Ing Mathematik: Folgen

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Inhaltsverzeichnis

1 Folgen
2 Beschränkte Folgen
3 Monotone Folgen
4 Grenzwert (Limes)
- 4.1 Rechenregeln
5 Teilfolgen
6 Nullfolgen
7 Komplexe Folgen
8 Übungen

[Bearbeiten] Folgen

Eine Folge ist eine Funktion, die den Werten $n\in\mathbb{N}$ im Definitionsbereich eine Zahl $a_n\$ im Wertebereich zuordnet. Ist $a_n\in \mathbb{R}$ so heisst die Folge reelle Folge. Ist $a_n\in \mathbb{C}$ so heisst die Folge komplexe Folge.

Beispiele:

$a_n=\frac{1}{n}\qquad \{a_n\}=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\}$

$a_n=(-1)^n\qquad \{a_n\}=\{-1,1,-1,1,\ldots\}$

[Bearbeiten] Beschränkte Folgen

Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn

$\exists S:\; a_{n}\le S\quad\forall n\in\mathbb{N}$

Eine Folge ist nach unten beschränkt, wenn

$\exists S:\; a_{n}\ge S\quad\forall n\in\mathbb{N}$

Eine Folge ist beschränkt, wenn

$\left(\exists S_{1}\right)\wedge\left(\exists S_{2}\right):\;\left(a_{n}\ge S_{1}\right)\wedge\left(a_{n}\le S_{2}\right)\quad\forall n\in\mathbb{N}$

Beispiel: Die Folge $a n = ( - 1) n$ ist beschränkt mit der unteren Schranke $S 1 = - 1$ und der oberen Schranke $S 2 = 1$ .

[Bearbeiten] Monotone Folgen

Eine Folge ist monoton wachsend, wenn $a_{n}\le a_{n+1}\quad\forall n\in\mathbb{N}$

Eine Folge ist monoton fallend, wenn $a_{n}\ge a_{n+1}\quad\forall n\in\mathbb{N}$

Beispiele:

$a n = n$ ist monoton wachsend

$a n = n - 1$ ist monoton fallend

[Bearbeiten] Grenzwert (Limes)

Eine Zahl $a\in\mathbb{R}$ heisst Grenzwert (Limes) einer Folge $a n$ , wenn es zu jedem $ε > 0$ eine Zahl $N_{\epsilon}\in\mathbb{N}$ gibt, sodaß $\left|a_{n}-a\right|<\epsilon$ für alle $n\ge N_{\epsilon}$ .

Man schreibt dies

$a=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}$
$a_{n}\rightarrow a$

und sagt

$a n$ konvergiert gegen a
$a n$ strebt gegen a
a ist der Grenzwert der Folge $a n$ für n gegen Unendlich.

Eine Folge die einen Grenzwert besitzt heisst konvergent. Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert. Hat die Folge keinen Grenzwert, so heisst sie divergent.

Beispiele:

Die Folge $a n = n$ ist divergent, da $\lim_{n\rightarrow\infty}n=\infty$

Die Folge $a n = ( - 1) n$ ist divergent, da sie zwei Häufungspunkte besitzt

Die Folge $a_{n}=\frac{1}{n}$ konvergiert gegen 0, da $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$

Jede konvergente Folge besitzt genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert. Besitzt eine Folge mehrere Häufungspunkte, so heisst der größte Häufungspunkt Limes Superior $\overline{lim}$ und der kleinste Häufungspunkt Limes Inferior $\underline{lim}$ .

[Bearbeiten] Rechenregeln

Konvergieren $a n$ und $b n$ , so konvergiert auch $\left(a_{n}\pm b_{n}\right)$ und es gilt $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\pm b_{n}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\pm \lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}$

Konvergieren $a n$ und $b n$ , so konvergiert auch $\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)$ und es gilt $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}$

Konvergieren $a n$ und $b n$ und gilt $\forall n:\; b_{n}\neq0,\; lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}\neq0$ so konvergiert auch $\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)$ und es gilt $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)=\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}}$