\:\downarrow \\75\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\end{matrix}}\qquad$$\left(3{,}75\cdot {\frac {100}{75}}\right)\qquad eZ=3{,}75\%:0{,}75=5\%\qquad$RICHTIG!!

Mit diesem Wissen können auch Formeln erzeugt werden, die allerdings nicht notwendig und eher verwirrend sind, wenn man sich mit der Prozentrechnung gut auskennt (was allerdings bei solchen Aufgaben notwendig und daher unvermeidlich ist)

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\Zs\ {\text{in }}\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}G_{0}\\{}\\Z\ {\text{in €}}\end{matrix}}$      $Z={\frac {G_{0}\cdot Zs}{100}}\ {\text{(in €)}}$.

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\75\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}Z\ {\text{in €}}\\{}\\eZ\ {\text{in €}}\end{matrix}}$      $eZ={\frac {Z\cdot 75}{100}}=0{,}75\cdot Z\ {\text{(in €)}}$.

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\75\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}Zs\ {\text{in }}\%\\{}\\eZs\ {\text{in }}\%\end{matrix}}$      $eZs={\frac {Zs\cdot 75}{100}}=0{,}75\cdot Zs\ ({\text{in }}\%)$.

usw.

Zinsen Umkehraufgaben

Wir haben schon gelernt, wie man Umkehraufgaben löst. Wichtig ist immer den richtigen Wert als Grundwert zu benutzen. In den Umkehraufgaben ist er i.d.R. unbekannt.

In einem Konto ist das Guthaben nach einem Jahr G₁ 6368,53€, der Zinssatz 0,6%. Berechnen Sie das Guthaben am Anfang, die Zinsen Z₁, die effektiven Zinsen eZ₁ und die Kapitalertragssteuer KESt.₁ in diesem Jahr.

In dieser Aufgabe ist es notwendig, erst den effektiven Zinssatz zu berechnen.

${\begin{matrix}100\%\ {\text{der Zinsen}}\\\uparrow :\\75\%\ {\text{der Zinsen}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0{,}6\%\ {\text{des Guthabens}}\\{}\\eZs\ (\%\ {\text{des Guthabens}})\end{matrix}}$      $\left({\frac {0{,}6\cdot 75}{100}}=0{,}6\cdot 0{,}75\right)\qquad eZs=0{,}45\%$ (des Guthabens am Anfang).

Das Guthaben wird daher jedes Jahr nicht um 0,6% mehr (was die Bank gibt), sondern 0,45% mehr (was nach der Versteuerung und den Abzug der KESt. übrig bleibt). Daher ist das Guthaben am Ende des ersten Jahres 100%+0,45%=100,45% (100% am Anfang plus 0,45% eZs). Das Guthaben G₀ am Anfang (Grundwert 100%) ist in diesem Fall gefragt:

${\begin{matrix}100{,}45\%\ {\text{des Guthabens}}\\\uparrow :\\100\%\ {\text{des Guthabens}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}6368{,}53\ {\text{€}}\\{}\\G_{0}\end{matrix}}$      $G_{0}=6340\ {\text{€}}$.

Durch Umformen der Formel, die wir in den Definitionen für die Berechnung des Guthabens nach einem Jahr G₁ gelernt haben, können wir ganz leicht die effektiven Zinsen berechnen:

$G_{1}=G_{0}+eZ\qquad \qquad |-G_{0}$

($G_{1}-G_{0}=eZ$)

$eZ=G_{1}-G_{0}=6368{,}53\ {\text{€}}-6340\ {\text{€}}=28{,}53\ {\text{€}}$

Mit Hilfe der Schlussrechnung können wir dann die ganzen Zinsen berechnen (was die Bank gibt):

${\begin{matrix}75\%\ {\text{der Zinsen}}\\\uparrow :\\100\%\ {\text{der Zinsen}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}28{,}53\ {\text{€}}\\{}\\Z\end{matrix}}$      $Z=38{,}04\ {\text{€}}$.

Durch Umformen der Formel, die wir in den Definitionen für die Berechnung der effektiven Zinsen eZ₁ gelernt haben, können wir ganz leicht die KEST. berechnen:

$eZ_{1}=Z_{1}-KESt._{1}\qquad \qquad |-eZ_{1}+KESt._{1}$

$KESt._{1}=Z_{1}-eZ_{1}=38{,}04\ {\text{€}}-28{,}53\ {\text{€}}=9{,}51\ {\text{€}}$

Es gibt viele Wege die Umkehraufgaben zu lösen. Allerdings ist es absolut notwendig in diesen Aufgaben erst den effektiven Zinssatz zu berechnen (wenn er nicht schon gegeben ist!). Eine andere Schlussrechnung für die Berechnung der Zinsen sehen wir im Folgenden. Der Leser sollte daran denken, warum diese Berechnung stimmt (einfach daran denken, wie viel % jeder Wert ist!):

${\begin{matrix}100{,}45\%\\\uparrow :\\0{,}6\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}6368{,}53\ {\text{€}}\\{}\\Z\end{matrix}}$      $Z=38{,}04\ {\text{€}}$.

Und noch ein Kommentar: Bei einer Aufgabe muss man nicht die Fragen so wie sie in der Aufgabe stehen nacheinander beantworten. Man sollte an die Zwischenschritte denken. Hier haben wir beispielsweise erst den effektiven Zinssatz berechnet (was zwar nicht gefragt wird, für die Lösung aber absolut notwendig ist). Allerdings haben wir erst die effektiven Zinsen und dann die ganzen Zinsen berechnet (obwohl in die umgekehrte Reihenfolge gefragt wird...).