Analysis: Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

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Es gibt mehrere Methoden eine Funktion abzuleiten. Jenachdem wie eine Funktion aufgebaut ist muss man sie nach der Produkt-, der Ketten- oder der Quotientenregel ableiten.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Konstante Funktion

(a)'=0\,

[Bearbeiten] Faktorregel

(a\cdot f)'=a\cdot f'

[Bearbeiten] Summenregel

(f\pm g)'=f'\pm g'

[Bearbeiten] Potenzregel

(x^n)'=n\cdot x^{n-1}

[Bearbeiten] Produktregel

Ist die abzuleitende Funktion ein Produkt, so leitet man sie nach der Produktregel ab.
Die Produktregel für eine Funktion \ f(x)=u(x)v(x) lautet:

\ f'(x)=u'(x)v(x) + u(x)v'(x)


Will man nun also die Funktion \ f(x)=2xe^x ableiten, so zerlegt man sie erstmal in zwei Teile. Wobei jeder der Faktoren ein Teil ist:

\ u(x)=2x und \ v(x)=e^x.

Die neuen Funktionen leitet man nun ganz normal ab:

\ u'(x)=2 und \ v'(x)=e^x

Nun setzt man Funktionen und Ableitungen gemäß der Produktregel zusammen:

\ f'(x)=2e^x + 2xe^x

Durch Ausklammern erhält man nun eine brauchbare Funktion:

\ f'(x)=2e^x(1 + x)

[Bearbeiten] Kettenregel

Eine verkettete Funktion, also eine Funktion, die aus verschiedenen Funktionen zusammengesetzt wurde, leitet man nach der Kettenregel ab.
Die Kettenregel für eine Funktion \ f(x)=u(v(x)) lautet:

\ f'(x)=u'(v(x))v'(x)


Will man nun die Funktion \ f(x)=(5-3x)^4 ableiten, muss man die Funktion wieder in ihre Ursprungsfunktionen zerlegen. Diese wären:

\ u(v)=v^4 und \ v(x)=5-3x.

Die Ableitungen lauten:

\ u'(v)=4v^3 und \ v'(x)=-3

Nun setzt man die Ableitungen zusammen:

\ f'(x)=4(5-3x)^3(-3)

Vereinfacht ist das:

\ f'(x)=-12(5-3x)^3

[Bearbeiten] Quotientenregel

Die Quotientenregel ist dazu da, um gebrochen rationale Funktionen abzuleiten.
Die Quotientenregel für eine Funktion f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} lautet:

f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}.


Leitet man nun f(x)=\frac{2x}{1-x} ab, muss man erstmal u(x) und v(x) bestimmen.

\ u(x)=2x und \ v(x)=1-x

Die Ableitungen lauten:

\ u'(x)=2 und \ v'(x)=-1

Zusammengesetzt:

f'(x)=\frac{2(1-x)-2x(-1)}{(1-x)^2}

Vereinfacht:

f'(x)=\frac{2}{(1-x)^2}

[Bearbeiten] Herleitungen

[Bearbeiten] Produktregel

Für den Differenzenquotienten von f gilt:

\begin{align} f(x) & = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{u(x) \cdot v(x) - u(x_0) \cdot v(x_0)}{x - x_0} \\ & = \frac{u(x) \cdot v(x) \color{Red}- u(x_0) \cdot v(x) + u(x_0) \cdot v(x) \color{Black} - u(x_0) \cdot v(x_0)}{x - x_0} \\ & = \frac{[u(x) - u(x_0)] \cdot v(x) + u(x_0) \cdot [v(x) - v(x_0)]}{x - x_0} \\ & = \frac{u(x) - u(x_0)}{x - x_0} \cdot v(x) + u(x_0) \cdot \frac{v(x) - v(x_0)}{x - x_0} \end{align}

(Um den Differenzquotienten von f auf die Differenzquotienten \frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0} und \frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0} zurückzuführen zu können, wird der rot geschriebene Teil eingefügt.)

Die Funktionen u und v sind differnezierbar. Für \ x \to x_0 gilt daher \frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0} \to u'(x_0); \ v(x) \to v(x_0) und \frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0} \to v'(x_0).

[Bearbeiten] Kettenregel

Es sei \ f(x)=u(v(x)). Die innere Funktion v sei an der Stelle x0 differenzierbar, die äußere Funktion u an der Stelle v0 = v(x0).

\begin{align} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{x-x_0} \\ & = \frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{\color{Red} v(x)-v(x_0)} \color{Black}\cdot\frac{ \color{Red} v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\color{Black} \end{align}

Mit v(x) = v und v(x0) = v0 ist

\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \frac{u(v)-u(v_0)}{v-v_0}\cdot\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}.

Wegen der Stetigkeit der Funktion v geht für \ x \to x_0 auch \ v \to v_0. Dies liefert also:

\ f'(x_0)=u'(v_0)\cdot v'(x_0) = u'(v(x_0))\cdot v'(x_0).

[Bearbeiten] Quotientenregel

Um Quotienten von Funktionen ableiten zu können, fasst man f als Produkt zweier Funktionen auf mit f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} = u(x)\cdot\frac 1{v(x)}. Für die Funktion k mit k(x)=\frac 1{v(x)} = v^{-1}(x) gilt nach der Kettenregel: k'(x)=-1\cdot v^{-2}(x)\cdot v'(x) = -\frac{v'(x)}{(v(x))^2}.

Somit ergibt sich für f(x)= u(x)\cdot\frac 1{v(x)} mithilfe der Produktregel f'(x)=u'(x)\cdot\frac 1{v(x)}+u(x)\cdot\left( -\frac{v'(x)}{(v(x))^2}\right)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}.

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