Analytische Geometrie/ Matrizen/ Rechnen mit Matrizen/ Inverse Matrizen

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Definition

Die quadratische Matrix $I=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \ddots & & \vdots \\ \vdots& & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 &1\\ \end{array}\right)$ heißt Einheitsmatrix.

Sind $\left.A\right.$ und $\left.B\right.$ quadratische Matrizen (d.h. Matrizen mit gleicher Zeilen- und Spaltenzahl) und gilt $\left.A\cdot B=I\right.$ bzw. $\left.B\cdot A=I\right.$ , so sind $\left.A\right.$ und $\left.B\right.$ zueinander Inverse. Kurz: $\left.A^{-1}=B\right.$ bzw. $\left.B^{-1}=A\right.$ .

Es gilt $\left.A^{-1}=B \Leftrightarrow B^{-1}=A\right.$ .

Satz

Die Inverse einer Matrix $\left.A\right.$ existiert nur dann , wenn $\left.\det A\ne 0\right.$ . Im Fall einer 2x2-Matrix gilt:

$A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right)\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot\left( \begin{array}{cc} a_{22} & -a_{12}\\ -a_{21} & a_{11} \end{array}\right)$

Beispiele

[Bearbeiten] Invertieren größerer Matrizen

Größere Matrizen können mit hilfe der Cramerschen-Regel invertiert werden.

$a^{-1}_{ij}=\frac{(-1)^{i-j}*\det(A_{ij})}{\det(A)}$

Wobei $a^{-1}_{ij}$ die Elemente der invertierten Matrix sind, $A$ die Ursprüngliche Matrix und $det(A i j)$ die Determinante der Matrix $A$ nach dem Streichen der $i$ -ten Zeile und $j$ -ten Spalte.