Himmelsgesetze der Bewegung/ Einführung in die Wellenphysik

Winkelfunktionen und Kreisbewegung

Nehmen wir an, dass ein Punkt P_K sich auf einem Kreis mit konstanter (Winkel- oder Bahn-) Geschwindigkeit bewegt („gleichförmige“ Kreisbewegung) (siehe Animation). P_Y ist die Projektion des Punktes auf der y-Achse. Stellen wir uns vor, dass sich an Punkt P_Y eine Füllfeder befindet und darunter ein bewegendes Papier. Die Füllfeder hinterlässt eine Spur (Punkt P_F) auf dem Papier. Das Ergebnis würde wie auf den folgenden Bildern aussehen.

Die Kurve die entsteht nennt man Kosinusfunktion. Sie (als auch die Sinusfunktion) ist eine sogenannte Winkelfunktion. Winkelfunktionen und Kreisbewegung sind also ganz stark miteinander verbunden. Eigentlich ist die Kreisfunktion eine Kombination von zwei Winkelfunktionen (Sinus und Cosinus) in zwei verschiedenen Richtungen (Senkrecht und Waagerecht). Hier ist noch ein dreidimensionales Bild zur Entstehung der Kosinus Funktion (links) und ein Bild zur Entstehung der Sinus Funktion (rechts).

Winkelfunktionen stellen die Basis für die Beschreibung und das Verständnis der Schwingungen und daher auch der Wellen dar. Eine genauere Beschreibung der Mathematik der Wellen ist aber außerhalb der Ziele dieses Buches. Dafür soll man sich an anderen Quellen wenden, z.B. Wellenfunktion oder Wellengleichung.

Das Pendel und die Fallbeschleunigung

Die Schwingung eines Pendels kann man im Koordinatensystem durch eine Sinus- (oder Kosinus-) Funktion annähernd darstellen. Wovon hängt die Periode eines Pendels ab? Wenn man experimentiert, stellt man bald fest, dass die einzige Größe, wovon die Periode abhängt, die Länge des Pendels ist. Probieren wir mit Hilfe der Dimensionsanalyse (dieses starkes Instrument der Physik) eine Formel für die Periode zu erstellen.

Experimentelle Messung der Periode und Anpassung

Wenn man genau die Ergebnisse der Messungen der Experimente in einem Koordinatensystem darstellt (Bild links), stellt man schnell fest, dass nicht die Periode, sondern das Quadrat der Periode direkt proportional zur Länge (und allein zur Länge) ist (Bild rechts).

$T^{2}\propto l$

Die Länge l muss daher eine Konstante k mal das Quadrat der Periode sein. Welche Einheiten hat diese Konstante?

$l=k\cdot T^{2}$ also $k\propto {\frac {l}{T^{2}}}$

also in Einheiten:

$k\propto {\frac {m}{s^{2}}}$ also Meter durch Sekunde zum Quadrat

Letzteres ist aber genau die Einheiten der Beschleunigung. Es ist naheliegend zu denken, dass man die Länge durch irgendeine Beschleunigung dividieren muss, um das Quadrat der Periode des Pendels zu bekommen. Welche Beschleunigung wirkt auf das Pendel? Die einzige Beschleunigung die wirkt, ist die Fallbeschleunigung g, die die Konstante k darstellen soll. Daher kann man schreiben, mit Ungenauigkeit von höchstens eine Zahl zwischen 1 und 10 (die von der Symmetrie des Problems abhängt):

$g\propto {\frac {l}{T^{2}}}$ also $T\propto {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

Wenn man die Messungen benutzt, folgt daraus, dass

${\boldsymbol {\mathrm {T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {\frac {l}{g}}}} }}$ die Periode eines Pendels

Die Periode des Pendels ist eine der genauesten Methoden für die Messung der Fallbeschleunigung. Je mehr Perioden (auf einmal) gemessen werden, desto kleiner ist der zufälliger Fehler und einen systematischen Fehler gibt es nicht, wenn man vorsichtig ist.

Schwingung einer Feder

Das hookesche Gesetz

Bevor man die Schwingung einer Feder untersucht, soll man herausfinden, welche Beziehung zwischen Kraft und Dehnung der Feder besteht. Bei Federn aus Metall gilt annähernd:

$F=-D\cdot \Delta x$

x zeigt hier die Dehnung der Feder

D ist die sogenannte Federkonstante, die uns zeigt, wie Steif die Feder ist (je größer die Konstante, desto steifer die Feder)

Das Minus zeigt uns, dass die Kraft in die Gegenrichtung der Dehnung ist.

Diese Formel nennt man hookesches Gesetz. Man muss betonen, dass dieses Gesetz nur annähernd, nur bei wenigen dehnbaren Materialien und nur bis zu einer gewissen Ausdehnung gilt. Z.B. gilt das Gesetz weder bei einem Gummiband noch wenn eine Metallfeder zu weit ausgedehnt wird!

Die Einheiten der Federkonstante

Wenn man die Formel des hookeschen Gesetzes umformt, bekommt man:

$D={\frac {F}{\Delta x}}$

(Wenn man für F und x positive Werte benutzt, kann man das Minus weglassen)

Dadurch kann man die Einheiten der Federkonstante herausfinden (Dimensionsanalyse):

$D={\frac {F}{\Delta x}}{\mathrel {\hat {=}}}{\frac {N}{m}}$ also Newton pro Meter und in Grundeinheiten, da Kraft Masse mal Beschleunigung (also kg mal m/s² ist:

${\frac {N}{m}}={\dfrac {kg\cdot {\dfrac {m}{s^{2}}}}{m}}={\frac {kg}{s^{2}}}$

Die Einheiten der Federkonstante D sind: ${\boldsymbol {\frac {kg}{s^{2}}}}$

Die potenzielle Energie einer Feder

Nach dem hookeschen Gesetz ist die Kraft direkt proportional zur Dehnung:

$F=-D\cdot \Delta x$

Im Bild sieht man das entsprechende Diagramm. In diesem Diagramm ist die Fläche Kraft mal Strecke, also Arbeit. Diese ist die Arbeit, die man verrichtet hat, um die Feder zu dehnen und wird im Feder als potenzielle Energie gespeichert. Wie man im Bild ablesen kann, ist diese Fläche ein Dreieck, also:

$E_{P}={\frac {1}{2}}\cdot F\cdot x$

und weil F=D⋅x (das Minus brauchen wir hier nicht):

${\boldsymbol {\mathrm {E_{P}={\frac {1}{2}}\cdot D\cdot x^{2}} }}$ potenzielle Energie einer Feder

Die Federkonstante und die Waage

Eine Weise um die Federkonstante zu messen ist, eine Masse auf die Feder aufzuhängen. Dann dehnt sie sich die Feder aus, bis die Federkraft gleich der Gewichtskraft wird:

F_F=F_G also D⋅x = m⋅g

Dadurch kann man die Federkonstante berechne, wenn die Masse schon bekannt ist:

$D={\frac {m\cdot g}{x}}$

Genauso kann man die Masse berechnen, wenn die Federkonstante bekannt ist:

$m={\frac {D\cdot x}{g}}$

Letztere Formel benutzt man bei einer Waage, die mit Federn funktioniert. Die Feder wird durch die Gewichtskraft ausgedehnt und dadurch bewegt sich ein Zeiger. Die Ausdehnung aber hängt von der Kraft ab und nicht nur von der Masse. Obwohl am Zeiger die Masse angezeigt wird, stimmt das doch nicht genau. Die Kraft ist auch von g abhängig und daher, wenn man etwas an auf einem Berg wiegt, wo die Fallbeschleunigung g doch kleiner ist, dann zeigt die Waage einen geringeren Wert für die Masse, obwohl die Masse gleich bleibt. Annähernd aber zeigt uns die Waage auf der Erdoberfläche die tatsächliche Masse.

Die Periode der Schwingung

Wenn man auf eine Feder eine Masse aufhängt und diese in Bewegung bringt, stellt man schnell Fest, das die Periode der dadurch erzeugten Schwingung von der Masse abhängt. Genauer ist die Masse direkt proportional zum Quadrat der Periode:

$T^{2}\propto m$

Die Masse m muss daher eine Konstante k mal das Quadrat der Periode sein. Welche Einheiten hat diese Konstante? Benutzten wir wieder die Dimensionsanalyse.

$lm=k\cdot T^{2}$ also $k\propto {\frac {m}{T^{2}}}$

also in Einheiten:

$k\propto {\frac {kg}{s^{2}}}$ also Kilogramm durch Sekunde zum Quadrat

Das sind aber genau die Einheiten der Federkonstante! Mit Hilfe der Experimentergebnisse kommt man auf die Formel:

${\boldsymbol {\mathrm {T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {\frac {m}{D}}}} }}$ die Periode einer Feder