Himmelsgesetze der Bewegung/ Drehmoment und Hebelgesetz

Hebelgesetz

Hebelgesetz: Wenn der Abstand zum Drehpunkt 20-mal so groß ist, kann man auf der anderen Seite 20-mal so viel Gewicht heben

Zweiseitiger Hebel (Wippe)

einseitiger Hebel (Nussknacker)

Wenn man bei einer Wippe eine Kraft in die Richtung des Drehpunktes (also parallel zur Wippe) ausübt, beobachtet man keine Bewegung. Die Kraft muss mit einem Winkel zur Wippe ausgeübt werden, damit die Wippe sich zu drehen anfängt. Bei einer Rotation also spielt nicht nur die Kraft eine Rolle, sondern auch die Richtung in der die Kraft ausgeübt wird. Wenn zwei Personen (A und B) auf beiden Seiten der Wippe sitzen (Seiten A und B), dann entsteht ein Gleichgewicht, nur wenn folgender Zusammenhang gilt:

F_A · s_A = F_B · s_B

wo F_A und F_B die Kraft, die die Person A bzw. B auf die Wippe ausübt (also Masse mal Fallbeschleunigung) und s_A und s_B der Abstand jeder Person vom Drehpunkt ist. Dass kann jeder erleben. Wenn eine Person A nah zum Drehpunkt sitzt, kann eine andere auch viel leichtere Person B A heben, wenn sie weit genug vom Stützpunkt sitzt.

Dieses Prinzip hat Archimedes (einer der größten Physiker) entdeckt. Er hat es auch im Krieg benutzt. Man sagt, dass er mit seinen Maschinen sogar (angreifende) Schiffe in die Luft gebracht und dadurch zerstört hat. Ein berühmter Spruch von ihm soll sein: „δος μοι πα στω και τα γαν κινάσω“, was bedeutet: „"Gib mir einen Punkt, wo ich hintreten kann, und ich bewege die Erde“!

Man kann zwischen einseitigen (wenn beide Kraftarme auf der gleichen Seite sind, z.B. Nussknacker) und zweiseitigen Hebel (z.B. Wippe) unterscheiden.

Drehmoment

Wenn man im vorherigen Absatz genauer sein will, muss man schrieben: F_A · s_A · sin φ_A = F_B · s_B · sin φ_B Das Produkt F · s · sin φ nennt man (das) Drehmoment. F ist die bei einer Rotation (Kreisbewegung) ausgeübte Kraft, s die Strecke zwischen Punkt, wo die Kraft ausgeübt wird, und Stützpunkt der Rotation (Mittelpunkt der Kreisbewegung) und φ der Winkel zwischen Vektor dieser Strecke und Vektor der Kraft. Das Symbol für das Drehmoment ist in der Regel M:

M = F · s · sin φ         Drehmoment Formel I

Die Einheit für das Drehmoment ist N · m (oder Nm: Newtonmeter).

Vorsicht! Man darf nicht die Kraft in dieser Formel mit der Zentripetalkraft verwechseln. Die Zentripetalkraft ist Richtung Mittelpunkt, also sie bewirkt kein Drehmoment! (sinφ = sin0° = 0!)

Das Drehmoment M ist die zur Kraft entsprechende Größe für die Rotation. Wenn man es durch die für die Rotation entsprechenden Größen ausdrücken will, dann soll man bei der Definition der Kraft

F= m · a,

F durch M, m durch I und a ($={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$) durch ${\dot {\omega }}\approx {\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}$

ersetzen:

$M=I\cdot {\dot {\omega }}$             Drehmoment Formel II

In dieser Formel haben wir das Symbol

${\dot {\omega }}$

benutzt, was das Symbol für die „Rotationsbeschleunigung“ ist, also wenn sich die Winkelgeschwindigkeit ändert.

${\dot {\omega }}={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}$

ist eigentlich die mittlere „Rotationsbeschleunigung“ und sie ist nur bei einer „gleichförmige“ Kreisbewegung gleich der momentanen „Rotationsbeschleunigung“.

Durch diese Formel wird eindeutig, dass, wenn ein Drehmoment wirkt, die Rotation schneller oder langsamer wird (wie die Wirkung einer Kraft bei einer Translation). Mit   ${\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}$  ist offenbar eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit gemeint, die dann und nur dann stattfindet, wenn ein Drehmoment wirkt. Durch geeignete Umformungen kann man diese Formel (Formel II) zur Formel I fürs Drehmoment umwandeln:

$M=I\cdot {\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}=m\cdot R^{2}\cdot {{\frac {\Delta \omega }{\Delta }}t}$         (weil   $I=m\cdot R^{2}$  ist)

$=m\cdot R^{2}\cdot {\frac {\Delta v}{R\cdot \Delta t}}$         (weil   $\Delta \omega ={\frac {\Delta v}{R}}$  ist)

$=m\cdot R\cdot a$         (weil   $a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$  ist)

$=F\cdot R=F\cdot s$

(da R in dieser Formel das gleiche bedeutet wie s in Formel I: Abstand bis zum Stützpunkt)!

Die Kraft (und die Beschleunigung) in dieser Formel ist nicht die Zentripetalkraft, sondern eine Kraft senkrecht zur Zentripetalkraft und parallel zur Bahngeschwindigkeit! Sie beschleunigt die Rotation, wie man auch in der Formel II ablesen kann. Sie ist nicht die Kraft, die den Körper in Kreisbewegung hält!

Genauso wie man die Kraft als Impulsänderung durch dafür benötigte Zeit ausdrücken kann, kann man das Drehmoment als Drehimpulsänderung durch dafür benötigte Zeit ausdrücken:

$M=I\cdot {\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\Delta \omega \cdot I}{\Delta t}}={\frac {\Delta L}{\Delta t}}$         (weil   $L=\omega \cdot I$  ist)

           $M={\frac {\Delta L}{\Delta t}}$       Drehmoment Formel III

Drehmoment und Energie-Arbeit. Rotationsenergie

Der wachsame Leser hat vielleicht im letzten Absatz schon gemerkt, das die Definition des Drehmoments ziemlich ähnlich zur Definition der Arbeit ist. Man hat nur sin statt cos! Die Einheiten sind doch die gleichen! Ein Joule (Arbeit) ist doch 1N mal 1m! Reicht dieser kleine Unterschied (sin statt cos) um zu sagen, dass Arbeit und Drehmoment nicht die gleiche Größe ist?

Die Antwort ist ja und liegt eigentlich noch tiefer als dieser Unterschied. Wie man in der Regel in der 11. Schulstufe in Mathematik lernt, gibt es einen Unterschied zwischen dem Skalar- und dem Kreuzprodukt von zwei Vektoren. Die Arbeit ist das Skalarprodukt von Kraft und Strecke, Drehmoment das Kreuzprodukt. Das bedeutet, dass Arbeit eine skalare Größe ist, Drehmoment hingegen eine vektorielle. Das ist kein kleiner Unterschied! Also:

Arbeit (und daher Energie) und Drehmoment sind verschiedene physikalische Größen, da die erste eine skalare Größe ist und das zweite eine vektorielle. Daher braucht man auch unterschiedliche Einheiten (Joule für die Energie-Arbeit, Newtonmeter für das Drehmoment)