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1 Folgen

[Bearbeiten] Folgen

Ordnet man den natürlichen Zahlen ( $\mathbb{N} = \lbrace 1,2,3,\ldots \rbrace$ ) durch irgendeine Vorschrift je eine reelle Zahl zu, so entsteht eine Zahlenfolge $a_1,a_2,a_3,\ldots$ . Die Zuweisung $n \mapsto a_n$ definiert eine Funktion:

1	2	3	4	5	... (natürliche Zahlen)
$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$
$a 1$	$a 2$	$a 3$	$a 4$	$a 5$	... (reelle Zahlen)

[Bearbeiten] Definition

Sei $\mathcal{I}$ eine unendliche Teilmenge von $\mathbb{N}$ und $\mathcal{X}$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die Abbildung: $a: \mathcal{I} \rightarrow \mathcal{X}$ eine Folge.

Die Elemente $a_1,a_2,a_3,\ldots$ heißen Folgenglieder oder Glieder.
Das Element $a 0$ (oder manchmal auch $a 1$ ) heißt Anfangsglied einer Folge.

[Bearbeiten] Darstellungen

Meistens werden Folgen in der Form $(\mathbf{a})_\mathbf{n}$ oder $(\mathbf{a}_\mathbf{n})_\mathbf{n}$ geschrieben
Manchmal werden auch nur die ersten Folgenglieder angegeben

[Bearbeiten] Beispiele

Mit $\left(\frac{1}{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ oder $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$ wird die Abbildung $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}, n \mapsto \frac{1}{n}$ bezeichnet.
Durch $a 0 : = 1$ , $a 1 : = 1$ und $a n + 2 : = a n + 1 + a n$ wird die Folge $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ der Fibonacci-Zahlen definiert. (Rekursive Definition)