Aufgabensammlung Mathematik: Endliche Summen

Endliche Summen

Summe über ungerade Zahlen

Beweise, dass für alle $n\ge1$ gilt:

$\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$

Geometrische Summenformel

Sei $q \in \R \setminus \{1\}$. Beweise, dass für $n\in\N_{\ge1}$ gilt:

$\sum_{k=0}^n q^k = {{1-q^{n+1}} \over {1-q}}$

Wie lautet die geometrische Summenformel für $q=1$?

Summe über Quadratzahlen

Beweise, dass für $n\in\N_{\ge1}$ gilt:

$\sum_{k=1}^n k^2 = {{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)} \over 6}$

Summenformel über ungerade Quadratzahlen

Beweise, dass für $n\ge 1$ gilt:

$\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = \frac{n\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}{3}$

Summe über Kubikzahlen

Beweise, dass für $n\in\N_{\ge1}$ gilt:

$\sum_{k=1}^n k^3 = \left( {\sum_{k=1}^n k} \right)^2 =\left( {{n \cdot (n+1)} \over 2} \right)^2$