Entropie: Formel

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Die Formel auf Boltzmanns Grabstein

Inhaltsverzeichnis

1 Abkürzungen
- 1.1 Einheiten
2 Entropie Formeln Informationstheorie
- 2.1 Shannonformel
3 Entropie Formeln Physik
4 Tabellen und Diagramme
- 4.1 Schmelzwärme
5 Extremwerte

[Bearbeiten] Abkürzungen

Die Entropie wird meist mit H oder S abgekürzt.

Da der Buchstabe H in der Physik bereits für die Enthalpie reserviert ist, sollte man hier immer den Buchstaben S gebrauchen, wenn man von Entropie spricht.

In der Mathematik (Informationstheorie) hat sich die Abkürzung H eingebürgert.

Die Benutzung von klein und groß S geschieht sehr uneinheitlich. Klein s ist dabei meist die spezifische Entropie d.h. die Entropie bezogen auf 1 Kilogramm des Stoffes.

[Bearbeiten] Einheiten

Physik:
- Joule / Kelvin
  - (Energie / Temperatur)
Mathematik und Informationstheorie
- bit

Die Entropieeinheit 1 Joule / Grad Kelvin entspricht der Entropiemenge, 
mit der man bei Normaldruck 0,893 cm^3 Wassereis schmelzen kann

[Bearbeiten] Entropie Formeln Informationstheorie

[Bearbeiten] Shannonformel

Shannon definierte die Entropie H einer gegebenen Information I über einem Alphabet Z durch

$H(I) = - \sum_{j=1}^{|Z|}{p_j \cdot \log_2{p_j}}$ ,

wobei p_j die Wahrscheinlichkeit ist, mit der das j-te Symbol z_j des Alphabets Z im Informationtext I auftritt.

Die Entropie erhält die Einheit bit.

H = Summe der Teilentropien aus n Zufallsereignissen mit der Wahrscheinlichkeit p_n

Teilentropie H = − p * log₂p = p * log₂(1 / p)

dabei ist p die Wahrscheinlichkeit einer Möglichkeit eines Zufallsereignisses

[Bearbeiten] Entropie Formeln Physik

[Bearbeiten] Formel für die verschiedenen Aggregatzustände eines Stoffes mit gleicher Stoffmenge

Festkörper, insbesondere Kristalle, haben eine kleinere Entropie als Flüssigkeiten und Flüssigkeiten eine kleinere als Gase, wenn man denselben Stoff und diesselbe Stoffmenge betrachtet.

S_Feststoff < S_Flüssigkeit < S_Gas

S_s < S_l < S_g

wobei s = solid = fest, l = liquid = flüssig, g = gasförmig ist

[Bearbeiten] Entropiefluß

Diese Formel ist wichtig zur Berechnung von Heizungen, Wärmpumpen und ähnlichem.

Der Entropiefluß I_S ist gleich der Wärmemenge (Entropiemenge) ΔS die pro Zeiteinheit Δt transportiert wird

I_S = ΔS / Δt

VORSICHT: Nicht Groß T ( Temperatur) mit klein t (Zeit) verwechseln.

Davon abgeleitet gilt:

P = T * I_S

Die Leistung P ( Energie / Zeit) ist gleich dem Produkt aus der absoluten Temperatur T mal dem Entropiefluß Is ( Entropie / Zeit).

Die dazugehörigen Einheiten lauten:

Watt = Kelvin * Joule / Kelvin / Sekunde
Watt = Joule / Sekunde

[Bearbeiten] Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

dS/dt >= 0 für abgeschlossene Systeme

In einem abgeschlossenen System kann die Gesamtentropie nicht abnehmen. Sie bleibt im Laufe der zeitlichen Entwicklung dieses Systems entweder konstant oder sie nimmt zu.

[Bearbeiten] Dritter Hauptsatz der Thermodynamik

Nach Nernst gilt am absoluten Nullpunkt (T = 0 Grad Kelvin) für einen reinen kristallinen Stoff:

S = 0 Joule/Kelvin

Max Planck hat dies noch genauer formuliert:

$\lim_{T\to 0}S (T,p,V,...) = S (T=0) = S_0$

$S_0=k_B\cdot \ln (g)$

Wobei k_B die Boltzmannkonstante ist und g die Entartung des Grundzustandes.

Ist der Grundzustand des Systems nicht entartet, so gilt g = 1 und damit S₀=0. Die Entropie eines Systems verschwindet somit, wenn die Temperatur gegen null geht.

[Bearbeiten] Clausiusformel

dS = dQrev / T

dS = Entropiezunahme
dQ = Wärmezufuhr
T = Temperatur in Grad Kelvin

Der Index „rev“ berücksichtigt, daß dies in voller Strenge nur für reversible Prozesse gilt.

Die Entropiefunktion des augenblicklichen Zustands eines Systems ist die Wärmemenge, die bei einer reversiblen Zustandsänderung aufgenommen oder abgegeben wurde, dividiert durch die Aufnahme- oder Abgabetemperatur.

[Bearbeiten] Boltzmannformel

S = k * ln W

im Original bei Herrn Boltzmann S = k * ln Omega

Boltzmann-Konstante kB = 1,380 6503·10-23 Joule / Kelvin
W entspricht der Zahl der möglichen Mikrozustände die mit einem Makrozustand verknüpft sind.
W erreicht ein Maximum, wenn alle Mikrozustände gleich verteilt sind.

Siehe auch Ludwig Boltzmann

[Bearbeiten] Clausiusformel für ideale Gase

Für ideale Gase gilt:

dS = (n *Cv * dT + (n * R*T) / V * dV) / T

oder

S = n*R * ( 3/2 * ln(T) + ln(V/N) + Co)

Variablenbezeichnungen

h
- Enthalpie
H
- molare Enthalpie
u
- innere Energie
U
- molare innere Energie
q
- einem System zugeführte Wärmemenge
Q
- einem System zugeführte molare Wärmemenge
s
- Entropie
S
- molare Entropie
c
- Wärmekapazität (konstante Größe als Index)
C
- molare Wärmekapazität (konstante Größe als Index)
V
- Volumen
VM
- molares Volumen
n
- Stoffmenge
p
- Druck
R
- Gaskonstante (R = 8.31451 JK-1mol-1)
T
- absolute Temperatur
w
- an einem System verrichtete Arbeit

[Bearbeiten] Mischungsentropie zweier idealer Gase gleichen Drucks und gleicher Temperatur

Reale Mischung:

Zwei Gase liegen zunächst räumlich getrennt und in jeweils der Hälfte des Endvolumens vor. Die beiden Behälter der Größe V/2 berühren einander, sind aber durch eine Wand getrennt. Dann wird die Wand entfernt und man lässt die adiabatische Mischung der beiden Gase zu. Dann kommt es nicht nur zu einer Mischung der Gase, sondern auch zu einer Volumenausdehnung des einen Gases in das Volumen des jeweils anderen Gases.

[Bearbeiten] Entropie schwarzer Löcher Bekensteinformel

Ssl = Pi/2*c^3*Kb/(G*h)*Osl

Ssl = Entropie eines schwarzen Loches
Pi = Kreiszahl = 3,14...
c = Lichtgeschwindigkeit
Kb = Boltzmann Konstante
G = Gravitationskonstante
h = Plancksches Wirkungsquantum
Osl = Oberfläche des Schwarzenloches (Horizont)

Die Formel stammt von Jacob Bekenstein und wurde von ihm 1973 veröffentlicht. Quelle: J. D. Bekenstein, "Black holes and entropy", Phys. Rev. D 7:2333-2346 (1973).

[Bearbeiten] Tabellen und Diagramme

Wegen seiner großen Bedeutung für die Energiewirtschaft zählt Wasserdampf zu den am besten erforschten Stoffen innerhalb der Thermodynamik. Seine physikalischen Eigenschaften wurden durch Messungen und Berechnungen bestimmt und in umfangreichen Tabellenwerken, den so genannten Wasserdampftafeln, erfasst. In diesen Tabellen und Diagrammen finden sich sehr genaue Beziehungen zwischen der Temperatur und der Entropie des Wasserdampfes.

Siehe:

http://de.wikipedia.org/wiki/Wasserdampf#Tabellen.2C_Diagramme_und_Formeln

Tabelle mit chemischen Potenzialen und molaren Entropien Siehe:

http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/divers/chempot.pdf

[Bearbeiten] Schmelzwärme

Übernommen aus Wikipedia

Die spezifische Schmelzwärme bzw. spezifische Schmelzenergie bezeichnet die Menge Energie, die zum Schmelzen eines Stoffes benötigt wird, bezogen entweder auf die Stoffmenge (Einheit: Joule/mol) oder auf die Masse (Einheit Joule/Kilogramm). Wenn man den dazugehörigen Schmelzpunkt kennt, dann ist es einfach die spezifische Schmelzentropie zu berechnen.

Stoff           Schmelzwärme (kJ/kg)   
Aluminium       398 
Antimon         163 
Bismut           55 
Blei             25 
Chrom           314 
Eis             333,7 
Eisen           268 
Gold             63 
Kadmium          54 
Kalium           63 
Cobalt          260 
Kohlendioxid    180 
Kupfer          205 
Magnesium       373 
Mangan          264 
Natrium         113 
Nickel          301 
Phosphor         21 
Platin          100 
Quecksilber      11,3 
Sauerstoff       13 
Schwefel (monoklin) 38 
Silber          105 
Silicium        142 
Wachs           176 
Wasser          334 
Wasserstoff      59 
Wolfram         193 
Zink            100 
Zinn             59

[Bearbeiten] Extremwerte

Die Entropie eines reinen Stoffes in einer perfekten kristallisierten Form geht am absoluten Nullpunkt der Temperatur (- 273 Grad Celsius) gegen Null. Dabei kann der absolute Nullpunkt nie erreicht, sondern nur angenähert werden.

Die Entropie eines Wasserstoffgases z. B. bei 1000 Grad ist wie hoch?

Die Entropie im Urknall war wahrscheinlich sehr niedrig. Wie hoch?

Die Entropie des jetzigen Universums ist schätzungsweise wie hoch?

Die Entropie beim Wärmetod des Universums wird schätzungsweise wie hoch sein?

Entropiezuwachs und Energieverlust der Sonne

Energieaufnahme und -abgabe und Entropieaufnahme und Entropieabgabe der Erde

Die Entropie eines sicheren Ereignisses H = 0

Die Entropie eines unmöglichen Ereignisses H = 0

Die Entropie eines idealen Münzwurfes H = 1

Die Entropie einer fiktiven Lottoziehung 1 aus 1 Million Möglichkeiten H = 19,931568569324

Negative Werte der statistischen Entropie gibt es per Definition nicht.