Formelsammlung Mathematik: Endliche Produkte

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[Bearbeiten] Gaußsche Multiplikationsformel


\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)=\sqrt{2\pi}^{\, n-1}\, n^{\frac{1}{2}-nz}\, \Gamma(nz)
1. Beweis

Nach der Gaußschen Definition der Gammafunktion ist

\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)=\lim_{m\to\infty} \frac{m!\,\, m^{z+\frac{k}{n}-1}}{\left(z+\frac{k}{n}\right)\left(z+\frac{k}{n}+1\right)\cdots \left(z+\frac{k}{n}+m-1\right)}

Ersetze m!\, durch \sqrt{2\pi m}\left(\frac{m}{e}\right)^m und erweitere den Bruch mit dem Faktor n^m\,.

\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)=\lim_{m\to\infty} \frac{\sqrt{2\pi}\, \left(\frac{mn}{e}\right)^m \, m^{z+\frac{k}{n}-\frac12} }{(nz+k)(nz+k+n)\cdots (nz+k+n(m-1))}

Folglich ist

n^{nz-\frac12}\prod_{k=0}^{n-1} \Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)=\lim_{m\to\infty} \frac{\sqrt{2\pi}^{\, n}\, \left(\frac{mn}{e}\right)^{mn}\, (mn)^{nz-\frac12}}{nz\, (nz+1)\cdots (nz+mn-1)}

Am Grenzwert ändert sich nichts wenn man überall mn\, durch m\, ersetzt.

\lim_{m\to\infty} \frac{\sqrt{2\pi}^{\, n} \, \left(\frac{m}{e}\right)^m \, m^{nz-\frac12}}{nz\, (nz+1)\cdots (nz+m-1)}=\sqrt{2\pi}^{\, n-1}\, \Gamma(nz)

 


2. Beweis

Setzt man F_n(z)=\frac{n^{nz}\, \prod\limits_{k=0}^{n-1} \Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right) }{\Gamma(nz)} so ist

F_n(z+1)=\frac{n^{nz}\, n^n\, \prod\limits_{k=0}^{n-1} \left[\left(z+\frac{k}{n}\right)\, \Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)\right] }{\prod\limits_{k=0}^{n-1} (nz+k)\, \Gamma(nz)}=F_n(z).

Für große z\, gilt \Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)\sim \Gamma(z)\, z^{\frac{k}{n}} und somit F_n(z)\sim \frac{n^{nz}\, \Gamma^n(z)\, z^{\frac{n-1}{2}}}{\Gamma(nz)}.

Verwendet man nun \Gamma(z)\sim \sqrt{\frac{2\pi}{z}}\, \left(\frac{z}{e}\right)^z so ist

F_n(z)\sim \frac{n^{nz}\, \sqrt{\frac{2\pi}{z}}^{\, n} \, \left(\frac{z}{e}\right)^{nz}\, z^{\frac{n-1}{2}} }{\sqrt{\frac{2\pi}{nz}}\, \left(\frac{nz}{e}\right)^{nz} }=\sqrt{n}\, \sqrt{2\pi}^{\, n-1}.

Also hängt F_n(z)\, nicht von z\, ab und es gilt F_n(z)=\sqrt{n}\, \sqrt{2\pi}^{\, n-1},

woraus unmittelbar die Gaußsche Multiplikationsformel folgt.

 


3. Beweis

Nach der Formel \psi(z)+\gamma=\int_0^1 \frac{1-t^{z-1}}{1-t}\, dt=n\int_0^1 \frac{t^{n-1}-t^{nz-1}}{1-t^n}\, dt

ist \psi\left(z+\frac{k}{n}\right)+\gamma=n\int_0^1 \left[\frac{t^{n-1}}{1-t^n}-\frac{t^{nz+k-1}}{1-t^n}\right] dt und somit \sum_{k=0}^{n-1} \psi\left(z+\frac{k}{n}\right)+n\gamma=n\int_0^1 \left[\frac{nt^{n-1}}{1-t^n}-\frac{t^{nz-1}}{1-t}\right] dt.

Wegen n\psi(nz)+n\gamma=n\int_0^1 \frac{1-t^{nz-1}}{1-t}\, dt

ist \sum_{k=0}^{n-1} \psi\left(z+\frac{k}{n}\right)-n\psi(nz)=n\int_0^1 \left[\frac{n\, t^{n-1}}{1-t^n}-\frac{1}{1-t}\right] dt=n\Big[\log(1-t^n)-\log(1-t)\Big]_0^1=-n\log n.

Integriert man unbestimmt nach z\, so ist \sum_{k=0}^{n-1} \log\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)=C_n-nz\log n+\log\Gamma(nz).

Also ist \prod_{k=0}^{n-1} \Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)=e^{C_n}\, n^{-nz}\, \Gamma(nz).

Setzt man z=\frac{1}{n} so ist e^{C_n}=\prod_{k=1}^n \Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)\, n=\sqrt{2\pi}^{n-1}\, n^\frac12.

 



\prod_{k=1}^{n-1} \Gamma\left(\frac{k}{n}\right)=\frac{(2\pi)^\frac{n-1}{2}}{\sqrt{n}}
1. Beweis

In der Gaußschen Multiplikationsformel \prod_{k=1}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)=\sqrt{2\pi}^{\, n-1}\, n^{\frac{1}{2}-nz}\, \frac{\Gamma(nz)}{\Gamma(z)} lasse z\to 0 gehen.

Wegen \frac{\Gamma(nz)}{\Gamma(z)}=\frac{1}{n}\, \frac{nz\, \Gamma(nz)}{z\, \Gamma(z)}=\frac{1}{n}\, \frac{\Gamma(1+nz)}{\Gamma(1+z)}\to \frac{1}{n} und \lim_{z\to\infty} n^{\frac12-nz}=\sqrt{n} ist dann \prod_{k=1}^{n-1} \Gamma\left(\frac{k}{n}\right)=\frac{(2\pi)^\frac{n-1}{2}}{\sqrt{n}}.

 


2. Beweis

Kehrt man im Produkt S=\prod_{k=1}^{n-1} \Gamma\left(\frac{k}{n}\right) die Reihenfolge der Faktoren um, so ist S=\prod_{k=1}^{n-1} \Gamma\left(1-\frac{k}{n}\right).

Also ist S^2=\prod_{k=1}^{n-1} \left[\Gamma\left(\frac{k}{n}\right)\, \Gamma\left(1-\frac{k}{n}\right)\right]. Nach dem Eulerschen Ergänzungssatz ist dies \prod_{k=1}^{n-1} \frac{\pi}{\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)}.

Und nach der Formel \prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}} ist das \frac{2^{n-1}\, \pi^{n-1}}{n}. Also ist S=\frac{\sqrt{2\pi}^{\, n-1}}{\sqrt{n}}.

 



[Bearbeiten] Weitere Produkte


\prod_{k=1}^{n-1} \left(1-\xi^k\right)=n \qquad \xi=e^{\frac{2\pi i}{n}}
Beweis

Aus X^n-1=\prod_{k=0}^{n-1} (X-\xi^k) folgt \prod_{k=1}^{n-1} (X-\xi^k)=\frac{X^n-1}{X-1}\to n für X\to 1.

 



\alpha^{2n}-2\alpha^n\beta^n \cos(n\theta)+\beta^{2n} =\prod_{k=0}^{n-1} \left(\alpha^2-2\alpha\beta\,\cos\left(\theta+\frac{2\pi k}{n}\right)+\beta^2\right)
Beweis

Faktorisiere z^{2n}-2 z^n \cos(n\theta)+1\, zu \left(z^n-e^{i n\theta}\right)\left(z^n-e^{-i n\theta}\right),

und das wiederum zu \prod_{k=0}^{n-1} \left(z-e^{i\left(\theta+\frac{2\pi k}{n}\right)}\right)\, \prod_{k=0}^{n-1}\left(z-e^{-i\left(\theta+\frac{2\pi k}{n}\right)}\right).

Fasse nun die Faktoren zusammen zu \prod_{k=0}^{n-1} \left(z^2-2z\,\cos\left(\theta+\frac{2\pi k}{n}\right)+1\right).

Ersetze z\! durch \frac{\alpha}{\beta} und multipliziere mit \beta^{2n}\, durch.

 



\prod_{k=0}^{n-1} \left(1+z^{2^k}\right)=\frac{1-z^{2^n}}{1-z} \qquad |z|<1
Beweis

Induktionsschluß: \prod_{k=0}^n \left(1+z^{2^k}\right)=\frac{1-z^{2^n}}{1-z}\, \left(1+z^{2^n}\right)=\frac{1-z^{2^{n+1}}}{1-z}

 



\prod_{k=0}^{n-1} \sin\left(z+\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{\sin nz}{2^{n-1}}


\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}
Beweis

Aus der Definition \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} folgt e^{ix}\, \sin x=\frac{i}{2}\, \left(1-e^{2ix}\right).

Ersetze x\, durch \frac{k\pi}{n} und bilde davon das Produkt \prod_{k=1}^{n-1}.

\prod_{k=1}^{n-1} e^{i\frac{k\pi}{n}}\, \prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\left(\frac{i}{2}\right)^{n-1}\, \prod_{k=1}^{n-1} \left(1-e^{2\pi i\frac{k}{n}}\right)

Dabei ist \prod_{k=1}^{n-1} e^{i\frac{k\pi}{n}}=\left(e^{\frac{i\pi}{n}}\right)^{\frac{(n-1)n}{2}}=\left(e^{\frac{i\pi}{2}}\right)^{n-1}=i^{n-1} und \prod_{k=1}^{n-1} \left(1-e^{2\pi i\,\frac{k}{n}}\right)=n.

Also ist \prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}.

 



\prod_{k=1}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor} \tan\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\left\{ \begin{matrix} \sqrt{n} & , & n & \text{ungerade} \\ \\ 1 & , & n & \text{gerade} \end{matrix} \right.


|\Gamma(n+ix)|^2=\prod_{k=0}^{n-1} (k^2+x^2) \, \frac{\pi x}{\sinh \pi x} \qquad n\in\Bbb{Z}^{\ge 0} \, , \, x\in\Bbb{R}
Beweis

\Gamma(n+ix)\Gamma(n-ix)=\prod_{k=0}^{n-1} (k+ix)\, \Gamma(ix)\, \prod_{k=0}^{n-1} (k-ix)\, \Gamma(-ix)

Dabei ist (k+ix)(k-ix)=k^2+x^2\, und \Gamma(ix)\Gamma(-ix)=\frac{\pi x}{\sinh \pi x} nach dem Eulerschen Ergänzungssatz.

 



\left|\Gamma\left(n+\frac12+ix\right)\right|^2=\prod_{k=0}^{n-1} \left(x^2+\left(k+\frac12\right)^2\right) \, \frac{\pi}{\cosh\pi x}\qquad n\in\Bbb{Z}^{\ge 0} \, , \, x\in\Bbb{R}
Beweis

\Gamma\left(n+\frac12+ix\right)\, \Gamma\left(n+\frac12-ix\right)=\prod_{k=0}^{n-1} \left(k+\frac12+ix\right) \, \Gamma\left(\frac12+ix\right) \, \prod_{k=0}^{n-1} \left(k+\frac12-ix\right) \, \Gamma\left(\frac12-ix\right).

Dabei ist \left(k+\frac12+ix\right)\left(k+\frac12-ix\right)=\left(k+\frac12\right)^2+x^2 und \Gamma\left(\frac12+ix\right)\Gamma\left(\frac12-ix\right)=\frac{\pi}{\cosh \pi x}.

 



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