A. Einstein: Kommentare und Erläuterungen: Zur Elektrodynamik bewegter Körper: Druckversion

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Albert Einsteins erste Veröffentlichung zur Speziellen Relativitätstheorie

(Annalen der Physik und Chemie, Jg. 17, 1905, S. 891–921)

Kommentiert und erläutert.

[Bearbeiten] Inhalt

Vorbemerkungen
Kinematischer Teil
- § 1. Definition der Gleichzeitigkeit
- § 2. Über die Relativität von Längen und Zeiten
- § 3. Theorie der Koordinaten- und Zeittransformation
- § 4. Physikalische Bedeutung der erhaltenen Gleichungen ...
- § 5. Additionstheorem der Geschwindigkeiten
Elektrodynamischer Teil
- § 6. Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum ...
- § 7. Dopplersches Prinzip und Aberration
- § 8. Transformation der Energie der Lichtstrahlen. Theorie des Strahlungsdrucks
- § 9. Transformation der Maxwellschen Gleichungen mit Berücksichtigung der Konvektionsströme
- § 10. Dynamik des (langsam beschleunigten) Elektrons
Autorenliste

[Bearbeiten] Vorbemerkungen

Einsteins grundlegende erste Veröffentlichung zu dem Gebiet, das später „Spezielle Relativitätstheorie“ genannt wurde, ist nun über 100 Jahre alt. In dieser Zeit haben sich die deutsche Sprache und ihr Gebrauch gewandelt, und dieser Wandel erschwert uns Heutigen manchmal das Verständnis des Textes. Außerdem verzichtet Einstein fast völlig auf mathematische Herleitungen seiner Ergebnisse; er begnügt sich mit der Angabe des Ansatzes und – nach einem lapidaren „Hieraus folgt“ – des Ergebnisses. Der Weg dazwischen ist nicht immer leicht zu erkennen und besteht manchmal aus seitenlangen Berechnungen.

Mit diesem Kommentar zu dem wohl folgenreichsten Text der Physik versuche ich, beide Schwierigkeiten zu mildern oder zu beheben, bevor der weitere Fortschritt der Zeit und weiterer Wandel der Sprache sie noch steigern. Einsteins Text führe ich dabei stückweise in einer Faksimilewiedergabe an, einschließlich der Seitenumbrüche und der jeweiligen Kopfzeile.

Einstein beginnt mit der Feststellung, dass die damals übliche Auffassung der Maxwellschen Elektrodynamik zu Ergebnissen führt, die beobachtbaren Phänomenen widersprechen.

Schauen wir uns den Fall etwas genauer an und betrachten wir als Beispiel einen Hufeisenmagneten.

1. Bewegt sich dieser relativ zum Bezugssystem des Beobachters, so entsteht in diesem Bezugssystem ein elektrisches Wirbelfeld, das von der 2. Maxwellschen Gleichung so beschrieben wird:

$\oint {\overrightarrow E \,\operatorname{d} \overrightarrow s = - \frac{\operatorname{d} } {{\operatorname{d} t}}\int_A {\overrightarrow B \,\operatorname{d} \overrightarrow A } } \; = - \frac{{\operatorname{d} \mathit\Phi _A }} {{\operatorname{d} t}}.$

Das bedeutet: Das Linienintegral der induzierten elektrischen Feldstärke über eine geschlossene Kurve, die im Bezugssystem des Beobachters ruht, ist gleich der negativen Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen Flusses durch eine von dieser Kurve umschlossenen Fläche A. (Dabei spielt die Gestalt der Fläche keine Rolle.)

In Differentialform lautet dieses Gesetz:

$\operatorname{rot} \,\overrightarrow E = - \frac{{\partial \overrightarrow B }} {{\partial t}}\,.$

Es bedeutet: Die Rotation der elektrischen Feldstärke (oder des Feldstärkevektors) in irgendeinem Punkt P ist gleich der negativen Änderungsgeschwindigkeit der magnetischen Flussdichte in diesem Punkt.

In der folgenden Abbildung sind drei geschlossene elektrische Feldlinien angedeutet:

Bei diesem Vorgang kommt es nur auf die Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen Flusses Φ bzw. der magnetischen Flussdichte (= Induktion) B an, die durch die Bewegung des Magneten relativ zum Beobachter hervorgerufen wird. Verschiedene Beobachter mit unterschiedlichen Relativgeschwindigkeiten zum Magneten beobachten in ihren Bezugsystemen demnach im Allgemeinen unterschiedliche elektrische Felder. Das bedeutet aber: Das elektrische Feld existiert nicht »absolut« im Raum, sondern im Bezugssystem des Beobachters.

Befindet sich im Bereich des elektrischen Feldes ein (offener oder geschlossener) Leiterkreis, so entsteht in diesem eine elektrische Spannung U:

$U = \oint_L {\overrightarrow E \;\operatorname{d} \overrightarrow s } = - \int_A {\overrightarrow B \;\operatorname{d} \overrightarrow A } \;,$

wobei das Integral über den Leiter L zu bilden und A eine vom Leiter umschossene Fläche ist. Ist der Leiterkreis geschlossen, so fließt ein elektrischer Strom, der einen bestimmten Energieumsatz hervorruft.

Die 2. Maxwellsche Gleichung beschrieb ursprünglich die Induktion nur für den hier betrachteten Fall, dass der geschlossene Integrationsweg im Bezugssystem des Beobachters ortsfest ist und die Änderung des magnetischen Flusses durch eine Veränderung des Magnetfeldes im Laufe der Zeit (z. B. durch Bewegung des Magneten) zustande kommt. Es berücksichtigte also nicht den Fall, dass der Magnet ruht und eine Leiterschleife sich im Magnetfeld bewegt.

2. Ruht der Magnet im Bezugssystem des Beobachters und bewegt sich ein (geschlossener oder offener) Leiterkreis im Magnetfeld, so entsteht im Bezugssystem des Beobachters kein elektrisches Feld.

Berücksichtigt man, dass die Elektronen im Leiter bei dessen Bewegung in einem Magnetfeld eine Kraft erfahren, so kann man zeigen, dass in dem Leiterkreis eine elektrische Spannung induziert wird, die ebenfalls gleich der negativen Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen Flusses durch den Leiterkreis ist. Es gilt also dasselbe Gesetz wie im ersten Fall, obwohl jetzt im Bezugssystem des Beobachters kein elektrisches Feld existiert.

Benutzen wir dagegen ein Bezugssystem, in dem die Leiterschleife ruht, also ein Bezugssystem, das sich mit der Leiterschleife relativ zum Magneten bewegt, so existiert in diesem Bezugssystem in elektrisches Feld, und wir haben wieder den ersten Fall.

Fazit: Die beiden Fälle unterscheiden sich einerseits sehr deutlich von einander: Im ersten Fall existiert ein elektrisches Feld im Bezugssystem des Beobachters, im zweiten Fall nur im Leiter. Andererseits aber beruht dieser Unterschied lediglich auf dem Verhalten des Bezugssystems des Beobachters. Bewegt sich dieses relativ zum Magneten, existiert in dem Bezugssystem ein elektrisches Feld, andernfalls nicht.

Einstein hatte nun erkannt, dass die Schwierigkeiten bei der Interpretation und Anwendung der Maxwellschen Gleichungen darauf beruhten, dass diese nur für ein einziges, als ruhend angesehenes Bezugssystem galten, in dem sich – um bei unserem Beispiel zu bleiben – entweder der Magnet oder die Leiterschleife bewegt. Tatsächlich sieht man den Maxwellschen Gleichungen an, dass in ihnen eine Bewegung des Bezugssystems nicht vorgesehen ist. Einsteins Ziel war nun, elektrodynamische Gesetze zu formulieren, die auch in relativ zu einander bewegten Bezugssystemen gültig waren. Daher der Titel seines Arbeit: "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", womit er eigentlich "Zur Elektrodynamik bewegter Bezugssysteme" meinte (siehe dazu S. 892, 2. Absatz, wo starre Körper und Koordinatensysteme gleichgesetzt werden).

Noch eine Anmerkung:

Die »elektromotorische Kraft« wird seit geraumer Zeit als (eingeprägte) elektrische Spannung bezeichnet, mit den »elektrischen Kräften« meint Einstein das elektrische Feld.

Die »mißlungenen Versuche, eine Bewegung der Erde relativ zum "Lichtmedium" zu konstatieren«, können nur die Versuche von Michelson und Morley (1887) und ihrer Nachfolger sein.

Die »Beispiele ähnlicher Art« sind vermutlich der optische Doppler-Effekt und die Aberration des Lichts, auf die Einstein im § 7 der vorliegenden Arbeit besonders eingeht. Auch der Versuch von Fizeau (1851) widerlegt die Äthertheorie. Alle diese Beobachtungen »führen zu der Vermutung, dass dem Begriffe der absoluten Ruhe nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der Elektrodynamik keine Eigenschaften der Erscheinungen entsprechen ...« was schlicht bedeutet, dass es auch mit Hilfe elektromagnetischer Felder und Wellen nicht möglich ist, absolute Geschwindigkeiten zu messen und die absolute Ruhe eines Bezugssystems festzustellen. Damit werden diese beiden Begriffe physikalisch sinnlos.

Die »Koordinatensysteme, für welche die mechanischen Gleichungen gelten«, nennen wir heute Inertialsysteme, womit unbeschleunigte Bezugssysteme gemeint sind.

Die Bemerkung über »die Größen erster Ordnung« für welche die Gleichwertigkeit der Inertialsysteme bereits bewiesen sei, kann nur von Experten verstanden werden und ist zudem sprachlich mangelhaft formuliert. Gemeint ist damit die Empfindlichkeit der oben genannten Versuche hinsichtlich der Geschwindigkeit v des Bezugssystems im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit c. Bei der mathematischen Formulierung der zu erwartenden Effekte treten unendliche Reihen auf, in denen der Quotient v/c in der ersten, zweiten, ... Potenz vorkommt. Die entsprechenden Glieder sind die »Größen erster, zweiter usw. Ordnung«. Je empfindlicher eine Versuchsanordnung ist, desto höher ist die Ordnung (also die Potenz) der schnell kleiner werdenden Glieder, die bei der Messung noch erfasst werden. Einstein meint also, dass die einschlägigen Messungen die Gleichwertigkeit der Inertialsysteme auch für die Elektrodynamik (wozu auch die Optik gehört) bereits mit einer Genauigkeit erwiesen haben, wie sie den Größen erster Ordnung entspricht. (Der Michelson-Versuch konnte auch noch Größen 2. Ordnung in v/c erfassen.)

Einstein erhebt nun seine Vermutung der Gleichwertigkeit aller Inertialsysteme auch für die Elektrodynamik (was gleichbedeutend ist mit der Nicht-Existenz des Lichtäthers) zur Voraussetzung seiner folgenden Betrachtungen. Ihren Inhalt nennt er »das Prinzip der Relativität«. Hier taucht zum ersten Mal der ominöse Begriff Relativität auf, der später zum Namen der ganzen Theorie wurde – zum Missvergnügen Einsteins.

Weiterhin nennt Einstein als Voraussetzung, »dass sich das Licht im leeren Raume stets mit einer bestimmten, vom Bewegungszustande des emittierenden Körpers unabhängigen Geschwindigkeit V fortpflanze.«

Nimmt man das Wort »stets« ernst, so bedeutet dieser Satz, dass die Vakuumlichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen dieselbe sein soll (Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit). Später (S. 895, § 2.) wird sich allerdings zeigen, dass Einstein es so nicht gemeint hat. Vielmehr soll nur der Bewegungszustand des emittierenden Körpers (relativ zum "ruhenden" System) keinen Einfluss auf die Lichtgeschwindigkeit haben.

Es ist mir unverständlich, wieso die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit als mit dem Relativitätsprinzip unverträglich erscheinen könnte. Sie ist vielmehr geradezu eine Konsequenz des Relativitätsprinzips (d. h. der Gleichwertigkeit aller Inertialsysteme) und bedürfte gar keiner eigenen Erwähnung. Denn wenn die Lichtgeschwindigkeit in relativ zu einander bewegten Bezugssysteme verschiedene Werte hätte, dann könnte das nur daran liegen, dass die Bezugssysteme unterschiedliche Geschwindigkeiten relativ zum absoluten Raum (oder relativ zum Lichtäther) hätten, womit bewiesen wäre, dass beides existiert.

Was bedeutet das?

Von hinten her aufgerollt und konkret formuliert:

1. Die Elektrodynamik hat gegenwärtig mit Schwierigkeiten zu kämpfen, wenn bewegte Bezugssysteme ins Spiel kommen.

2. Diese Schwierigkeiten beruhen darauf, dass nicht genügend berücksichtigt wird, dass die Aussagen einer jeden elektromagnetischen Theorie (auch) die Beziehungen zwischen Koordinatensystemen, Uhren (beides zusammen sind Bezugssysteme) und elektromagnetischen Prozessen (insbesondere die Lichtausbreitung) betreffen. Genauer: Kommen relativ zueinander bewegte Bezugssysteme ins Spiel, so ist zu untersuchen, wie sich diese dabei verhalten. Bleiben die Koordinatensysteme starr? Bleibt die Länge eines Stabes unverändert, wenn sie von einem anderen, relativ bewegten Bezugssystem aus beurteilt wird? Bleibt der Gang der Uhren unverändert, wenn sie von einem anderen Bezugssystem aus beobachtet werden?

Alle diese Fragen wurden bisher ignoriert, weil sie als überflüssig, ja als unsinnig galten. Und genau dies ist der Grund der zu beobachtenden Schwierigkeiten.

[Bearbeiten] Kinematischer Teil

[Bearbeiten] § 1. Definition der Gleichzeitigkeit

Ein Koordinatensystem (wir würden sagen: ein Bezugssystem), in dem die Newtonschen Gleichungen gelten, wird heute Inertialsystem genannt.

Die Bezeichnung »ruhendes System« ist höchst unglücklich gewählt, provoziert sie doch die Frage, relativ wozu das System denn ruhe? (Die Nichtexistenz einer absoluten Ruhe ist ja gerade das große Thema der Relativitätstheorie.) Es muss also heißen: Ein relativ zum Beobachter (das ist z. B. der Leser) ruhendes Inertialsystem.

"Wollen wir die Bewegung eines materiellen Punktes beschreiben, so geben wir die Werte seiner Koordinaten in Funktion der Zeit.“ Diese Ausdrucksweise ist seit langem ungewöhnlich; ihre Bedeutung ist jedoch leicht zu erraten: "... so geben wir die Werte seiner Koordinaten als Funktionen der Zeit an."

Hier führt Einstein im Handstreich eine sehr pragmatische »operationale« Definition der Zeit (genauer: des Zeitpunkts) ein: Der jeweilige Zeitpunkt ist das, was der kleine Zeiger meiner Uhr anzeigt.

Die im ersten Absatz nur versuchsweise vorgeschlagene Definition des Zeitpunkts eines vom Beobachter entfernten Ereignisses bedeutet: Ein Geschehen ereignet sich dann, wenn der Beobachter durch ein Lichtsignal davon erfährt. Natürlich verwirft Einstein diese absurde Definition sofort; er hätte sie uns auch gleich ersparen können. Der von Einstein eingeräumte Mangel des Verfahrens allerdings gründet weniger darin, dass die zeitliche Zuordnung vom Standpunkt des Beobachters abhängig ist (er soll ja im Koordinatenursprung stehen), sondern von der Entfernung der Ereignisse vom Beobachter.

Im zweiten Absatz geht einiges dem modernen Sprachgebrauch zuwider, vor allem der seltsame Gebrauch von »definieren«, »durch Definition« und »definitionsgemäß«. Außerdem gebraucht Einstein den Begriff »Zeit« unterschiedslos sowohl für das Phänomen »Zeit« wie auch für »Zeitspanne« und »Zeitpunkt«, also für drei völlig verschiedene Gegenstände. Der Inhalt des letzten Teils des zweiten Absatzes kann etwa so wiedergegeben werden: Eine für A und B verbindliche "Zeit" kann dadurch gewonnen werden, dass man die Uhren in A und B (die beide im Bezugssystem des Beobachters ruhen) synchronisiert. Der synchrone Gang der beiden Uhren kann wie folgt kontrolliert werden: Man sendet einen Lichtstrahl zur "A-Zeit" t_A von A nach B, der dort zur "B-Zeit" t_B ankomme, reflektiert werde und nach A zurücklaufe, wo er zur "A-Zeit" t' _A eintreffe. Wegen der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist die Laufzeit des Lichtstrahls auf dem Hin- und Rückweg gleich. Die beiden Uhren gehen dann synchron, wenn stets (d. h. auch bei jeder Wiederholung des Versuchs)

$\,t_B - t_A = t'_A - t_B$

ist. (Bei nur einmaliger Durchführung würde man nämlich auch dann den Synchronlauf der Uhren konstatieren, wenn die Uhr in B den Mittelwert von t_A und t’_A anzeigte – aber stillstünde!)

Wenn der Synchronlauf der beiden Uhren sichergestellt ist, dann sind zwei Ereignisse, die in A bzw. in B stattfinden, genau dann gleichzeitig, wenn die Anzeigen der beiden Uhren im Moment des Eintreffens der Ereignisse E_A bzw. E_B gleich sind, wenn also

$\,t_A (E_A ) = t_B (E_B )$

ist.

Auf diese Weise haben wir eine Definition (und eine Messvorschrift) für die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse gewonnen, die an verschiedenen Orten stattfinden.

Die Größe

$\frac{{2\,\overline {AB} }} {{t'_A - t_A }} = V$

ist nichts anderes als die Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum. Im modernen Sprachgebrauch braucht dies nicht festgesetzt zu werden, es muss lediglich erkannt - oder festgestellt – werden, wobei man sich auf das Postulat von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit stützt. Wenn Einstein sich dabei auf die Erfahrung beruft, dann kann er damit nur den Michelson-Versuch meinen.

Die Zeit, welche die im Bezugssystem des Beobachters ruhenden und synchronisierten Uhren anzeigen, ist »die Zeit des relativ zum Beobachter ruhenden Systems«.

[Bearbeiten] § 2. Über die Relativität von Längen und Zeiten

Zu 1.: Es erscheint heute unverständlich, warum Einstein dieses Prinzip als Relativitätsprinzip bezeichnet hat. Es wäre deutlicher und aussagekräftiger, es das Prinzip der Gleichwertigkeit (oder der Gleichberechtigung) aller Inertialsysteme zu nennen. Ein so formuliertes Prinzip würde auch die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen beinhalten.

Der Begriff Relativität, wie er in der Überschrift des § 2 benutzt wird (Relativität von Längen und Zeiten) dagegen bedeutet etwas ganz anderes und ist hier sinnvoll: Längen, Zeitspannen und die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse sind keine absoluten Gegebenheiten, sondern hängen vom Bezugssystem ab, von dem aus sie beobachtet werden; sie sind in diesem Sinne »relativ«.

Zu 2.: Nach dieser Formulierung des Prinzips der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit bewegt sich jeder Lichtstrahl nicht mehr »stets« (wie auf S. 892, Abs. 1), sondern nur im "ruhenden" Koordinatensystem mit der bestimmten Geschwindigkeit V. Hier wird deutlicher als auf S. 892, dass für Einstein der Inhalt des Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit nur besagt, dass die Lichtgeschwindigkeit von einer Bewegung des emittierenden Körpers relativ zum "ruhenden" Koordinatensystem unabhängig ist. Ich verstehe nicht, warum gerade diese Aussage (oder Forderung) für Einstein so wichtig ist; hat sie doch mit der Existenz oder Nicht-Existenz eines Lichtäthers nichts zu tun. Selbst bei mechanischen Wellen (Wasserwellen, Schallwellen), die auf die Existenz eines Mediums angewiesen sind, ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen von der Bewegung des Quelle unabhängig.

Worauf es hier wirklich ankommt ist, ist das Postulat: Die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit hat in jedem Inertialsystem denselben Wert.

Im § 1 findet sich allerdings keine Definition der »Zeitdauer«. Gemeint ist die Zeitspanne zwischen dem Eintreten zweier Ereignisse (hier: Start des Lichtstrahls im Punkt A und Eintreffen in Punkt B) an verschiedenen Orten. Dazu sind zwei Uhren erforderlich, deren Synchronizität nach dem oben angegebenen Kriterium überprüft wurde.

Hier nimmt sich Einstein die nur scheinbar banale Aufgabe vor, die Länge eines relativ zum Beobachter bewegten Stabes zu bestimmen. Es wird sich zeigen, dass von diesem simplen Gedankenversuch die Umwälzung der Kinematik ausgeht.

Einsteins Beschreibung mutet etwas umständlich an, zudem spricht er wieder von »ruhenden System«, wozu nun auch noch ein »bewegtes System« kommt. Es ist zweckmäßig, immer von zwei relativ zu einander bewegten Systemen S und S' (oder K und k) zu sprechen, wobei sich S' mit der (Bahn-)Geschwindigkeit v in Richtung der positiven X-Achse des Systems S bewegen und die Achsen der Systeme paarweise parallel sein sollen.

a) Im System S' befinde sich ruhend eine starrer Stab, dessen Achse parallel zur X'-Achse sei. Ein im System S' ruhender Beobachter messe auf die übliche Weise die Länge dieses Stabes. Der so ermittelte Wert sei l'.

b) Wenn ein im System S ruhender Beobachter die Länge des sich an ihm vorbei bewegenden Stabes messen will, so bietet sich dazu folgende Methode an: Der Beobachter im System S ermittelt (auf irgendeine scharfsinnig ausgedachte Weise) mit Hilfe von Uhren, die in S ruhen und gemäß § 1 synchronisiert wurden, in welchen Punkten des Systems S sich Anfang und Ende des auszumessenden Stabes zu einer bestimmten Zeit t befinden. Der Abstand dieser beiden Punkte ist dann die Länge l des Stabes im System S. Dieses Verfahren vereinbaren wir als Messvorschrift für die Länge von Körpern, die sich relativ zum Beobachter bewegen.

Es wird sich zeigen, dass l und l' verschieden sind. Anders gesagt: Der Stab hat für einen relativ zu ihm bewegten Beobachter eine andere Länge als für einen relativ zu ihm ruhenden (»Relativität von Längen«). Einstein begründet diese Behauptung an dieser Stelle nicht, und er könnte es auch noch nicht tun.

Anmerkung: Die »Relativität von Längen« wird noch immer als »Lorentz-Kontraktion« bezeichnet. Dies ist zwar bequem, aber irreführend: Körper kontrahieren sich nicht, wenn sie in Bewegung gesetzt werden. Sie haben lediglich für einen relativ zu ihnen bewegten Beobachter eine geringere Länge, weil die Uhren dieses Beobachters anders gehen. (Daraus erklärt sich auch das »Bell-Paradoxon«, das keines ist.) Übrigens ist der Begriff »Lorentz-Kontraktion« einige Jahre älter als die Spezielle Relativitätstheorie und ist durch diese obsolet geworden.

Einstein weist nun (siehe den ersten Absatz des folgenden Abschnitts) darauf hin, dass die »klassische« Kinematik stillschweigend annimmt, die nach a) und b) bestimmten Längen seien gleich, oder dass ein bewegter starrer Körper in der Zeitepoche t (gemeint ist: zu einem bestimmten Zeitpunkt) in geometrischer Beziehung vollständig durch denselben Körper, wenn er in bestimmter Lage ruht, ersetzbar sei. Noch anders gesagt: Die klassische Kinematik nimmt an, der bewegte und der unbewegte Körper seien kongruent (deckungsgleich). Einstein macht sich nun daran, diese Annahme zu widerlegen. Dies ist nicht möglich, ohne auf die »Relativität von Zeiten« einzugehen. Und das geschieht als Nächstes.

Dazu denkt sich Einstein ein Gedankenexperiment aus: (Die im 2. Absatz beschriebenen Uhren erweisen sich als überflüssig.) Am hinteren Ende A des im System S' ruhenden Stabes denkt er sich eine Lichtquelle montiert, die kurze Lichtblitze aussenden kann, am vorderen Ende B einen Spiegel, der die Lichtblitze nach A reflektiert. Es ist es also die gleiche Versuchsanordnung, wie sie oben zur Kontrolle der Synchronizität von Uhren benutzt wurde, mit dem Unterschied, dass wir nun zwei Bezugssysteme haben. Hier sind drei Momentaufnahmen der beiden Systeme:

Der zur Zeit t_A ausgesandte Lichtimpuls trifft zur Zeit t_B in B ein. Im Zeitintervall t_B - t_A hat sich das System S' um die Strecke

$s_1 = v\left( {t_B - t_A } \right)$

vor dem Lichtimpuls her bewegt. Die vom Lichtimpuls zurückgelegte Strecke ist also $r A B + s 1$ . Daraus folgt

$t_B - t_A = \frac{{r_{AB} + v\left( {t_B - t_A } \right)}} {V},$

wobei r_AB der Abstand AB ist. Nach dem Ordnen ergibt sich

$t_B - t_A = \frac{{r_{AB} }} {{V - v}}.$

Analog findet man für die Laufzeit des Lichtimpulses auf dem Rückweg:

$t'_A - t_B = \frac{{r_{AB} }} {{V + v}}.$

Die beiden Laufzeiten sind also, wie zu erwarten, unterschiedlich (während die im System S' gemessenen Werte gleich wären). Nun denken wir uns zwei Beobachter in den Punkten A und B des Systems S', welche zu den drei Zeiten die Uhren des Systems S beobachten, die ihnen jeweils gegenüberstehen. Aus der Ungleichheit der beiden Differenzen schließen sie, indem sie das oben beschriebene Kriterium für Synchronizität anwenden, dass die beiden Uhren nicht synchron gehen.

Fazit: Zwei Uhren an zwei verschiedenen Stellen des Systems S, die synchron gehen, tun dies, vom System S' aus beurteilt, nicht.

Daraus folgt, dass dem Prädikat »gleichzeitig« keine absolute Bedeutung zukommt: Die beiden Uhren, die im System S gleichzeitig eine bestimmte Zeigerstellung einnehmen, tun dies für einen Beobachter in S' nicht gleichzeitig.

Zu diesem Ergebnis hätte Einstein auch deutlich einfacher und vor allem anschaulicher kommen können mit Hilfe eines Gedankenexperiments, das ihm erst später eingefallen ist.

Gegeben zwei relativ zu einander bewegte Bezugssysteme (v = 100 000 km/s) in der so genannten Ausgangssituation. In diesem Moment (also gleichzeitig) sollen in den Punkten A und B (im System S) bzw. in A' und B' (im System S') zwei Blitze einschlagen.

Wenn die Punkte 300 m rechts bzw. links von O und O' liegen, treffen die von den Blitzen ausgehenden Lichtimpulsen nach 1 µs in der Mitte zusammen. Aber: In der Mitte von AB oder von A'B'?. Je nach Standort des Beobachters hat sich nämlich inzwischen das System S' um 100 m nach rechts oder das System S um 100 m nach links bewegt – und mit dem System auch die Einschlagpunkte der Blitze:

Die Lichtimpulse treffen sich in der Mitte. Beobachter in S

Die Lichtimpulse treffen sich in der Mitte. Beobachter in S'

Die Lichtimpulse treffen also nur für einen der beiden Beobachter in der Mitte zusammen, für den anderen legen bis zum Zusammentreffen unterschiedlich lange Wege zurück. Folglich haben sie für diesen Beobachter nicht gleichzeitig eingeschlagen.

Durch die »Relativität der Gleichzeitigkeit« wird auch die »Relativität von Längen« plausibel: Die korrekte Messung der Länge eines sich vorbei bewegenden Stabes erfordert, dass die Position seines Anfangs- und die seines Endpunktes gleichzeitig ermittelt werden. Wenn sich aber die Beobachter in den beiden Systemen nicht darüber einig sind, was »gleichzeitig« ist, kommen sie natürlich auch zu unterschiedlichen Auffassungen über die Länge des Stabes. So wird der Beobachter in S' reklamieren, dass die Position des Punktes A nicht gleichzeitig mit der Position des Punktes B ermittelt wurde, sondern später. In der Zwischenzeit habe sich der Punkt A weiter nach rechts bewegt, und folglich falle das Messergebnis zu klein aus.

[Bearbeiten] § 3. Theorie der Koordinaten- und Zeittransformation

Ort und Zeit eines beliebigen Ereignisses werden im System K durch die drei Ortskoordinaten x, y, z und durch die Zeitkoordinate t beschrieben, im System k durch die Ortskoordinaten ξ, η ζ und die Zeitkoordinate τ.

Nun stellt sich die Aufgabe, ein System von Gleichungen zu finden, mit denen aus den Koordinaten eines Ereignisses im System K seine Koordinaten im System k berechnet werden können berechnen und umgekehrt.

Im 1. Absatz stellt Einstein zunächst fest, dass die gesuchten Transformationsgleichungen wegen der Homogenität von Raum und Zeit linear sein müssen.

Dass Raum und Zeit als homogen gelten, bedeutet, dass alle Punkte des Raumes und alle »Zeitpunkte« als je gleichwertig angesehen werden. Konkret bedeutet das zum Beispiel, dass ein Kreis den Umfang 2rπ und die Fläche r² π hat, einerlei ob sich sein Mittelpunkt in Washington oder in Bagdad befindet und dass ein physikalischer Vorgang unter sonst gleichen Bedingungen morgen in Moskau genau so abläuft wie heute in Berlin. Beim Übergang in ein anderes Bezugssystem würden diese Eigenschaften verloren gehen, wenn die Transformationsgleichungen nicht linear wären.

Der erste Satz des 2. Absatzes macht den überraschten Leser zunächst ratlos. Was bedeuten die eingeführten Größen?

Dem ersten Satz des nächsten Absatzes (siehe unten) kann man entnehmen, dass x' der Abstand eines im System k ruhenden Punktes (P) vom Anfangspunkt (O') von k ist, - gemessen in K.

Wir können nur mutmaßen, dass x die erste Ortskoordinate von P sein soll, aber diese Annahme ist sehr wahrscheinlich, und wir legen sie dem Folgenden zugrunde.

Für t = 0 ist offensichtlich x' = x ist. Daraus folgt, dass zur Zeit t = 0 die Anfangspunkte O und O' der beiden Systeme zusammenfallen, was oben nicht ausdrücklich gesagt wurde.

Damit können wir uns folgendes Bild machen:

Einstein führt hier ein gleichsam eine neue, in k ruhende X-Achse (eine X'-Achse) ein, deren Nullpunkt in O' liegt, auf der die Strecken (z. B. O'P) jedoch vom System K aus gemessen werden und mit x' bezeichnet werden. Mit Hilfe dieser im System k ruhenden Achse will Einstein zunächst den Ablauf der Zeit τ in der nächsten Umgebung von O' berechnen. Dazu fasst er τ als Funktion der Koordinaten x', y, z und t auf

$\tau = \tau \left( {x',y,z,t} \right),$

und betrachtet drei Ereignisse E₀, E₁ und E₂, die folgende Bedeutung haben:

E₀: Start eines Lichtimpulses in O' zur Zeit τ₀ nach rechts. Es ist

$\tau _0 = \tau \left( {0,0,0,t} \right),$

wobei t die zum Ereignis E₀ gehörige Zeit in K ist.

E₁: Ankunft und Reflexion des Lichtimpulses in einem Punkt P mit der Koordinate x' _P = x' zur Zeit τ₁, mit

$\tau _1 = \tau \left( {x',0,\,0,\,t + \frac{{x'}} {{V - v}}} \right).$

E₂: Ankunft des Lichtimpulses in O' zur Zeit τ₂, mit

$\tau _2 = \tau \left( {0,\,0,\,0,\,t + \frac{{x'}} {{V - v}} + \frac{{x'}} {{V + v}}} \right).$

Wegen der Laufzeiten siehe S. 896 und 897.

Da der Lichtimpuls im System k für den Hin- und den Rückweg die gleiche Zeitspanne benötigt, ist

$\tau _1 - \tau _0 = \tau _2 - \tau _1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1} {2}\left( {\tau _0 + \tau _2 } \right) = \tau _1 \quad \left( \mathrm A \right)$

Setzt man die Werte von τ₀, τ₁ und τ₂ in die Gleichung (A) ein, so erhält man

$\frac{1} {2}\left[ {\tau \left( {0,0,0,t} \right) + \tau \left( {0,0,0,t + \frac{{x'}} {{V - v}} + \frac{{x'}} {{V + v}}} \right)} \right] = \tau \left( {x',0,0,t + \frac{{x'}} {{V - v}}} \right)\quad \left( \mathrm B \right)$

Wie kommt man zu diesem Ergebnis?

Der zweite und dritte der in der Gleichung (B) auftretenden Funktionswerte werden in Taylor-Reihen entwickelt, in denen die höheren Potenzen von x' / (V – v) und x' / (V + v) wegen Geringfügigkeit vernachlässigt werden können. Auf diese Weise erhält man

$\tau _2 = \tau \left( {0,0,0,t + \frac{{x'}} {{V - v}} + \frac{{x'}} {{V + v}}} \right) = \tau \left( {0,0,0,t} \right) + \frac{{\partial \tau }} {{\partial t}}\left( {\frac{{x'}} {{V - v}} + \frac{{x'}} {{V + v}}} \right),$

und

$\tau _1 = \tau \left( {x',0,0,t + \frac{{x'}} {{V - v}}} \right) = \tau \left( {0,0,0,t} \right) + \frac{{\partial \tau }} {{\partial x'}}x' + \frac{{\partial \tau }} {{\partial t}}\frac{{x'}} {{V - v}},$

wobei die partiellen Ableitungen an der Stelle (0,0,0, t) zu bilden sind. Durch Einsetzen in Gleichung (A) erhält man:

$\frac{1} {2}\left[ {\tau \left( {0,0,0,t} \right) + \tau \left( {0,0,0,t} \right) + \frac{{\partial \tau }} {{\partial t}}\left( {\frac{{x'}} {{V - v}} + \frac{{x'}} {{V + v}}} \right)} \right] =$ $= \tau \left( {0,0,0,t} \right) + \frac{{\partial \tau }} {{\partial x'}}x' + \frac{{\partial \tau }} {{\partial t}}\frac{{x'}} {{V - v}},$

woraus folgt

$\frac{1} {2}\frac{{\partial \tau }} {{\partial t}}\left( {\frac{1} {{V - v}} + \frac{1} {{V + v}}} \right)x' = \left( {\frac{{\partial \tau }} {{\partial x'}} + \frac{{\partial \tau }} {{\partial t}}\frac{1} {{V - v}}} \right)x',$

woraus sich x' kürzen lässt.

Schließlich ergibt sich daraus

$\frac{{\partial \tau }} {{\partial x'}} + \frac{v} {{V^2 - v^2 }}\frac{{\partial \tau }} {{\partial t}} = 0.$

Das Ergebnis ist nur eine Näherung für hinreichend kleine x' , gilt also exakt nur im Punkt O'. Da man aber den Gedankenversuch in jedem beliebigen Punkt anstellen kann, gilt diese Differentialgleichung überall.

Diesen Ergebnissen liegt wiederum ein Gedankenexperiment zugrunde.

Zur Zeit τ = τ₀ = 0 starte in O' ein Lichtimpuls in Richtung der Y-Achse (in k die Η-Achse), der in P nach O' reflektiert wird. Vom System K aus sieht der Lichtweg wie in obiger Abbildung aus, da sich das System k mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. Der Abstand O'P sei – in K gemessen – gleich y' . In K bewegt sich der Lichtimpuls mit der Geschwindigkeit V zunächst von O' nach P₁, wobei die Strecke O'P₁ = V t ist (t = Laufzeit des Lichtimpulses von O' nach P₁.)

Im rechtwinkligen Dreieck O'P₁O'₁ ist

$\left( {V\,t} \right)^2 = \left( {y'} \right)^2 + \left( {v\,t} \right)^2 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{{y'}} {{\sqrt {V^2 - v^2 } }}.$

(Einstein drückt dies etwas verwirrend so aus: »... dass sich das Licht längs dieser Achsen vom ruhenden System aus betrachtet stets mit der Geschwindigkeit

$\sqrt {V^2 - v^2 }$

fortpflanzt.«)

Wir definieren nun wieder drei Ereignisse:

E₀: Start des Lichtimpulses in O = O' zur Zeit t = t₀ = 0. Für die Zeit in k gilt: τ₀ = τ(0, 0, 0, 0).

E₁: Ankunft und Reflexion des Impulses in P₁. Hier ist x = v t, y = y' , z = =0, t = t und daher τ₁ = τ(v t, y' , 0, t).

E₂: Ankunft des Impulses in O'₂. Hier ist x = 2 v t, y = 0, z = 0, t := 2 t und daher τ₂ = τ(2 v t, 0, 0, 2 t).

Setzen wir t den oben angegebenen Wert ein, so wird

$\tau _1 = \tau \left( {\frac{{v\,y'}} {{\sqrt {V^2 - v^2 } }},y',0,\frac{{y'}} {{\sqrt {V^2 - v^2 } }}} \right),$

$\tau _2 = \tau \left( {\frac{{2\,v\,y'}} {{\sqrt {V^2 - v^2 } }},0,0,\frac{{2\,y'}} {{\sqrt {V^2 - v^2 } }}} \right).$

Durch Entwicklung in eine Taylor-Reihe erhalten wir analog zu oben

$\tau _1 = \tau _0 + \frac{{\partial \tau }} {{\partial x}}\frac{{v\,y'}} {{\sqrt {V^2 - v^2 } }} + \frac{{\partial \tau }} {{\partial y}}y' + \frac{{\partial \tau }} {{\partial t}}\frac{{y'}} {{\sqrt {V^2 - v^2 } }},$

$\tau _2 = \tau _0 + \frac{{\partial \tau }} {{\partial x}}\frac{{2\,v\,y'}} {{\sqrt {V^2 - v^2 } }} + \frac{{\partial \tau }} {{\partial t}}\frac{{2\,y'}} {{\sqrt {V^2 - v^2 } }}.$

Auch hier ist τ₁ der Mittelwert von τ₀ und τ₂ ist, also

$\frac{1} {2}\left( {\tau _0 + \tau _2 } \right) = \tau _1 .$

Setzen wir die oben erhaltenen Werte ein, ergibt sich schließlich

$\frac{{\partial \tau }} {{\partial y}}y' = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{\partial \tau }} {{\partial y}} = 0.$

Analog findet man

$\frac{{\partial \tau }} {{\partial z}} = 0.$

Es ist gerade umgekehrt: Aus den Differentialgleichungen folgt, dass τ - wie zu erwarten - eine lineare Funktion von t und x ist. Darum findet man die Lösung mit dem Ansatz

$\tau = a\,t + b\,x,$

wobei a und b Funktionen von v sein können.

Aus dem Ansatz folgt

$\frac{{\partial \tau }} {{\partial t}} = a,\quad \frac{{\partial \tau }} {{\partial x}} = b.$

In die erste Differentialgleichung eingesetzt ergibt

$b + a\frac{v} {{V^2 - v^2 }} = 0\quad \Rightarrow \quad b = - a\frac{v} {{V^2 - v^2 }}$

und somit

$\tau = a\left( {t - \frac{{v^2 }} {{V^2 - v^2 }}x} \right).$

Ich stelle die Ergebnisse noch einmal zusammen und kürze durch V² bzw. durch V:

$\xi = a\frac{{V^2 }} {{V^2 - v^2 }}x' = a\frac{1} {{1 - \left( {\frac{v} {V}} \right)^2 }}x'\;,$ $\eta = a\frac{V} {{\sqrt {V^2 - v^2 } }}y = a\frac{1} {{\sqrt {1 - \left( {\frac{v} {V}} \right)^2 } }}y\;,$ $\zeta = a\frac{V} {{\sqrt {V^2 - v^2 } }}z = a\frac{1} {{\sqrt {1 - \left( {\frac{v} {V}} \right)^2 } }}z\;.$

1. Der für x' eingesetzte Wert ist x' = x – v t.

2. Einstein führt eine neue Funktion ein, die mit der auf Seite 899 genannten Funktion φ(v) = a nicht identisch ist. Vielmehr ist:

$\varphi \left( v \right) = \frac{a} {{\sqrt {1 - \left( {\frac{v} {V}} \right)^2 } }}\;.$

3. Schließlich klammert er überall den Faktor

$\beta = \frac{1} {{\sqrt {1 - \left( {\frac{v} {V}} \right)^2 } }}$

aus. Damit ergeben sich dann die Transformationsgleichungen für die vier Koordinaten.

Hier wäre es sicher sinnvoll gewesen, zunächst einmal die Transformationsgleichungen zu vervollständigen. Etwa so:

Wegen der Gleichberechtigung der Systeme K und k ergibt sich durch Vertauschung der einander entsprechenden Koordinaten und indem man v durch –v ersetzt (k bewegt sich relativ zu K mit der Geschwindigkeit –v) erhält man aus den obigen Transformationsgleichungen sofort die »inversen« Gleichungen:

$t = \varphi \left( { - v} \right)\beta \left( {\tau + \frac{v} {{V^2 }}\xi } \right),$ $x = \varphi \left( { - v} \right)\beta \left( {x - v\,t} \right),$ $y = \varphi \left( { - v} \right)\eta ,$ $z = \varphi \left( { - v} \right)\zeta .$

Nebenbei bemerkt: Aus

$\eta = \varphi \left( v \right)y\quad {\mbox{und}}\quad {y} = \varphi \left( { - v} \right)\eta$

erhält man sofort

$\varphi \left( v \right)\varphi \left( { - v} \right) = 1\;,$

wofür Einstein (siehe unten) viel größere Mühe aufwendet.

Dieser »Beweis« allerdings wäre ein Zirkelschluss, denn auf Seite 899 (im letzten vollständigen Absatz) hat Einstein zur Herleitung der Transformationsgleichungen für alle drei Achsen des Systems k ausdrücklich die gleiche Lichtgeschwindigkeit V vorausgesetzt, was er sich im darauf Folgenden auch stützt. Es handelt sich hier also nicht um einen Beweis, sondern lediglich um eine Verifizierung, d. h. um die Bestätigung, dass die hergeleiteten Gleichungen der Voraussetzung nicht widersprechen.

Hier bleibt es wohl Einsteins Geheimnis, wie er von der ersten Gleichung »nach einfacher Rechnung« zur zweiten gelangt, ohne zuvor die inversen Transformationsgleichungen abgeleitet zu haben. Mit diesen allerdings ist es wirklich ganz einfach.

Anschließend wird die noch nicht ganz vollständige Herleitung der Transformationsgleichungen vollendet:

Zur vollständigen Begründung der Identität von K und K' fehlt noch der Hinweis darauf, dass für x = y = z = 0 auch x' = y' = z' = 0 ist. Wenn das nicht der Fall wäre, könnten die Systeme gegeneinander parallel verschoben sein.

Nun fehlt noch eine zweite Bestimmungsgleichung für φ(v) und φ(-v). Einstein drückt das wie folgt aus und findet einen sehr einfachen Weg:

Damit hat Einstein mit beträchtlichem Aufwand ein System – eine Gruppe – von Gleichungen hergeleitet, aus denen sich alle anderen Resultate der Speziellen Relativitätstheorie ergeben. Bemerkenswert ist, dass diese Gruppe von Gleichungen schon 1904 von dem holländischen Physiker H. A. LORENTZ veröffentlicht wurde. Sie dienten ihm allerdings lediglich zur Erklärung des negativen Ergebnisses des Michelson-Morley-Versuchs, ohne dass er ihre tiefere und umfassendere Bedeutung erkannt hätte. Nach ihm trägt die Gruppe den Namen Lorentz-Transformation(en).

[Bearbeiten] § 4. Physikalische Bedeutung der erhaltenen Gleichungen ...

»Für Überlichtgeschwindigkeit werden die Überlegungen sinnlos;« - dies gilt schon für die Transformationsgleichungen, weil dann die auftretende Wurzel imaginär wird.

» ... dass die Lichtgschwindigkeit in unserer Theorie physikalisch die Rolle der unendlich großen Geschwindigkeiten spielt.« Das bedeutet konkret Folgendes:

1. Die Lichtgeschwindigkeit ist anscheinend eine nicht zu übertreffende, ja nicht einmal erreichbare Grenzgeschwindigkeit.

2. Für V gegen unendlich gehen die Transformationsgleichungen der Relativitätstheorie in die Galilei-Transformationen der klassischen Physik über. Von der relativistischen Physik aus beurteilt, besteht der Mangel der klassischen Physik darin, dass die Lichtgeschwindigkeit als unendlich groß angesetzt wird.

Hier ist alles wunderbar klar und einfach. - Einstein beschreibt schon hier im Prinzip einen Gedankenversuch, der später "Zwillingsparadoxon" genannt wurde, obwohl es sich nicht um ein Paradoxon handelt, d. h. um eine in sich widersprüchliche Erscheinung, die daher nicht existieren kann. Für den so genannten gesunden Menschenverstand allerdings ist dieser Effekt so absurd wie die ganze Spezielle Relativitätstheorie, nur wird diese "Absurdität" hier besonders deutlich und gleichsam handgreiflich. Wirklich verständlich und einleuchtend aber wird dieser Effekt allerdings erst durch die pseudoeuklidische Struktur (oder Metrik) des vierdimensionalen Raumes (siehe dazu WIKIBOOK Spezielle Relativitätstheorie). Diese Metrik begründet folgenden, hier ganz allgemein beschriebenen Effekt: Wenn zwei Personen auf unterschiedlichen Wegen von A nach B reisen (wobei B auch identisch mit A sein kann, es sich also um eine Rundreise handelt), wobei sie zur selben Zeit in A starten und im gleichen Moment in B ankommen, dann hat diejenige Person die kürzeste Zeit gebraucht, die den größten Umweg gemacht hat.

Interessant und aufschlussreich ist es auch, nicht nur die Uhr in O' zu betrachten, sondern eine Momentaufnahme aller Uhren auf Ξ-Achse z. B. zur Zeit t = 0 zu machen. Dann ist

$\tau = \frac{{ - \frac{v} {{V^2 }}x}} {{\sqrt {1 - \left( {\frac{v} {V}} \right)^2 } }}.$

Offenbar gehen die (in k synchronisierten) Uhren – von K aus betrachtet – nicht synchron. Rechts von O' gehen sie mehr und mehr nach, links von O' mehr und mehr vor, je weiter sie von O' entfernt sind. Hierin zeigt sich die »Relativität der Gleichzeitigkeit«, die ursächlich ist für die »Relativität der Längen«.

Uhrenvergleich: Beobachter in S

Uhrenvergleich: Beobachter in S'

[Bearbeiten] § 5. Additionstheorem der Geschwindigkeiten

Die Konstanten w_ξ und w_η sind die Komponenten der Geschwindigkeit des betrachteten Punktes bezüglich k.

Setzt man

$\xi = \beta \left( {x - vt} \right),\quad \tau = \beta \left( {t - \frac{v} {{V^2 }}x} \right)$

so erhält man durch Auflösen der Gleichung nach x die eine der beiden Bewegungsgleichungen im System K:

$x = \frac{{w_\xi + v}} {{1 + \frac{{v\,w_\xi }} {{V^2 }}}}t.$

Dies ist die Gleichung einer gleichförmigen Bewegung mit der Geschwindigkeit

$w_x = \frac{{w_\xi + v}} {{1 + \frac{{v\,w_\xi }} {{V^2 }}}}.$

Die Transformation der zweiten Gleichung erfordert etwas mehr Rechenaufwand, da man x mit der oben erhaltenen Gleichung eliminieren muss:

$y = w_\eta \beta \,\left( {t - \frac{v} {{V^2 }}x} \right) = w_\eta \beta \,t\left( {1 - \frac{{v\left( {w_\xi + v} \right)}} {{V^2 + v\,w_\xi }}} \right).$

Daraus folgt schließlich

$y = \frac{{\sqrt {1 - \left( {\frac{v} {V}} \right)^2 } }} {{1 + \frac{{v\,w_\xi }} {{V^2 }}}}w_\eta t.$

Dies ist wiederum eine gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit

$w_y = \frac{{\sqrt {1 - \left( {\frac{v} {V}} \right)^2 } }} {{1 + \frac{{v\,w_\xi }} {{V^2 }}}}w_\eta .$

Zwischenbemerkung: Was soll der Satz »Das Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt nach unserer Theorie nur in erster Annäherung« bedeuten? Im Detail ist hier Folgendes zu sagen:

1. Zwei Geschwindigkeiten gleicher Richtung (hier: w_ξ und v) dürfen nicht einfach summiert werden.

2. Die beiden Geschwindigkeitskomponenten werden nicht in gleicher Weise transformiert.

3. Dass sich w_x = dx /dt und w_y = dy /dt vektoriell addieren (also nach dem Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten) versteht sich von selbst und wird von Einstein hier auch benutzt.

[Bearbeiten] Elektrodynamischer Teil

[Bearbeiten] § 6. Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum ...

Nun endlich kann sich Einstein seinem eigentlichen Anliegen zuwenden, das der ganzen Arbeit den Titel gegeben hat.

Vorab: (X Y Z) ist natürlich nicht der Vektor der elektrischen Kraft, sondern der der elektrischen Feldstärke, entsprechend ist (L M N) der Vektor der magnetischen Feldstärke.

Hier geht es um Folgendes: In einem Raumstück des Systems K sind ein örtlich und zeitlich veränderliches elektrisches Feld und ein ebensolches Magnetfeld vorhanden. Die Feldvektoren dieser Felder sind

$\overrightarrow E = \left( {E_x \left( {x,y,z,t} \right)\;\;\;E_y \left( {x,y,z,t} \right)\;\;\;E_z \left( {x,y,z,t} \right)} \right)$

$\overrightarrow H = \left( {H_x \left( {x,y,z,t} \right)\;\;\;H_y \left( {x,y,z,t} \right)\;\;\;H_z \left( {x,y,z,t} \right)} \right).$

Die örtlichen und zeitlichen Veränderungen der beiden Feldvektoren bedingen einander und bringen einander hervor. Die zwischen den Feldvektoren bestehenden Verknüpfungen werden durch die Maxwellschen Gleichungen beschrieben.

Die sechs oben stehenden Gleichungen sind die Komponentendarstellungen der ersten beiden Maxwellschen Gleichungen im heute veralteten »CGS-System« (Centimeter-Gramm-Sekunden-System):

$\frac{1} {V}\frac{{\partial \overrightarrow E }} {{\partial t}} = \operatorname{rot} \;\overrightarrow H ,\quad \quad \frac{1} {V}\frac{{\partial \overrightarrow H }} {{\partial t}} = \operatorname{rot} \;\overrightarrow E \;.$

V ist wieder die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit.

Im Internationalen Maßsystem (SI) lauten diese beiden Gleichungen:

$\varepsilon _0 \frac{{\partial \overrightarrow E }} {{\partial t}} = \operatorname{rot} \;\overrightarrow H \,,\quad \quad \mu _0 \frac{{\partial \overrightarrow H }} {{\partial t}} = - \operatorname{rot} \;\overrightarrow E \;.$

Mit

$\operatorname{rot} \;\overrightarrow H = \left( {\frac{{\partial H_z }} {{\partial y}} - \frac{{\partial H_y }} {{\partial z}}} \right)\overrightarrow i + \left( {\frac{{\partial H_x }} {{\partial z}} - \frac{{\partial H_z }} {{\partial x}}} \right)\overrightarrow j + \left( {\frac{{\partial H_y }} {{\partial x}} - \frac{{\partial H_x }} {{\partial y}}} \right)\overrightarrow k$

und

$\operatorname{rot} \;\overrightarrow E = \left( {\frac{{\partial E_z }} {{\partial y}} - \frac{{\partial E_y }} {{\partial z}}} \right)\overrightarrow i + \left( {\frac{{\partial E_x }} {{\partial z}} - \frac{{\partial E_z }} {{\partial x}}} \right)\overrightarrow j + \left( {\frac{{\partial E_y }} {{\partial x}} - \frac{{\partial E_x }} {{\partial y}}} \right)\overrightarrow k$

sowie mit den Abkürzungen

$E_x = X\,,\quad E_y = Y\,,\quad E_z = Z\,,\quad H_x = L\,,\quad H_y = M\,,\quad H_z = N$

ergeben sich die sechs oben stehenden Gleichungen.

Die nun vorzunehmende Transformation auf das System k erfolgt im Prinzip so, dass die partiellen Ableitungen nach x, y, z und t mit Hilfe der Transformationsgleichungen durch solche nach ξ, η, ζ und τ ersetzt werden. Bei der ersten Gleichung

$\frac{1} {V}\frac{{\partial X}} {{\partial t}} = \frac{{\partial N}} {{\partial y}} - \frac{{\partial M}} {{\partial z}}.$

geht das so:

Linke Seite:

$\frac{1} {V}\frac{{\partial X}} {{\partial t}} = \frac{1} {V}\left( {\frac{{\partial X}} {{\partial \xi }}\frac{{\partial \xi }} {{\partial t}} + \frac{{\partial X}} {{\partial \eta }}\frac{{\partial \eta }} {{\partial t}} + \frac{{\partial X}} {{\partial \zeta }}\frac{{\partial \zeta }} {{\partial t}} + \frac{{\partial X}} {{\partial \tau }}\frac{{\partial \tau }} {{\partial t}}} \right) = \frac{1} {V}\left( { - \beta v\frac{{\partial X}} {{\partial \xi }} + \beta \frac{{\partial X}} {{\partial \tau }}} \right).$

Rechte Seite:

$\frac{{\partial N}} {{\partial y}} - \frac{{\partial M}} {{\partial z}} = \frac{{\partial N}} {{\partial \eta }}\frac{{\partial \eta }} {{\partial y}} - \frac{{\partial M}} {{\partial \zeta }}\frac{{\partial \zeta }} {{\partial z}} = \frac{{\partial N}} {{\partial \eta }} - \frac{{\partial M}} {{\partial \zeta }}$

Dies in die Gleichung eingesetzt und diese geordnet, ergibt

$\frac{\beta } {V}\frac{{\partial X}} {{\partial \tau }} = \beta \frac{v} {V}\frac{{\partial X}} {{\partial \xi }} + \frac{{\partial N}} {{\partial \eta }} - \frac{{\partial M}} {{\partial \zeta }}\quad \quad \left( 1 \right)$

Bei dieser (und ebenso bei der vierten) Gleichung ergibt sich eine Komplikation: die partielle Ableitung $\frac{{\partial X}}{{\partial \xi }}$ muss eliminiert und durch partielle Ableitungen nach η und ξ ersetzt werden. (Der Grund dafür wird später erkennbar.) Dies geschieht wie folgt: Im Vakuum ist

${\mathrm{div}}\;\overrightarrow E = 0$

also

$\frac{{\partial X}} {{\partial x}} + \frac{{\partial Y}} {{\partial y}} + \frac{{\partial Z}} {{\partial z}} = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{\partial X}} {{\partial x}} = - \frac{{\partial Y}} {{\partial y}} - \frac{{\partial Z}} {{\partial z}}\quad \left( 2 \right)$

Die linke Seite der Gleichung ist

$\frac{{\partial X}} {{\partial x}} = \frac{{\partial X}} {{\partial \xi }}\frac{{\partial \xi }} {{\partial x}} + \frac{{\partial X}} {{\partial \eta }}\frac{{\partial \eta }} {{\partial x}} + \frac{{\partial X}} {{\partial \zeta }}\frac{{\partial \zeta }} {{\partial x}} + \frac{{\partial X}} {{\partial \tau }}\frac{{\partial \tau }} {{\partial x}} = \beta \frac{{\partial X}} {{\partial \xi }} - \beta \frac{v} {{V^2 }}\frac{{\partial X}} {{\partial \tau }}.$

Die rechte Seite ist:

$- \frac{{\partial Y}} {{\partial y}} - \frac{{\partial Z}} {{\partial z}} = - \frac{{\partial Y}} {{\partial \eta }}\frac{{\partial \eta }} {{\partial y}} - \frac{{\partial Z}} {{\partial \zeta }}\frac{{\partial \zeta }} {{\partial z}} = - \frac{{\partial Y}} {{\partial \eta }} - \frac{{\partial Z}} {{\partial \zeta }}.$

Eingesetzt in (2):

$\frac{\beta } {V}\frac{{\partial X}} {{\partial \xi }} = \beta \frac{v} {{V^2 }}\frac{{\partial X}} {{\partial \tau }} - \frac{{\partial Y}} {{\partial \eta }} - \frac{{\partial Z}} {{\partial \zeta }}$

Dieses wiederum in (1) eingesetzt ergibt nach einfachen Umformungen schließlich

$\frac{1} {V}\frac{{\partial X}} {{\partial \tau }} = \beta \frac{{\partial \left( {N - \frac{v} {V}Y} \right)}} {{\partial \eta }} - \beta \frac{{\partial \left( {M + \frac{v} {V}Z} \right)}} {{\partial \zeta }}.$

Ganz analog erhält man die übrigen fünf Gleichungen:

Betrachten wir nun das vorliegende elektromagnetische Feld vom System k aus. Wie unsere Betrachtungen im Kapitel »Einleitung« gezeigt haben, müssen wir damit rechnen, dass das elektrische und das magnetische Feld in k andere Werte E' bzw. H' haben als in K, aber für diese anderen Werte müssen wegen der Gleichberechtigung der Systeme (oder: wegen des Relativitätsprinzips) die Maxwellschen Gleichungen unverändert gelten.

$\frac{1} {V}\frac{{\partial \overrightarrow {E'} }} {{\partial \tau }} = \operatorname{rot} \,\overrightarrow {H'} ,\quad \quad \frac{1} {V}\frac{{\partial \overrightarrow {H'} }} {{\partial \tau }} = \operatorname{rot} \;\overrightarrow {E'} \;.$

Einstein drückt das so aus:

Diese sechs Gleichungen beschreiben dasselbe elektromagnetische Feld wie die auf S. 907/908 dargestellten Gleichungen, nämlich das in k beobachtbare Feld. Der Unterschied besteht lediglich darin, dass einmal (in den Gleichungen auf S. 907/908) dazu die Komponenten der Feldvektoren benutzt werden, wie sie in K vorhanden sind, beim anderen Mal die Komponenten der Feldvektoren in k. Also müssen die einander entsprechenden Gleichungen identisch sein oder sich nur durch einen Faktor ψ unterscheiden, der allen Gleichungen gemeinsam wäre. Dieser Faktor könnte eventuell von v abhängig sein, nicht aber von den Ortskoordinaten, da alle unsere Gleichungen ortsunabhängig sind. Wenn die entsprechenden Gleichungen bis auf einen Faktor identisch sind, müssen es auch die einander entsprechenden Terme sein. Also ist

$\frac{{\partial X'}} {{\partial \tau }} = \psi (v)\frac{{\partial X}} {{\partial \tau }}\,,\quad \frac{{\partial Y'}} {{\partial \tau }} = \psi (v)\,\beta \frac{{\partial \left( {Y - \frac{v} {V}N} \right)}} {{\partial \tau }}\,,\;\;{\mbox{usw}}{\mbox{.}}$

Daraus folgt

$X' = \psi (v)X + C\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$

Die bei der Integration auftretenden Konstanten stellen die Komponenten eines homogenen und zeitlich konstanten Feldes dar, das im System k dem elektromagnetischen Feld überlagert ist. Einem solchen Feld würde auch Im System K ein homogenes, konstantes Feld (wenn auch mit unterschiedlichen Feldstärken) entsprechen. Von einem solchen Feld aber haben wir von Anfang an abgesehen.

Aus

$X' = \psi (v)X\quad \Rightarrow \quad X = \frac{{X'}} {{\psi (v)}}.$

Andererseits liefert die inverse Transformation

$\,X = \psi ( - v)X',$

woraus durch Vergleich folgt:

$\psi (v)\;\psi ( - v) = 1.$

Hier ist zunächst fünfmal φ durch ψ zu ersetzen.

Die Interpretation sollte keine Probleme bereiten:

1. Die X-Komponente der elektrischen Feldstärke X hat in k und K denselben Wert.

2. Dasselbe gilt für die X-Komponente L der magnetischen Feldstärke.

3. Die Y-Komponente der elektrischen Feldstärke in k (Y' ) hängt außer von Y auch von N ab, also von der Y-Komponente der magnetischen Feldstärke in K. Selbst wenn in K kein elektrisches Feld existiert, kann in k eines vorhanden sein, nämlich dann, wenn es in K ein Magnetfeld gibt.

4. Analoges gilt für die Z-Komponente der elektrischen Feldstärke in k.

Und so weiter.

Die nachfolgende Interpretation Einsteins erübrigt sich weitgehend, wenn man die in den Gleichungen auftretenden (Feld-)Größen als das interpretiert, was sie sind, nämlich als die Komponenten der elektrischen und magnetischen Feldstärke, und nicht als die Komponenten der elektrischen und magnetischen Kräfte auf »Einheitspole«. Feldstärken sind nicht identisch mit Kräften auf Einheitspole, sondern sind »ladungsbezogene Kräfte«. Auch im CGS-System haben die beiden Größen verschiedene Dimensionen.

Einige Anmerkungen zum Text:

Eine Elektrizitätsmenge heißt schon seit langem eine elektrische Ladung; sie kann auch nicht von der Größe "eins" sein, sondern nur vom Betrag "eins", denn eine Größe hat außer ihrem Betrag auch noch eine Maßeinheit.

Im CGS-System ist die Einheit der elektrischen Ladung definiert als die punktförmige Ladung, die auf eine gleiche Ladung im Abstand 1 cm die Kraft 1 Dyn (= 10^-5 Newton) ausübt.

»Nach dem Relativitätsprinzip ist diese elektrische Masse auch im bewegten System gemessen von der Größe "eins".« Die Begründung ist falsch. Das Relativitätsprinzip besagt lediglich, dass alle physikalischen Vorgänge (einschließlich der Ausbreitung des Lichts) in allen Inertialsystemen nach denselben Gesetzen ablaufen. Es besagt nicht, dass alle physikalischen Größen überall gleich sind. Sonst gäbe es keine Relativität der Masse und keine Relativität der Länge. - Nun erweist sich experimentell allerdings, dass die elektrische Ladung eines Körpers tatsächlich vom Bezugssystem unabhängig ist. (Sie ist eine »absolute Größe«.) Aber dies nicht wegen des Relativitätsprinzips, sondern aus einem anderen Grund, von dem ich nicht weiß, ob er überhaupt bekannt ist.

» ... so ist die auf sie wirkende, im bewegten System gemessene Kraft gleich dem Vektor (X', Y', Z' ).« Eine Kraft kann nicht gleich einer Feldstärke sein, allenfalls kann ihr Betrag gleich dem Betrag der Feldstärke sein.

[Bearbeiten] § 7. Dopplersches Prinzip und Aberration

Der Vater des nach ihm benannten Prinzips heißt Doppler, nicht Doppeler.

»Elektrodynamische Wellen« heißen heute elektromagnetische Wellen.

Bei sehr großer Entfernung der Quelle von O sind die Wellen in der Umgebung von O praktisch eben, und als solche werden sie hier mathematisch dargestellt. Mit Vektorgleichungen können sie so beschrieben werden:

$\overrightarrow E = \overrightarrow {E_0 } \,\sin \mathit\Phi ,\quad \overrightarrow H = \overrightarrow {H_0 } \,\sin \mathit\Phi .$

Φ ist der so genannte Phasenwinkel. Für eine ebene Welle kann er dargestellt werden als

$\mathit\Phi = \omega \left( {t - \frac{{ax + by + cz}} {V}} \right)\,,$

wenn für t = 0 im Ursprung O Φ = 0 ist. ω ist die Kreisfrequenz der Welle (ω = 2 π f). In der folgenden Abbildung ist zur Vereinfachung angenommen, dass die Frontebenen der Welle (blaue Linien) auf der XY-Ebene senkrecht stehen.

Der Einheitsvektor der Wellennormalen ist n = (a b c) = (cos α cos β cos γ).

Der Betrag des Skalarprodukts r n = ax + by + cz ist gleich der Länge der senkrechten Projektion von r auf n, also gleich dem Abstand OA. Der Quotient

$\frac{{ax + by + cz}} {V}$

ist die Laufzeit der Welle von A nach O. (Im abgebildeten Fall ist diese negativ, da r und n einen stumpfen Winkel bilden, und der Punkt A von der Welle früher erreicht wird als O.

Dies bedarf wohl einer Erklärung. Zunächst ist sieben Mal Φ' durch Φ zu ersetzen, denn der Phasenwinkel der Welle im Punkt P ist eine »absolute« Größe, die nicht vom Bezugssystem abhängt. Er kann zwar zum Einen durch die Parameter ω, a, b, c und die Orts- und Zeitkoordinaten x, y, z, t in K, zum Anderen durch die entsprechenden Größen in k ausgedrückt werden, aber das rechtfertigt noch nicht zwei verschiedene Bezeichnungen für dieselbe Größe. Dies bestätigt auch die Durchführung der Rechnung. Ausgehend von

$\mathit\Phi = \omega \left( {t - \frac{{ax + by + cz}} {V}} \right)$

findet man mittels der Transformationsgleichungen für t, x, y und z zunächst:

$\mathit\Phi = \omega \left( {\beta \tau + \beta \frac{v} {{V^2 }}\xi - \frac{{a\beta \left( {\xi + v\tau } \right) + b\eta + c\zeta }} {V}} \right)$

und durch Ordnen

$\mathit\Phi = \beta \omega \left( {\tau \left( {1 - \frac{{av}} {V}} \right) - \frac{{\xi \left( {a - \frac{v} {V}} \right) + \frac{b} {\beta }\eta + \frac{c} {\beta }\zeta }} {V}} \right).\quad (3)$

Wenn wir nun bedenken, dass im System k für Φ gelten muss

$\mathit\Phi = \omega '\left( {\tau - \frac{{a'\xi + b'\eta + c'\zeta }} {V}} \right),\quad (4)$

wobei ω' die Kreisfrequenz der Welle in k,

τ der betrachtete Zeitpunkt in k,

ξ, η, ζ die Koordinaten von P in k und

a' , b' , c' die Richtungskosinus der Wellennormalen in k sind, dann müssen wir – um die beiden Gleichungen vergleichen zu können - die Gleichung (3) zunächst umformen:

$\mathit\Phi = \beta \omega \left( {1 - \frac{{av}} {V}} \right)\left[ {\tau - \frac{{\xi \left( {a - \frac{v} {V}} \right) + \frac{b} {\beta }\eta + \frac{c} {\beta }\zeta }} {{\left( {1 - \frac{{av}} {V}} \right)V}}} \right].$

Jetzt ergibt ein Vergleich der einander entsprechenden Größen:

$\omega ' = \beta \left( {1 - \frac{{av}} {V}} \right)\omega ,\quad a' = \frac{{a - \frac{v} {V}}} {{1 - \frac{{av}} {V}}},\quad b' = \frac{b} {{\beta \left( {1 - \frac{{av}} {V}} \right)}},\quad c' = \frac{{b'}} {{\beta \left( {1 - \frac{{av}} {V}} \right)}}.$

Den Inhalt dieses langen Satzes erklärt folgende Abbildung:

cos φ ist der »erste« Richtungskosinus, meist cos α genannt, und hier identisch mit der Größe a in den obigen Formeln.

Korrektur: Ersetze $-\mathcal{1}$ durch -V.

Für φ = 0 bewegt sich das Licht nach rechts, parallel zur X-Achse. Wenn dann v < 0 ist, bewegt sich k dem Licht entgegen.

Zum 4. Absatz: Es ist gleichgültig, ob man mit A die Amplitude des elektrischen oder die des magnetischen Feldvektors bezeichnet, weil diese im CGS-System bei einer elektromagnetischen Welle gleich sind.

Zu dem Ergebnis kommt man folgendermaßen:

Wir betrachten einen Lichtstrahl, der in der XY-Ebene verläuft und mit der X-Achse den Winkel φ bildet. Der Lichtstrahl sei linear polarisiert, und zwar so, dass der elektrische Feldvektor in der XY-Ebene, der magnetische Feldvektor parallel zur Z-Achse schwingt. Die Amplitude der elektrischen Feldstärke sei E₀, die der magnetischen Feldstärke H₀ = N₀.

Im CGS-System ist die Amplitude des elektrischen Feldes gleich der des magnetischen Feldes: E₀ = H₀.

Wir zerlegen E₀ in die Komponenten X₀ und Y₀. Es ist

$X_0 = E_0 \sin \varphi ,\quad Y_0 = E_0 \cos \varphi \;$

und

$E_0 ^2 = X_0 ^2 + Y_0 ^2 .$

Im relativ zu K mit der Geschwindigkeit v bewegten System k ist

$\left( {E_0^' } \right)^2 = \left( {X_0^' } \right)^2 + \left( {Y_0^' } \right)^2 = \left( {X_0 } \right)^2 + {\beta}^2 \left( {Y_0 - \frac{v} {V}N_0 } \right)^2$

oder

$\left( {E_0^' } \right)^2 = E_0 ^2 \sin ^2 \varphi + \beta ^2 \left( {E_0 \cos \varphi - \frac{v} {V}E_0 } \right)^2 ,$

und somit

$\left( {\frac{{E_0^' }} {{E_0 }}} \right)^2 = \sin ^2 \varphi + \beta ^2 \left( {\cos \varphi - \frac{v} {V}} \right)^2 = \frac{{\left( {1 - \frac{{v^2 }} {{V^2 }}} \right)\sin ^2 \varphi + \left( {\cos \varphi - \frac{v} {V}} \right)^2 }} {{1 - \frac{{v^2 }} {{V^2 }}}},$

und schließlich

$\left( {\frac{{E_0^' }} {{E_0 }}} \right)^2 = \frac{{\left( {1 - \frac{{v^2 }} {{V^2 }}} \right)\left( {1 - \cos ^2 \varphi } \right) + \left( {\cos \varphi - \frac{v} {V}} \right)^2 }} {{1 - \frac{{v^2 }} {{V^2 }}}} = \frac{{\left( {1 - \frac{v} {V}\cos \varphi } \right)^2 }} {{1 - \frac{{v^2 }} {{V^2 }}}}.$

Dasselbe Ergebnis erhält man, wenn die Polarisationsrichtung der Welle um 90° gedreht ist. Bei beliebiger Polarisationsrichtung kann die Welle in zwei Teilwellen zerlegt werden, welche die oben behandelten Polarisationsrichtungen haben. Das Ergebnis gilt also ganz allgemein.

Zum letzten Absatz anzumerken, dass hier wieder v = - V zu setzen ist.

[Bearbeiten] § 8. Transformation der Energie der Lichtstrahlen. Theorie des Strahlungsdrucks

Bezeichnungen wie »Lichtenergie pro Volumeneinheit« gelten heute als unkorrekt und wurden durch »Energiedichte« ersetzt. Im zweiten Halbsatz ist der Begriff »Lichtenergie« schlicht falsch.

Mit einem »Lichtkomplex« meint Einstein die in einem bestimmten Volumen – zum Beispiel in einer Kugel – vorhandenen Lichtwellen.

Aus der allgemeinen Kugelgleichung entsteht durch Anwendung der inversen Transformationsgleichungen auf die Koordinaten x, y, z und t die Gleichung eines mit Lichtgeschwindigkeit bewegten Ellipsoids. Einstein macht von diesem Ellipsoid zur Zeit τ = 0 eine Momentaufnahme. So entsteht die zweite Gleichung. Das Volumen dieses Ellipsoids finden wir durch eine Integration:

Für ξ = 0 erhält man die Gleichung des Kreises, in dem das Ellipsoid die ΗΖ-Ebene (Eta-Zeta-Ebene) schneidet:

$\,\eta ^2 + \zeta = R^2 .$

Für einen beliebigen Wert von ξ erhält man den Schnittkreis des Ellipsoids mit der Ebene ξ = konst. Für dessen Radius r gilt:

$r^2 = R^2 - \beta ^2 \xi ^2 \left( {1 - \frac{{av}} {V}} \right)^2 .$

Der Radius r wird null in dem am weitesten links bzw. rechts gelegenen Punkt des Ellipsoids. Für diese Punkte gilt daher:

$\xi _{1,2} = \mp \frac{R} {{\beta \left( {1 - \frac{{av}} {V}} \right)}}.$

Damit ergibt sich das Volumen des Ellipsoids:

$S' = \pi \int_{\xi _1 }^{\xi _2 } {\left[ {R^2 - \beta ^2 \xi ^2 \left( {1 - \frac{{av}} {V}} \right)^2 } \right]\operatorname{d} \xi } = \frac{{4\pi R^3 }} {{3\beta \left( {1 - \frac{{av}} {V}} \right)}} = S\frac{{\sqrt {1 - \left( {\frac{v} {V}} \right)^2 } }} {{1 - \frac{v} {V}\cos \varphi }}.$

Zur Erläuterung:

Die Energiedichte des Wellenfeldes im CGS-System ist (s. S. 913)

$w = \frac{W} {V} = \frac{{A^2 }} {{8\pi }}\,,$

wobei A die Amplitude des elektrischen (oder magnetischen) Feldvektors ist. Vom System K aus gesehen beträgt die Horizontalkomponente der Geschwindigkeit der Welle gegenüber dem Spiegel

$v_h = V\cos \varphi - v.$

Das in der Zeit t auf die Spiegelfläche a treffende Lichtenergie ist demnach

$W_1 = \frac{{A^2 }} {{8\pi }}(V\cos \varphi - v)a\,t,$

die flächen- und zeitbezogene Energie ist

$\frac{{W_1 }} {{a\,t}} = \frac{{A^2 }} {{8\pi }}\left( {V\cos \varphi - v} \right) = \frac{{A^2 }} {{8\pi }}V\left( {\cos \varphi - \frac{v} {V}} \right).$

Anmerkung: Innerhalb des Textes muss dieser Ausdruck exakter Weise mit zwei Klammern geschrieben werden: (A²/8 π)(V cos φ – v).

Für die reflektierte flächen- und zeitbezogene Energie gilt entsprechend

$\frac{{W_2 }} {{a\,t}} = \frac{{\left( {A'''} \right)^2 }} {{8\pi }}\left( { - V\cos \varphi ''' + v} \right) = \frac{{\left( {A'''} \right)^2 }} {{8\pi }}V\left( { - \cos \varphi ''' + \frac{v} {V}} \right).$

Die Differenz ist die auf den Spiegel übertragene flächen- und zeitbezogene Energie:

$\frac{{\Delta W}} {{a\,t}} = \frac{{W_2 - W_1 }} {{a\,t}} = \frac{P} {a},$

wobei P die Leistung und P / a die flächenbezogene Leistung dieses Vorgangs ist. Nun ist

$P = F\,v\quad {\mbox{und}}\quad \frac{P} {a} = \frac{F} {a}v = p\,v,$

wobei F der Betrag der auf den Spiegel ausgeübte Kraft und F / a = p der ausgeübte Druck ist.

Durch Ausführung der Transformationen findet man

$\frac{{\Delta W}} {{a\,t}} = 2\frac{{A^2 }} {{8\pi }}v\frac{{\left( {\cos \varphi - \frac{v} {V}} \right)^2 }} {{1 - \left( {\frac{v} {V}} \right)^2 }},$

und durch Vergleich schließlich das angegebene Ergebnis, wobei P durch p zu ersetzen ist.

[Bearbeiten] § 9. Transformation der Maxwellschen Gleichungen mit Berücksichtigung der Konvektionsströme

In dem betrachteten Raumstück sei keine Materie (Dielektrikum) vorhanden, jedoch bewegte elektrische Ladungen, die kontinuierlich (aber nicht notwendig gleichmäßig) im Raum verteilt seien. Diese Raumladungen mit der Raumladungsdichte

$\rho = \lim _{\Delta V \to 0} \frac{{\Delta Q}} {{\Delta V}} = \frac{{\operatorname{d} Q}} {{\operatorname{d} t}}$

bewirken zweierlei:

1. Sie sind Quellen eines elektrischen Feldes, für das (im CGS-System) gilt:

$4\pi \rho = \operatorname{div} \overrightarrow E = \frac{{\partial E_x }} {{\partial x}} + \frac{{\partial E_y }} {{\partial y}} + \frac{{\partial E_z }} {{\partial z}} = \frac{{\partial X}} {{\partial x}} + \frac{{\partial Y}} {{\partial y}} + \frac{{\partial Z}} {{\partial z}},$

2. sie stellen wegen ihrer Geschwindigkeit u elektrische Ströme im Raum (»Konvektionsströme«) dar. Für die Stromdichte j gilt:

$\overrightarrow j = \rho \,\overrightarrow u \,.$

Damit lautet die 1. Maxwellsche Gleichung (mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c = V):

$\operatorname{rot} \overrightarrow H = \frac{1} {V}\frac{{\partial \overrightarrow E }} {{\partial t}} + \frac{1} {V}4\pi \,\rho \,\overrightarrow u .$

Um den lästigen Faktor 4π loszuwerden, ersetzt Einstein 4π ρ durch ρ(das nunmehr das 4 π-fache der Raumladungsdichte bedeutet) und schreibt das 1. Maxwelsche Gesetz in der Komponentendarstellung wie unten angegeben. Das 2. Maxwellsche Gesetz bleibt unverändert.

Nach dem Absatz »Transformiert man diese Gleichungen (...) so erhält man die Gleichungen:« klafft offensichtlich eine Lücke im Text: Es fehlen nämlich die angekündigten transformierten Gleichungen, von denen die ersten drei lauten:

$\frac{1} {V}\left[ {\frac{{u_x - v}} {{1 - \frac{{u_x v}} {{V^2 }}}}\beta \left( {1 - \frac{{u_x v}} {{V^2 }}} \right)\rho + \frac{{\partial X}} {{\partial \tau }}} \right] = \beta \frac{{\partial \left( {N - \frac{v} {V}Y} \right)}} {{\partial \eta }} - \beta \frac{{\partial \left( {M - \frac{v} {V}Z} \right)}} {{\partial \zeta }},$

$\frac{1} {V}\left[ {\frac{{u_y }} {{\beta \left( {1 - \frac{{u_x v}} {{V^2 }}} \right)}}\beta \left( {1 - \frac{{u_x v}} {{V^2 }}} \right)\rho + \beta \frac{{\partial \left( {Y - \frac{v} {V}N} \right)}} {{\partial \tau }}} \right] = \frac{{\partial L}} {{\partial \zeta }} - \beta \frac{{\partial \left( {N - \frac{v} {V}Y} \right)}} {{\partial \xi }},$

$\frac{1} {V}\left[ {\frac{{u_z }} {{\beta \left( {1 - \frac{{u_x v}} {{V^2 }}} \right)}}\beta \left( {1 - \frac{{u_x v}} {{V^2 }}} \right)\rho + \beta \frac{{\partial \left( {Z + \frac{v} {V}M} \right)}} {{\partial \tau }}} \right] = \beta \frac{{\partial \left( {M + \frac{v} {V}Z} \right)}} {{\partial \xi }} - \frac{{\partial L}} {{\partial \eta }}.$

Ferner fehlt dem Sinn nach folgender Text:

Nach dem Relativitätsprinzip müssen die Maxwellschen Gleichungen im System k genau so lauten wie in K, also:

$\operatorname{rot} \overrightarrow {H'} = \frac{1} {V}\frac{{\partial \overrightarrow {E'} }} {{\partial \tau }} + \frac{1} {V}4\pi \,\rho '\,\overrightarrow {u'} ,\quad \operatorname{rot} \overrightarrow {E'} = \frac{{\partial \overrightarrow {H'} }} {{\partial \tau }},$

oder in Komponenten ausgedrückt (und nun müssten die im Text angeführten Gleichungen folgen):

Die Transformation soll hier am Beispiel der ersten Gleichung skizziert werden, wobei ich zur Abkürzung auf den Rechengang im § 6 verweise. Zunächst werden die partiellen Ableitungen nach t, y und z wieder durch solche nach &xi, η und ζ ersetzt. Dadurch erhält man zunächst:

$\frac{1} {V}\left( {u_x \rho - \beta v\frac{{\partial X}} {{\partial \xi }} + \beta \frac{{\partial X}} {{\partial \tau }}} \right) = \frac{{\partial N}} {{\partial \eta }} - \frac{{\partial M}} {{\partial \zeta }}.\quad (5)$

Zur Eliminierung von $\frac{{\partial X}}{{\partial \xi }}$ transformieren wir zunächst

$\frac{{\partial X}} {{\partial x}} = \beta \frac{{\partial X}} {{\partial \xi }} - \beta \frac{v} {{V^2 }}\frac{{\partial X}} {{\partial \tau }}$

und setzen dies in die Divergenzgleichung

$\frac{{\partial X}} {{\partial x}} + \frac{{\partial Y}} {{\partial y}} + \frac{{\partial Z}} {{\partial z}} = \rho$

ein. Das ergibt

$\beta \frac{{\partial X}} {{\partial \xi }} - \beta \frac{v} {{V^2 }}\frac{{\partial X}} {{\partial \tau }} = \rho - \frac{{\partial Y}} {{\partial y}} - \frac{{\partial Z}} {{\partial z}} = \rho - \frac{{\partial Y}} {{\partial \eta }} - \frac{{\partial Z}} {{\partial \zeta }},$

woraus folgt

$\beta \frac{{\partial X}} {{\partial \xi }} = \rho + \beta \frac{v} {{V^2 }}\frac{{\partial X}} {{\partial \tau }} - \frac{{\partial Y}} {{\partial \eta }} - \frac{{\partial Z}} {{\partial \zeta }}.$

In Gleichung (5) eingesetzt ergibt:

$\frac{1} {V}\left( {u_x \rho - v\rho - \beta \frac{{v^2 }} {{V^2 }}\frac{{\partial X}} {{\partial \tau }} + v\frac{{\partial Y}} {{\partial \eta }} + v\frac{{\partial Z}} {{\partial \zeta }} + \beta \frac{{\partial X}} {{\partial \tau }}} \right) = \frac{{\partial N}} {{\partial \eta }} - \frac{{\partial M}} {{\partial \zeta }},$

$\frac{1} {V}\left[ {\left( {u_x - v} \right)\rho + \left( {\beta - \beta \frac{{v^2 }} {{V^2 }}} \right)\frac{{\partial X}} {{\partial \tau }}} \right] = \frac{{\partial N}} {{\partial \eta }} - \frac{{\partial M}} {{\partial \xi }} - \frac{v} {V}\frac{{\partial Y}} {{\partial \eta }} - \frac{v} {V}\frac{{\partial Z}} {{\partial \zeta }},$

$\frac{1} {V}\left[ {\left( {u_x - v} \right)\rho + \beta \left( {1 - \frac{{v^2 }} {{V^2 }}} \right)\frac{{\partial X}} {{\partial \tau }}} \right] = \frac{{\partial \left( {N - \frac{v} {V}Y} \right)}} {{\partial \eta }} - \frac{{\partial \left( {M + \frac{v} {V}Z} \right)}} {{\partial \xi }},$

und nach Multiplikation mit β:

$\frac{1} {V}\left[ {\left( {u_x - v} \right)\beta \rho + \frac{{\partial X}} {{\partial \tau }}} \right] = \beta \frac{{\partial \left( {N - \frac{v} {V}Y} \right)}} {{\partial \eta }} - \beta \frac{{\partial \left( {M + \frac{v} {V}Z} \right)}} {{\partial \zeta }},$

Ein Vergleich der transformierten Gleichungen mit denen, die durch Anwendung des Relativitätsprinzips gewonnen wurden, ergibt dann neben den aus § 6 schon bekannten Beziehungen zwischen den Feldstärken in beiden Systemen die wichtigen Gleichungen

$u_\xi = \frac{{u_x - v}} {{1 - \frac{{u_x v}} {{V^2 }}}},\quad u_\eta = \frac{{u_y }} {{\beta \left( {1 - \frac{{u_x v}} {{V^2 }}} \right)}},\quad u_\zeta = \frac{{u_z }} {{\beta \left( {1 - \frac{{u_x v}} {{V^2 }}} \right)}},$

die nichts anderes sind als die Additionstheoreme der Geschwindigkeit. Ferner erhalten wir eine Aussage über die Transformation der Raumladungsdichte

$\rho ' = \beta \left( {1 - \frac{{u_x v}} {{V^2 }}} \right)\rho .$

Weniger kompliziert ausgedrückt könnte der zweite Absatz bedeuten: Die elektrische Ladung eines Körpers hat für alle Beobachter – unabhängig von deren Relativgeschwindigkeit zur Ladung – dieselbe Größe. (Diese Tatsache glaubte Einstein früher ohne weiteren Beweis aus dem Relativitätsprinzip ableiten zu können. Siehe dazu § 6.) Den Beweis kann man so führen: Im System K ruhe eine Kugel vom Radius r. Sie umschließe eine elektrische Ladung mit der konstanten Raumladungsdichte ρ. Ihre Ladung ist dann

$Q = \frac{4} {3}\pi r^3 \rho .$

Für einen Beobachter in k mit der Relativgeschwindigkeit v ist diese Kugel ein Rotationsellipsoid, dessen in Bewegungsrichtung liegend Halbachse die Länge

$r' = \sqrt {1 - \frac{{v^2 }} {{c^2 }}} \,r$

(c = Vakuumlichtgeschwindigkeit)

hat. Sie besitzt daher für den Beobachter in k das Volumen

$V' = \frac{4} {3}\pi r^3 \sqrt {1 - \frac{{v^2 }} {{c^2 }}} .$

Die Raumladungsdichte der elektrischen Ladung für diesen Beobachter ist (mit u_x = 0)

$\rho ' = \frac{\rho } {{\sqrt {1 - \frac{{v^2 }} {{c^2 }}} }}.$

Die Ladung der Kugel ist daher

$Q' = V'\,\rho ' = \frac{4} {3}\pi r^3 \sqrt {1 - \frac{{v^2 }} {{c^2 }}} \frac{\rho } {{\sqrt {1 - \frac{{v^2 }} {{c^2 }}} }} = Q.$

[Bearbeiten] § 10. Dynamik des (langsam beschleunigten) Elektrons

Hier sind Einstein Formulierungen uns doch sehr fremd und wegen der inzwischen erfolgten Präzisierung der mathematisch-physikalischen Begriffe antiquiert. Erste und zweite Ableitungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind Größen, die einem bestimmten Punkt bzw. Zeitpunkt zugeordnet sind, nicht einem Zeitintervall, auch nicht »dem nächsten Zeitteilchen«. Auch spricht Einstein von einer »Zeitepoche«, wenn er das meint, was wir heute einen Zeitpunkt nennen.

Im Übrigen kann man diesen Teil des Textes ohne Schaden einfach weglassen und gleich mit dem nächsten Absatz beginnen:

Hier geht es um Folgendes: Zur Zeit τ = 0 ruhe ein Elektron im Ursprung des Systems k. Dann bewegt es sich für einen Beobachter in K mit der Geschwindigkeit v nach rechts.

Nach dem dynamischen Grundgesetz »Masse x Beschleunigung = Kraft« lauten die Bewegungsgleichungen des Elektrons im System k: