Analysis: Folgen und Reihen: Konvergenz

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Analysis

[Bearbeiten] Der Grenzwert einer Folge

[Bearbeiten] Ein Beispiel

Um den Begriff des Grenzwerts einer Folge zu verstehen, betrachten wir zunächst ein Beispiel. Schauen wir uns mal die so genannte harmonische Folge an. Sie besitzt die folgenden Folgeglieder:

Hier das Diagramm mit den ersten 10 Folgegliedern:

Man erkennt, dass die Folgeelemente immer kleiner werden (diese Folge fällt streng monoton). Jedoch sind alle Folgeelemente größer als 0. Umgangsprachlich ausgedrückt, können wir sagen, dass die Folge "unendlich nah" an 0 geht, diese jedoch nie erreicht. Um mit dieser Eigenschaft von Folgen umgehen zu können und um mit dieser Eigenschaft von Folgen in der Mathematik arbeiten zu können, ist es notwendig, den Begriff der "unendlich an einen bestimmten Wert strebenden Folge" zu formalisieren. Hierfür wurde der Begriff der Konvergenz bzw. des Grenzwerts einer Folge definiert.

Um den Grenzwert einer Folge zu definieren, geht die Mathematik folgendermaßen vor: Eine Folge besitzt genau dann einen Grenzwert, wenn, egal welchen Abstand wir uns ausdenken, es einen Zeitpunkt in der Folge gibt, ab dem der Abstand der Folgeglieder zu diesem Grenzwert kleiner ist als unser ausgedachter Abstand. Dies bedeutet, dass eine Folge genau dann einen Grenzwert besitzt, wenn die Folgeglieder irgendwann beliebig nahe an diesen Grenzwert liegen. Wenn eine Folge einen Grenzwert g besitzt, drückt dies ein Mathematiker auch dadurch aus, indem er sagt, die Folge konvergiert gegen g.

Schauen wir uns mal an, was dies für unsere harmonische Folge bedeutet. Denken wir uns einen beliebigen Abstand ε aus, welcher größer als 0 ist (hier ist das berüchtigte ε, dass du wahrscheinlich schon kennen wirst ^^). Beachte, dass die Formulierung "wir denken uns ein beliebiges ε größer 0 aus..." gleichbedeutend ist mit "für alle ε größer 0 gilt...", da wir uns jedes ε größer 0 hätten ausdenken können (die folgenden Überlegungen sind nicht auf ein bestimmtes ε festgelegt!). Sei z. B. ε = 0,5, dann ist der Abstand der Folge zur Zahl 0 ab dem Folgeindex n = 3 kleiner als ε = 0,5 (ab dem Folgeindex 3 besitzt die harmonische Folge die Folgeglieder , deren Abstand zu 0 stets kleiner als unser gewähltes ε = 0,5 ist). Für ε = 0,1 ist der Abstand der Folge a_n ab n = 11 und für ε = 0,00001 ist der Abstand von a_n ab n = 100001 zur Zahl 0 kleiner als das jeweils gewählte ε. Allgemein gilt für jedes von uns gewählte ε > 0, dass wir eine Stelle in der Zahlenfolge a_n finden, ab der der Abstand von a_n kleiner als ε ist (der Index dieser Stelle ist im übrigen die erste natürliche Zahl, die größer ist als ). Dementsprechend ist der Grenzwert der harmonischen Folge gleich 0 bzw. die harmonische Folge konvergiert gegen 0.

Wenn wir nun diese von uns formulierte Definition in die Sprache der Mathematik übersetzen, erhalten wir die Definition des Grenzwertes, wie du ihn sicherlich schon aus vielen Lehrbüchern kennst bzw. ihn kennen lernen wirst:

[Bearbeiten] Formale Definition

Zunächst schauen wir uns die formale Defintion des Grenzwerts an:

Eine Folge (a_n) konvergiert genau dann und nur dann gegen den Grenzwert g, wenn für alle mit ε > 0 gilt, dass es mindestens ein gibt, so dass für alle natürlichen Zahlen gilt, dass | a_n − g | < ε. Oder kürzer:

Falls du ein Problem mit dem Verständnis dieser Definition haben solltest (kein Problem, dafür bist du ja auf dieser Seite ^^), hier dieselbe Defintion mit einigen in Klammern gesetzten Anmerkungen:

Eine Folge (a_n) konvergiert genau dann und nur dann gegen den Grenzwert g, wenn für alle (ε ist der in unserer obigen Definition ausgedachte, beliebige Abstand) mit ε > 0 (um die beliege Nähe zu definieren muss der Abstand ε positiv sein) gilt, dass es mindestens ein gibt (m ist die Stelle nach unserer obigen Definition, ab der die Folge einen kleineren Abstand zu den Grenzwert hat, als ε), so dass für alle natürlichen Zahlen gilt (n bezeichnet hier alle Folgeindizies ab dem Folgeindex m), dass | a_n − g | < ε ist ( | a_n − g | ist der Abstand von der Folge beim Folgeelement n zum Grenzwert g; dieser Abstand soll ja für alle Folgeelemente ab ein Folgelement m kleiner sein als jeder beliebige Abstand ε).