Aufgabensammlung Mathematik: Summe, Produkt und Quotient lokal Lipschitz-stetiger Funktionen sind wieder lokal Lipschitz-stetig
Summe, Produkt und Quotient lokal Lipschitz-stetiger Funktionen sind wieder Lipschitz-stetig
Seien und zwei lokal Lipschitz-stetige Funktionen zwischen dem metrischen Raum und dem Körper . Beweise
- ist lokal Lipschitz-stetig
- ist lokal Lipschitz-stetig
- Ist ein normierter, endlichdimensionaler Vektorraum über oder , so ist ist lokal Lipschitz-stetig
- Besitzt keine Nullstellen und ist ein normierter, endlichdimensionaler Vektorraum über oder , dann ist lokal Lipschitz-stetig
Beweis
Sei beliebig. Da Lipschitz-stetig ist, gibt es ein und ein , so dass für alle mit und . Dann ist für alle mit und :
Damit ist auf der Menge Lipschitz-stetig bezüglich der Lipschitz-Konstante . Da beliebig war, ist lokal Lipschitz-stetig.
Sei beliebig. Da und Lipschitz-stetig sind, gibt es ein und ein , so dass auf dem offenem Ball zur Lipschitz-Konstante und auf zur Lipschitz-Konstante Lipschitz-stetig ist. Sei . Dann ist für alle mit und :
Damit ist auf dem offenen Ball Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten und damit ingesamt lokal Lipschitz-stetig.
Sei beliebig. Da und lokal Lipschitz-stetig sind, gibt es , so dass auf dem offenem Ball zur Lipschitz-Konstante und auf zur Lipschitz-Konstante Lipschitz-stetig ist. Sei . Dann ist sowohl als auch auf dem abgeschlossenen und beschränkten Ball wohldefiniert. Da ein endlichdimensionaler, normierter Vektorraum über oder ist, ist nach dem Satz von Heine-Borel kompakt. Damit nehmen und auf ihr Maximum beziehungsweise an. Nun gilt für alle mit und :
Damit ist auf dem offenen Ball Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten und somit ingesamt lokal Lipschitz-stetig.
Weil ist, muss nach Teilaufgabe 3 nur noch gezeigt werden, dass lokal Lipschitz-stetig ist. Sei beliebig. Da lokal Lipschitz-stetig ist, gibt es , so dass auf dem offenem Ball zur Lipschitz-Konstante Lipschitz-stetig ist. Sei . Es ist die Funktion auf dem beschränkten und abgeschlossenen Ball wohldefiniert. Da ein endlichdimensionaler, normierter Vektorraum über oder ist, ist nach dem Satz von Heine-Borel kompakt. Damit nimmt auf ihr Maximum an. Nun gilt für alle mit :
Damit ist auf dem offenen Ball Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten und somit ingesamt lokal Lipschitz-stetig.