Analysis: Stetigkeit: Zwischenwertsatz

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Zwischenwertsatz: Ist $f:X \rightarrow Y$ stetig und surjektiv, wobei $(X,\mathcal{T})$ , $(Y,\mathcal{U})$ topologische Räume sind und $(X,\mathcal{T})$ zusammenhängend ist, so ist $(Y,\mathcal{U})$ zusammenhängend.

Beweis: Ist $(Y,\mathcal{U})$ nicht zusammenhängend, so gibt es disjunkte offene Mengen $A \in \mathcal{U}$ und $B \in \mathcal{U}$ , so dass $A \cup B = Y$ . Da $f$ stetig ist, sind dann aber auch $f^{-1}(A) \in \mathcal{T}$ und $f^{-1}(B)\in \mathcal{T}$ offen; außerdem sind sie disjunkt und es gilt $X=A\cup B$ . Das heißt aber, dass $X$ nicht zusammenhängend ist, im Widerspruch zur Voraussetzung.

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