Beweisarchiv: Lineare Algebra: Endomorphismen: Kreisesatz von Gerschgorin

Beweisarchiv: Lineare Algebra

Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton · Korrektheit des Algorithmus von Faddejew-Leverrier · Kreisesatz von Gerschgorin

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Das Kreisesatz von Gerschgorin oder auch Kreissatz von Gerschgorin bzw. Satz von Gerschgorin, in englischsprachigen Quellen auch Gershgorin circle theorem genannt, ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Linearen Algebra. Der Satz ist benannt nach dem weißrussischen Mathematiker Semjon Aronowitsch Gerschgorin und gibt Aufschluss über die Lage der Eigenwerte komplexwertiger Matrizen innerhalb der gaußschen Zahlenebene .

Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:

Es sei

$A=(a_{jk})_{j,k=1,\ldots ,n}\in {\mathbb {C} }^{n\times n}$

eine komplexwertige Matrix $n\times n$-Matrix zu einer natürlichen Zahl $n$ . Dabei sei für jeden der Indizes $j=1,\ldots ,n$

$c_{j}=\sum _{k=1,\ldots ,n \atop \;\ k\neq j}{|a_{jk}|}$

und dazu

$D_{j}={\overline {U_{c_{j}}\,(a_{jj})}}=\{z\in \mathbb {C} \colon |a_{jj}-z|\leq c_{j}\}$

die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius $c_{j}$ und Mittelpunkt $a_{jj}$.

Dann gilt:

Zu jedem komplexen Eigenwert $\lambda$ der Matrix $A$ gibt es eine Kreisscheibe $D_{j}\;(j=1,\ldots ,n)$, die $\lambda$ enthält.

Beweis des Satzes

Der Darstellung von Ortega und Rheinboldt folgend lässt sich der Beweis führen wie folgt:

Sei

$\lambda \in \mathbb {C}$

Eigenwert der Matrix

$A\in {\mathbb {C} }^{n\times n}$

und sei

$x\in {\mathbb {C} }^{n}\setminus \{0\}$

ein zugehöriger Eigenvektor und

$B=A-\lambda I_{n}$

mit

$I_{n}\in {\mathbb {C} }^{n\times n}$

als komplexwertiger $n\times n$-Einheitsmatrix.

Dann gilt einerseits

$Bx=0$

und andererseits wegen $x\neq 0$ für einen Index $m\in \{1,\ldots ,n\}$

$|x_{m}|=\max _{k=1,\ldots ,n}{|x_{k}|}>0$.

Man hat also

$0=\sum _{k=1,\ldots ,n}{b_{mk}x_{k}}$

und dann weiter

$|x_{m}|\cdot |b_{mm}|=|b_{mm}x_{m}|=|-\sum _{k=1,\ldots ,n \atop \;\ k\neq m}{b_{mk}x_{k}}|\leq |x_{m}|\cdot \sum _{k=1,\ldots ,n \atop \;\ k\neq m}|{b_{mk}}|$.

und damit

$|x_{m}|\cdot |a_{mm}-\lambda |\leq |x_{m}|\cdot \sum _{k=1,\ldots ,n \atop \;\ k\neq m}|{a_{mk}}|=|x_{m}|\cdot c_{m}$ .

Folglich ist

$|a_{mm}-\lambda |\leq c_{m}$

und daher

$\lambda \in D_{m}$   ,

was die Behauptung des Satzes beweist.

Quellen und Hintergrundliteratur

• S. Gerschgorin: Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. In: Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya. 1, 1931, S. 749-754 ([1]). 
• James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. (Unabridged republication of the work first published by Acadmic Press, New York and London, 1970). 30, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 2000, ISBN 0-89871-461-3.  MR1744713
• Richard S. Varga: Geršgorin and His Circles. 36, Springer Verlag, Berlin 2004, ISBN 3-540-21100-4.  MR2093409