Analysis: Differentialgleichungen

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Differentialgleichungen (kurz DGln) sind Gleichungen, in denen außer den Funktionen auch Differentiale von diesen vorkommen. Als Lösung einer Differentialgleichung ermittelt man keinen einzelnen Zahlenwert (wie bei algebraischen Gleichungen), sondern eine Funktion. Dabei gilt eine DGl als gelöst, wenn sie auf ein Integral zurückgeführt worden ist.

Inhaltsverzeichnis 1 Einfaches Beispiel 2 Unterscheidungen 3 Bekannte DGln 4 Systeme von DGlb

[Bearbeiten] Einfaches Beispiel

Die Gleichung y' = y macht im Gegensatz zu den bisherigen neue Probleme. Es handelt sich um eine sogenannte Differentialgleichung, kurz Dgl. Die Lösung dieser ist auch keine Zahl, sondern eine Funktion.

Hier hilft die Umformung weiter, und so ist

Sofort sieht man nun also

.

Da es sich um den natürlichen Logarithmus handelt, muss

.

Der Ausdruck e^C ist ganz bestimmt größer als 0. Wir lösen den Betrag auf, und e^Ce^x wird auch negativ werden - nun ist

.

Ist y = e^λx ein besonderer Lösungsansatz, gilt y' = λe^λx. Aus 0 = y' − y wird nun 0 = λe^λx − e^λx also 0 = λ − 1. Das ist der Gleichung charakteristisches Polynom. Mit λ = 1 ist y = e^1x eine Lösung. Weil die Summe aus zwei Lösungen wieder eine Lösung der Dgl. ist, erhalten wir wieder y = Ke^x.

[Bearbeiten] Unterscheidungen

Ordnung, Homogen, explizit,...

[Bearbeiten] Bekannte DGln

[Bearbeiten] Systeme von DGlb