Analysis: Umkehrfunktionen

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Bei einer Funktion wird jeder reelen Zahl x aus einer Menge D_f genau eine reele Zahl y zugeordnet. ImFolgenden wird untersucht, unter welchen Bedingungen die Umkehrung dieser Zuordnung ebenfalls eine Funktion ist und wie man gegebenenfalls ihren Funktionsterm erhält.

[Bearbeiten] Umkehrbarkeit

Nehmen wir $\ f(x)=x^2$ . Jeder Zahl x aus der Definitionsmenge D_f wird eindeutig eine Zahl y aus der Wertemenge W_f zugeordnet, z.B. $\frac 32 \to \frac 94$ . Geht man umgekehrt vom y-Wert 4 aus, wird man nicht zu einem eindeutig bestimmten x-Wert geführt: sowohl 2 als auch -2 kommen in Frage. Die umgekehrte Zuordnung $\ y \to x$ ist damit keine Funktion.

Betrachtet man hingegen $\ f(x)=x^3$ , findet man von jedem y-Wert ausgehend immer nur einen x-Wert. Damit ist die umgekehrte Zuordnung $\ y \to x$ auch eine Funktion.

Definition: Eine Funktion  mit der Definitionsmenge  $D f$  und der Wertemenge  $W f$  heißt umkehrbar,
 falls es zu jedem  nur ein   mit  gibt.

Ist eine Funktion umkehrbar, so heißt die Zuordnung $\ y \to x$ Umkehrfunktion und wird mit $\bar f$ (lies: f quer) bezeichnet.
Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar.

[Bearbeiten] Graph

Die Funktion $\ f: x \to y$ und ihre Umkehrfunktion $\bar f: y \to x$ haben in einem gemeinsamen Koordinatensystem denselben Graphen. Will man für $\bar f$ die Darstellung $\bar f: x \to y$ mit $y = \bar f(x)$ , so muss man die Variablen umbenennen: x wird zu y und y zu x ("Variablentausch").

Zu jedem Punkt $\ P(a|b)$ des Graphen von $\ f$ gehört dann ein Punkt $\bar P(b|a)$ des Graphen von $\bar f$ .

Man erhält den Graphen von $\bar f$ , indem man den Graphen von $\ f$ an der 1. Winkelhalbierenden spiegelt.

[Bearbeiten] Bestimmen der Umkehrfunktion

An der umkehrbaren Funktion $\ f$ mit $\ f(x)=(x+1)^2, x \ge -1$ wird gezeigt, wie man $\bar f$ ermitteln kann.

$D_{\bar f}$ bestimmen:

Es gilt $\ f(-1)=0, f(x) \to \infty$ für $\ x \to \infty$ , aufgrund der strengen Monotonie von $\ f$ ist $D_{\bar f} = W_f = [0; \infty)$ .

Auflösen der Gleichung $\ y = f(x)$ nach x:

Mit $\ y = (x+1)^2$ gilt $\sqrt y = x + 1$ oder $\sqrt y = -(x+1)$ und damit $x = \sqrt y - 1 (*)$ oder $x = -\sqrt y - 1 (**)$ .

Da $W_{\bar f} = D_f = [-1; \infty)$ ist, muss $\ (**)$ ausgeschlossen werden.

Variablentausch; $\bar f$ angeben:

Aus $x = \sqrt y - 1$ erhält man nun $y = \sqrt x - 1$ .

Damit ist $\bar f$ mit $\bar f(x)=\sqrt x -1; x \ge 0$ die Umkehrfunktion von $\ f$ .

[Bearbeiten] Ableitung

Hat der Graph von $\ f$ eine Tangente im Punkt $\ P(x_0|y_0)$ , so hat der Graph von $\bar f$ im Punkt $\bar P(y_0|x_0)$ ebenfalls eine Tangente.

Dies bedeutet: Ist $\ f$ an der Stellex₀ differenzierbar mit $\ f'(x_0) \ne 0$ , dann ist $\bar f$ an der Stelle $\ y_0 = f(x_0)$ ebenfalls differenzierbar.

Aus den beiden Steigungsdreiecken der Tangenten lässt sich unmittelbar ablesen, dass $\ f'(x_0)$ und $\bar f'(y_0)$ Kehrwerte voneinander sind. Damit ist der folgende Satz anschaulich begründet.

Satz: Ist die Funktion  in einem Intervall I umkehrbar und differenzierbar mit  für ,
dann ist die Umkehrfunktion  ebenfalls differenzierbar und es gilt:
 mit  bzw. .