Himmelsgesetze der Bewegung/ Fluchtgeschwindigkeit

Potenzielle Energie allgemein im Gravitationsfeld

Wir haben schon die potenzielle Energie in der Nähe der Erdoberfläche definiert:

E_P = m · g · H

Es ist naheliegend zu denken, dass je weiter von der Erde sich einen Körper befindet, desto weniger der Einfluss der Erde sein wird, also desto kleiner wird die Gravitations-Anziehungskraft sein. Kleinere Kraft bei gleicher Masse bedeutet aber kleiner Fallbeschleunigung (weil F = m · g). Das heißt aber dann, dass wir diese Formel für die potenzielle Energie nur in der Nähe der Erdoberfläche benutzen können (wo die Fallbeschleunigung fast konstant ist). Allgemein für die potenzielle Energie Ep in einem Gravitationsfeld ist die Formel:

$E_{P}=G\cdot {\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{R}}$

G ist die sogenannte Gravitationskonstante: G ≈ 6,67 10^-11 (in SI Einheiten)

m₁, m₂ sind aufeinander wirkende Massen

R ist hier der Abstand zwischen den Schwerpunkten der Massen (und NICHT unbedingt der Radius der Erde oder sonst was)

Fluchtgeschwindigkeit definieren

Je schneller ich einen Körper nach oben werfe, desto höher gelangt es. Immer aber kommt es zurück. Wie groß ist die Geschwindigkeit mit der ich einen Körper „nach oben“ werfen muss, damit er die Erde für immer verlässt? Man kann mathematisch zeigen, dass es so eine Geschwindigkeit gibt. Die Geschwindigkeit, mit der man aus der Oberfläche eines Himmelkörpers (z.B. der Erde) ein Objekt „nach oben“ werfen muss, damit es den Himmelkörper „für immer“ verlässt, nennt man Fluchtgeschwindigkeit.

Fluchtgeschwindigkeit berechnen

Wir haben schon den Energieerhaltungssatz mit Hilfe des freien Falls gezeigt: potenzielle Energie wird zum Ganzen in Bewegungsenergie umgewandelt, wenn die einzige wirkende Kraft,die Gravitationskraft ist. Die Gesamtenergie (Summe der potenzielle und der kinetische) bleibt also erhalten. Um die Fluchtgeschwindigkeit zu berechnen arbeitet man in die Gegenrichtung: wir werfen einen Körper nach oben, also kinetische Energie am Anfang E_KA wird am Ende zum Ganzen (wenn keine andere Kraft wirkt) zur potenzielle E_PE:

E_KA = E_PE

Wir setzen die Formeln für die Energien ein:

${\frac {1}{2}}\cdot m_{1}\cdot v_{F}^{2}=G\cdot {\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{R}}$

und durch Umformen bekommen wir

$v_{F}={\sqrt {\frac {2\cdot G\cdot m_{2}}{R}}}$

v_F: Fluchtgeschwindigkeit

G: Gravitationskonstante,

m1: Masse des fliehenden Körpers,

m2: Masse des Himmelkörpers (z.B. Erde, Sonne, Mond),

R: Abstand zwischen den Schwerpunkten der beiden Massen.

Unabhängigkeit von der Masse des fliehenden Körpers

Wie man in der Formel sehen kann, hängt die Fluchtgeschwindigkeit vF von der Masse des fliehenden Körpers m1 NICHT ab! Man könnte sagen, dass das unsere Intuition widerspricht. Ist es nicht merkwürdig, dass ich einen LKW oder einen Kugelschreiber genau mit der gleichen Geschwindigkeit „nach oben“ werfen muss, damit er die Erde „für immer“ verlässt? Etwas ähnliches haben wir auch beim freien Fall gesehen. Es gibt aber in beiden Fällen (freiem Fall und Fluchtgeschwindigkeit) doch etwas, das von der Masse des fallenden bzw. fliehenden Körpers abhängt: die Energie. Die Formel für die Bewegungsenergie beinhaltet die Masse des Körpers. Man braucht viel mehr Energie, wenn man ein LKW „nach oben“ wirft (im Vergleich zu einem Kugelschreiber) damit er die Erde „für immer“ verlässt. Die Geschwindigkeit ist aber nur von der Masse des Planeten und für den Abstand der Schwerpunkte abhängig. Für die Erdoberfläche beträgt sie ca. 11,2 km/s. Das berechnen wir gleich.

Konkretes Beispiel berechnen (Erde)

Wie groß ist die Fluchtgeschwindigkeit für die Erde? Man soll einfach die Werte für die Erde in die Formel einsetzen:

M_⊕ : Masse der Erde ≈ 5,97 · 10²⁴ kg

R_⊕ : Erdradius ≈ 6370 km

Man darf NICHT vergessen, dass wir hier SI Einheiten benutzen, also muss der Radius in Meter umgewandelt werden:

6370 km = 6,37 · 10³ km = 6,37 · 10³ · 10³ m = 6,37 · 10⁶ m

Wenn man die Werte in die Formel einsetzt

$v_{F}={\sqrt {\frac {2\cdot G\cdot m_{2}}{R}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 6,67\cdot 10^{-11}\cdot 5,97\cdot 10^{24}}{6,37\cdot 10^{6}}}}$

bekommt man ca. den Wert 11,2 km/s