Analysis: Metrik und Topologie: Topologische Räume

Analysis

Ein paar Grundlagen der Topologie werden es uns erlauben, bestimmte Sachverhalte aus der Analysis in einem allgemeineren Rahmen zu formulieren.

Topologische Räume

Definition: Sei $X$ eine beliebige Menge und $\mathcal{T} \subseteq \mathfrak{P}(X)$ eine Menge von Teilmengen von $X$. Das Tupel $\left(X,\mathcal{T}\right)$ heißt topologischer Raum mit der Topologie $\mathcal{T}$, wenn gilt:

(enthält die leere Menge und den ganzen Raum)		$\emptyset, X \in \mathcal{T}$
Abgeschlossenheit unter beliebiger Vereinigung:	$\forall \mathcal{M} \subseteq \mathcal{T}$	$\bigcup \mathcal{M} \in \mathcal{T}$
Abgeschlossenheit unter endlicher Durchschnittsbildung:	$\forall A, B \in \mathcal{T}$	$A \cap B \in \mathcal{T}$

Die Elemente von $\mathcal{T}$ heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossene Mengen. Jedes $A \subseteq X$, das $x \in X$ enthält, heißt Umgebung von $x$.

Abgeschlossene Mengen

Offensichtlich hat die Menge $\mathcal{A} := \left\{A \subset X : X \setminus A \in \mathcal{T}\right\}$ der abgeschlossenen Mengen die zur Definition dualen Eigenschaften:

(enthält die leere Menge und den ganzen Raum)		$\emptyset, X \in \mathcal{A}$
Abgeschlossenheit unter beliebiger Durchschnittsbildung:	$\forall \mathcal{M} \subseteq \mathcal{A}$	$\bigcap \mathcal{M} \in \mathcal{A}$
Abgeschlossenheit unter endlicher Vereinigung:	$\forall A, B \in \mathcal{A}$	$A \cup B \in \mathcal{A}$

Hausdorff-Räume

Definition: Ein topologischer Raum, in dem zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten immer disjunkte offene Umgebungen existieren, heißt Hausdorff-Raum. In einem Hausdorff-Raum $\left(X,\mathcal{T}\right)$ gilt also: $\forall x,y \in X \exists U,V \in \mathcal{T} (U\cap V = \emptyset \wedge x \in U \wedge y \in V)$.

Beispiele

Zu einer beliebigen Menge $X$ gibt es immer die diskrete Topologie $\mathfrak{P}(X)$, in der jede Menge zugleich offen und abgeschlossen ist, und die indiskrete Topologie $\left\{\emptyset,X\right\}$, in der keine Menge außer der leeren und dem ganzen Raum offen oder abgeschlossen ist. Mit ersterer bildet $X$ einen Hausdorff-Raum, mit zweiterer nicht (sofern $X$ mindestens zwei Elemente besitzt).