Mathematrix: Werkzeuge/ Abstellraum/ PSA/ Umformen VA
Kombinationen[Bearbeiten]
Wenn man mehrere Summanden und Rechenarten und eine unbekannte Variable hat, dann soll man alle Teilterme (Summanden) mit der gesuchten Variable auf eine Seite bringen. Im Folgenden werden alle Terme mit der gesuchten Variable nach links gebracht. Die restlichen Terme werden auf die andere Seite gebracht (das geht aber selbstverständlich auch umgekehrt). Schauen wir ein Beispiel an:
5x − 7 = 3x + 11
Wir wählen die linke Seite als die Seite, in der die Teilterme (Summanden) mit der gesuchten Variable (x) sein werden. Wir haben zwei solchen Teilterme, 5x und 3x. 5x ist schon auf der linken Seite, wir müssen also noch 3x auf die andere Seite bringen. Vor 3x steht das Symbol „=“. Ist 3x jetzt positiv oder negativ? Wenn man b=4 schreibt, ist +4 oder −4 gemeint? Die Antwort ist +4. Daher auch hier, wenn nach dem Symbol „=“ kein plus oder minus steht, dann ist ein plus gemeint. Wenn man 5x − 7 = 3x + 11 schreibt, ist es das Gleiche wie + 5x − 7 = + 3x + 11. Wenn man den Term 3x auf die andere Seite bringt, muss man die Gegenrechnung benutzen, also Subtraktion (minus).
5x − 7 − 3x = 11
7 hat kein x neben sich, sie muss auch auf die rechte Seite gebracht werden, wieder mit der Gegenrechnung, also diesmal mit Addition (plus):
5x − 3x = 11 + 7
Das Ganze kann man in einem Schritt machen:
5x − 7 = 3x + 11
5x − 3x = 11 +7
2x = 18
(Hier haben wir einfach die Rechnungen gemacht: 5x-3x ist 2x und 11+7 ist 18).
Es bleibt noch, 2 auf die andere Seite zu bringen. Zwischen 2 und x steht nichts, daher ist eine Multiplikation gemeint. Die Gegenrechnung ist eine Division:
x = und daher x = 9
Man kann das ganze auch so erklären:
5x − 7 = 3x + 11
Man will, dass auf der rechten Seite 3x verschwindet. Das kann passieren, indem man 3x subtrahiert. Ein Gleichung aber ist wie eine Waage. Das Gleichungssymbol (=) teilt die Gleichung in zwei Teilen, links und rechts. Was auf der einen Seite passiert, muss auch auf der anderen stattfinden, damit das Gleichgewicht erhalten bleibt. Man benutzt folgende Schreibweise:
5x − 7 = 3x + 11 | −3x (Man schreibt am Rand, was auf beiden Seiten zu tun ist)
5x − 7 − 3x = 3x + 11 − 3x
2x − 7 = 11
Man will aber auf der linken Seite nur Teilterme (Summanden) mit x haben, deshalb muss die -7 dort verschwinden. Das geht, indem man 7 auf beiden Seiten addiert.
2x − 7 = 11 | +7
2x − 7 + 7 = 11 + 7
2x = 18
Jetzt bleibt nur die Division:
2x = 18 | :2
x = 18 : 2 (Man kann auch schreiben)
x = 9
Sofern mehrere Teilrechnungen oder Zwischenschritte im Kopf durchgeführt werden, wird zusammengefasst und kürzer notiert:
5x − 7 = 3x + 11 | −3x+7
2x = 18 | :2
x =
x = 9
Wenn die Variable innerhalb einer Klammer steht, ist der erste Schritt, die Klammer aufzulösen, sonst geht man wie vorher vor:
4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y
4y + 21 − 15y = 11 − 6y | −21
4y − 15y = 11 − 6y −21 | +6y
4y − 15y + 6y = 11 − 21
− 5y = −10 | : (−5)
y=2
Wenn man y durch 2 in der Anfangsgleichung 4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y ersetzt, stellt man fest, dass die Gleichung tatsächlich stimmt.
4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y
4·2 + 3 (7 − 5·2) = 11 − 6·2
8 + 3 ·(−3) = 11 − 12
8 − 9 = − 1
In der Tat ist 2 der einziger Wert von y, für den die Gleichung wirklich stimmt. Die LeserInnen können andere Werte ausprobieren und feststellen, dass die Gleichung dann nicht mehr stimmt.
Das Gleichheitszeichen in Umformungen[Bearbeiten]
Die Gegenrechnungen und den ganzen Vorgang beim Umformen nennt man auch Äquivalenzumformungen.
Im Kapitel über die Grundrechenarten haben wir gelernt, dass das Gleichheitszeichen auch in Kettengleichungen benutzt werden kann. Das ist in der Regel nicht der Fall bei Äquivalenzumformungen. Wie wir gesehen haben, wird jeder Schritt nacheinander gemacht und die Gleichung (mit so vielen Gleichheitszeichen wie am Anfang, also hier mit einem Gleichheitszeichen) wieder darunter geschrieben. Jeder Schritt wird an den Rand geschrieben und in jedem Teil der Gleichung (hier rechts und links des Gleichheitszeichens) durchgeführt.
4y + 21 − 15y = 11 − 6y | −21 +6y
4y + 21 − 15y + −21 +6y = 11 − 6y −21 +6y
4y − 15y + 6y = 11 − 21
Es ist falsch zu schreiben:
4y + 21 − 15y = 11 − 6y = 4y + 21 − 15y −21 +6y = 11 − 6y −21 +6y
Die folgenden beiden Teile sind doch nicht gleich: 11 − 6y = 4y + 21 − 15y −21 +6y (falsch). Wenn man die Gleichungen nebeneinander schreiben will, gibt es ein anderes Zeichen dafür, den doppelten Folgepfeil:
4y + 21 − 15y = 11 − 6y ⇔ 4y − 15y + 6y = 11 − 21 (richtig)
Diese Schreibweise wird allerdings nur in fortgeschrittener Mathematik und nur unter bestimmten Bedingungen benutzt.