Analytische Geometrie/ Matrizen/ Rechnen mit Matrizen/ Determinante einer Matrix

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Definition

Die Determinante der Matrix $A=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right)$ ist $\det A= \left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}$

Die Determinante der Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)$ ist

$\det A= \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$

$= a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33} + a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31} + a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32} - a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13} - a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11} - a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}.$

Bei der Berechnung der Determinante einer 3x3-Matrix hilft folgendes Schema:

Die ersten beiden Spalten der Matrix werden noch einmal neben die Matrix geschrieben.
Die Einträge auf den Diagonalen von oben links nach unten rechts werden multipliziert und die Ergebnisse addiert.
$a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33} + a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31} + a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}$
Die Einträge auf den Diagonalen von unten links nach oben rechts werden multipliziert und die Ergebnisse subtrahiert.
$- a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13} - a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11} - a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}$
$\det A = a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33} + a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31} + a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32} - a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13} - a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11} - a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}$

Beispiele

[Bearbeiten] Entwicklung einer Determinante

Sei $\left.A\right.$ eine Matrix mit n Spalten und n Zeilen und $\left.a_{m,k} \right.$ die Einträge von $\left. A\right.$ (m=Zeile, k=Spalte). Sei ferner $\left.A_{m,k}\right.$ die Matrix, die aus $\left.A\right.$ entsteht, wenn man die m-te Zeile und die k-te Spalte weg lässt. Also z.B.

$A=\left(\begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{array}\right)$ , $A_{1,2}=\left(\begin{array}{cc} a_{2,1} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,3}\\ \end{array}\right)$ und $A_{3,1}=\left(\begin{array}{cc} a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,2} & a_{2,3}\\ \end{array}\right)$

Dann ist die Entwicklung von $\left.\det A\right.$ nach der m-ten Zeile:

$\begin{array}{rcl} \det A & = & (-1)^{m+1}\cdot a_{m,1}\cdot\det A_{m,1} + (-1)^{m+2}\cdot a_{m,2}\cdot\det A_{m,2} + \ldots + (-1)^{m+n}\cdot a_{m,n}\cdot\det A_{m,n}\\ & = & \sum_{j=1}^n(-1)^{m+j}\cdot a_{m,j}\cdot\det A_{m,j}\\ \end{array}$

Die Entwicklung von $\left.\det A\right.$ nach der k-ten Spalte ist:

$\begin{array}{rcl} \det A & = & (-1)^{k+1}\cdot a_{1,k}\cdot\det A_{1,k} + (-1)^{k+2}\cdot a_{2,k}\cdot\det A_{2,k} + \ldots + (-1)^{k+n}\cdot a_{n,k}\cdot\det A_{n,k}\\ & = & \sum_{j=1}^n(-1)^{k+j}\cdot a_{j,k}\cdot\det A_{j,k}\\ \end{array}$