Statistik: Funktionen von Zufallsvariablen

Funktion einer Zufallsvariablen

Lineare Transformation einer Zufallsvariablen

Der Student Bert hat eine kleine schicke Appartementwohnung, die er hin und wieder säubern muss. Die Intervalle der Reinigungsaktionen sind unterschiedlich und lassen sich folgendermaßen beschreiben: Die Zeit in Wochen, die nach der letzten Säuberungsaktion verstrichen ist, wird als Zufallsvariable X bezeichnet. Die Intervalle verteilen sich folgendermaßen:

Zahl der Wochen bis zur nächsten Putzaktion xi	0	1	2	3	4	5
Wahrscheinlichkeit f(xi)	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1	0,1

X hat den Erwartungswert EX =2,4 und die Varianz 2,04. Rechnen Sie das zur Übung selber nach.

Wenn Bert putzen muss, hängt der Aufwand in Stunden von der Zahl der Wochen ab, die er seine Wohnung vernachlässigt hat. Er braucht jedesmal ca. 1 Stunde für das Bad und einmal Durchsaugen. Für die restlichen Arbeiten muss er pro verstrichener Woche noch eine halbe Stunde Arbeitszeit hinzugeben. Morgen kommen seine Eltern zu Besuch. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss Bert heute 2 Stunden putzen? Wie lange putzt er durchschnittlich jedes Mal?

Hier überlegen wir uns zunächst mal, dass die Putzzeit von der vorherigen „Karenzzeit“ X abhängt. Sie ist also auch eine Zufallsvariable. Man könnte sie so darstellen:

$Y=1+0{,}5\cdot X$

Wie ist nun Y verteilt? Y hängt direkt von X ab und wir erhalten die Wahrscheinlichkeitstabelle

Zahl der Wochen bis zur nächsten Putzaktion xi	0	1	2	3	4	5
Aufgewendete Putzzeit yi	1	1,5	2	2,5	3	3,5
Wahrscheinlichkeit f(yi)	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1	0,1

Man kann sofort sehen, dass Bert mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% 2 Stunden putzen wird.

Wir wollen nun Erwartungswert und Varianz von Y ermitteln. Der Erwartungswert berechnet sich wie gewohnt als

${\begin{array}{ccl}EY&=&\sum _{i}y_{i}\cdot f(y_{i})=1\cdot 0{,}1+1{,}5\cdot 0{,}2+2\cdot 0{,}2\\&&+2{,}5\cdot 0{,}3+3\cdot 0{,}1+3{,}5\cdot 0{,}1\\&=&0{,}1+0{,}3+0{,}4+0{,}75+0{,}3+0{,}35=2{,}2\end{array}}$.

Das bedeutet er putzt durchschnittlich 2,2 Stunden.

Die Varianz ergibt sich analog als

${\begin{array}{ccl}varY&=&\sum _{i}y_{i}^{2}\cdot f(y_{i})-(EY)^{2}=1^{2}\cdot 0{,}1+1{,}5^{2}\cdot 0{,}2+2^{2}\cdot 0{,}2\\&&+2{,}5^{2}\cdot 0{,}3+3^{2}\cdot 0{,}1+3{,}5^{2}\cdot 0{,}1-2{,}2^{2}\\&=&0{,}1+0{,}45+0{,}8+1{,}875+0{,}9+1{,}225-2{,}2^{2}=0{,}51\end{array}}$

Schön wäre es allerdings, wenn man die Parameter der Verteilung etwas einfacher ausrechnen könnte. Y hat die schöne Eigenschaft, dass es eine lineare Transformation von X ist der Art

$Y=a+bX$ .

Bei linearen Transformationen wie oben gilt

$EY=a+b\cdot EX$

und

$varY=b^{2}\cdot varX$ .

Rechnen wir nach:

$EY=1+0{,}5\cdot EX=1+0{,}5\cdot 2{,}4=1+1{,}2=2{,}2$

und

$varY=0{,}5^{2}\cdot varX=0{,}25\cdot 2{,}04=0{,}51$ .

Standardisierung

Eine spezielle lineare Transformation ist die Standardisierung einer Zufallsvariablen X durch

$Z={\frac {X-EX}{\sqrt {varX}}}$.

Man kann nämlich Z so umformen:

$Z={\frac {X}{\sqrt {varX}}}-{\frac {EX}{\sqrt {varX}}}=a+bX$

mit $b={\frac {1}{\sqrt {varX}}}$ und $a=-{\frac {EX}{\sqrt {varX}}}$, denn Erwartungswert und Varianz von X sind Konstanten.

Es ist dann EZ = 0 und varZ = 1.

Nichtlineare Funktion einer Zufallsvariablen

Lakonisch könnte man sagen: Eine nichtlineare Funktion ist eine Funktion, die nicht linear ist. Man kann sie also nicht in der Form Y = a + bx schreiben. Beispiele sind etwa

$Y=X^{2},\quad Y=\sin X,\quad Y={\sqrt {X}}$

Hier kann man die Parameter im Allgemeinen nur über die Verteilung der Zufallsvariablen bestimmen.

Beispiel

Es hat sich herausgestellt, dass der Aufwand an Putzmitteln (ml pro qm) in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit quadratisch steigt mit der Funktion

$Y=2+1\cdot X^{2}$

Zahl der Wochen bis zur nächsten Putzaktion xi	0	1	2	3	4	5
Aufgewendete Putzmittel yi	2	3	6	11	18	27
Wahrscheinlichkeit f(yi)	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1	0,1

Hier kann man Erwartungswert und Varianz von Y nur mit den bekannten Formeln ermitteln, etwa

${\begin{array}{ccl}EY&=&\sum _{i}y_{i}\cdot f(y_{i})=2\cdot 0{,}1+3\cdot 0{,}2+6\cdot 0{,}2\\&&+11\cdot 0{,}3+18\cdot 0{,}1+27\cdot 0{,}1\\&=&0{,}2+0{,}6+1{,}2+3{,}3+1{,}8+2{,}7=9{,}8\end{array}}$.

Lineare Funktionen mehrerer Zufallsvariablen

Zwei Variablen

Gegeben sind zwei Zufallsvariablen X₁ und X₂ mit den Verteilungsparametern EX₁, varX₁ und EX₂, varX₂. Außerdem sind die beiden Zufallsvariablen korreliert mit der Kovarianz covX₁X₂. Es wird eine Zufallsvariable

$Y=b_{0}+b_{1}X_{1}+b_{2}X_{2}$

gebildet. Analog zu oben errechnet sich der Erwartungswert von Y durch

$EY=b_{0}+b_{1}EX_{1}+b_{2}EX_{2}$ .

Die Varianz von Y setzt sich aus den Einzelvarianzen der Zufallsvariablen zusammen. Hinzu kommt noch die Kovarianz:

$varY=b_{1}^{2}varX_{1}+b_{2}^{2}varX_{2}+2b_{1}b_{2}\cdot covX_{1}X_{2}$.

Wenn die zwei Zufallsvariablen X₁ und X₂ stochastisch unabhängig sind, ist ihre Kovarianz Null. Dann reduziert sich die Formel für die Varianz auf

$varY=b_{1}^{2}varX_{1}+b_{2}^{2}varX_{2}$.

Beispiel

Die Versorgung mit Getränken in einem Fußballstadion mittlerer Größe wird bei Spielen von einem Gastronomieunternehmen betrieben. Man weiß aus Erfahrung, dass die Zahl der verkauften Bierbecher von der Zahl der vorbestellten Eintrittskarten abhängt, und zwar in unterschiedlicher Weise von einheimischen und auswärtigen Besuchern. Es sei X₁: Zahl der bestellten Karten von Einheimischen und X₂: Zahl der bestellten Karten von Auswärtigen.

Es hat sich herausgestellt, dass $EX_{1}=10.000,EX_{2}=1000$ und $varX_{1}=2000,varX_{2}=300$ sind.

Zudem sind X₁ und X₂ korreliert, denn je interessanter ein Spiel, desto mehr Einheimische und Auswärtige schauen das Spiel an. Es ist covX₁X₂ = 400.

Die Zahl der verkauften Getränke lässt sich angeben als

$Y=100+2X_{1}+3X_{2}$.

Es ist hier

$EY=100+2\cdot 10000+3\cdot 1000=23100$

und

$varY=2^{2}\cdot 2000+3^{2}\cdot 300+2\cdot 2\cdot 3\cdot 400=15500$

Mehr als zwei Variablen

Gegeben sind n Zufallsvariablen X_i (i = 1, ..., n) mit den Erwartungswerten EX_i, den Varianzen varX_i und den paarweisen Kovarianzen covX₁X₂, covX₁X₃, ..., covX_n-1X_n . covX_iX_j (i < j; i = 1, ..., n-1; j = i+1, ..., n). Es sei

$Y=b_{0}+b_{1}X_{1}+b_{2}X_{2}+...+b_{n}X_{n}=b_{0}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}X_{i}$.

Dann erhalten wir für den Erwartungswert

$EY=b_{0}+b_{1}EX_{1}+b_{2}EX_{2}+...+b_{n}EX_{n}=b_{0}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}EX_{i}$.

Die Varianz von Y können wir als Summe der Varianzen und paarweisen Kovarianzen ermitteln als

$varY=\sum _{i=1}^{m}b_{i}^{2}varX_{i}+2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}b_{i}b_{j}covX_{i}X_{j}$.

und, falls die Zufallsvariablen X_i stochastisch unabhängig sind, als Varianz

$varY=\sum _{i=1}^{m}b_{i}^{2}varX_{i}$.

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↑  Abhängigkeit von Zufallsvariablen

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