Analysis: Metrik und Topologie: Topologische Räume
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Ein paar Grundlagen der Topologie werden es uns erlauben, bestimmte Sachverhalte aus der Analysis in einem allgemeineren Rahmen zu formulieren.
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[Bearbeiten] Topologische Räume
Definition: Sei X eine beliebige Menge und
eine Menge von Teilmengen von X. Das Tupel
heißt topologischer Raum mit der Topologie
, wenn gilt:
| (enthält die leere Menge und den ganzen Raum) | ![]() |
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| Abgeschlossenheit unter beliebiger Vereinigung: | ![]() |
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| Abgeschlossenheit unter endlicher Durchschnittsbildung: | ![]() |
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Die Elemente von
heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossene Mengen. Jedes
, das
enthält, heißt Umgebung von x.
[Bearbeiten] Abgeschlossene Mengen
Offensichtlich hat die Menge
der abgeschlossenen Mengen die zur Definition dualen Eigenschaften:
| (enthält die leere Menge und den ganzen Raum) | ![]() |
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| Abgeschlossenheit unter beliebiger Durchschnittsbildung: | ![]() |
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| Abgeschlossenheit unter endlicher Vereinigung: | ![]() |
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[Bearbeiten] Hausdorff-Räume
Definition: Ein topologischer Raum, in dem zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten immer disjunkte offene Umgebungen existieren, heißt Hausdorff-Raum. In einem Hausdorff-Raum
gilt also:
.
[Bearbeiten] Beispiele
Zu einer beliebigen Menge X gibt es immer die diskrete Topologie
, in der jede Menge zugleich offen und abgeschlossen ist, und die indiskrete Topologie
, in der keine Menge außer der leeren und dem ganzen Raum offen oder abgeschlossen ist. Mit ersterer bildet X einen Hausdorff-Raum, mit zweiterer nicht (sofern X mindestens zwei Elemente besitzt).









