Ing Mathematik: Mengenlehre

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Inhaltsverzeichnis

1 Menge
2 Teilmenge
3 Leere Menge
4 Vereinigungsmenge
5 Schnittmenge
6 Differenzmenge
7 Geordnete Paare und Produktmenge
- 7.1 Geordnetes Tripel
- 7.2 Geordnetes n-Tupel
8 Funktionen

[Bearbeiten] Menge

Definition einer Menge nach Cantor: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.

Explizite Mengenbeschreibung: $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\ldots\}$
Implizite Mengenbeschreibung: Die Menge aller Telefonnummern in der Stadt XYZ.

Von jedem Objekt soll feststehen, ob es zur Menge gehört oder nicht (Ausschluss von Antinomien). Die Objekte einer Menge werden als Elemente bezeichnet.

Element von: $\in$
Nicht Element von: $\notin$

Beispiel: $A=\left\{2,4,6,8\right\}$

$4\in A;\; 5\notin A$

[Bearbeiten] Teilmenge

Teilmenge: Eine Menge B heißt Teilmenge einer Menge A ( $B\subseteq A$ ), wenn jedes Element von B auch Element von A ist.

Die Beziehung $\subseteq$ heißt Inklusion.

Ist die Menge B keine Teilmenge der Menge A, so schreibt man dies als $B\not\subseteq A$

Gleichheit von Mengen: $A=B\;\Leftrightarrow\; \left(A\subseteq B\right) \wedge \left(B\subseteq A\right)$

Echte Teilmenge: Eine Menge B heißt echte Teilmenge einer Menge A ( $B\subset A$ ), wenn jedes Element von B auch Element von A, sowie A nicht gleich B ist.

[Bearbeiten] Leere Menge

Enthält eine Menge kein Element, so heißt sie leere Menge ( $\varnothing$ ).

Die leere Menge ist immer Teilmenge einer anderen Menge ( $\varnothing \subseteq A$ ).

[Bearbeiten] Vereinigungsmenge

Vereinigungsmenge: Unter der Vereinigungsmenge der Menge A und B ( $A\cup B$ ) versteht man die Menge aller Elemente, die einer der beiden Mengen angehört.

Es gilt: $A\subseteq B\; \Rightarrow\; A\cup B = B$

[Bearbeiten] Schnittmenge

Schnittmenge: Die Schnitt- oder Durchschnittsmenge ( $A\cap\ B$ ) ist die Menge aller Elemente, die sowohl der Menge A, wie auch der Menge B angehören.

Wie man auch leicht visualisieren kann gelten folgende Regeln:

$A\subseteq B\; \Rightarrow \; A\cap B = A$
$A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)$
$A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C)$

Ist $A\cap B = \varnothing$ , so heißen die beiden Mengen elementfremd (disjunkt).

[Bearbeiten] Differenzmenge

Differenzmenge: Die Differenzmenge $A\setminus B$ (Menge A ohne Menge B) besteht aus der Menge von Elementen, welche zwar der Menge A angehören, aber nicht der Menge B.

Komplement: Eine andere Bezeichnung für $A\setminus B$ ist Komplement von B bezüglich A. Ist die Menge B eine Teilmenge der Menge A, so nennt man die Menge $A\setminus B = \overline{B}$ Komplement von B.

Für das Komplement gelten folgende Regeln:

$B\subseteq A, \quad \overline{\overline{B}} = B$
de Morgansche Regeln: $B,C\ \subseteq A,\quad \begin{cases}\overline{B\cup C} = \overline{B} \cap \overline{C} \\ \overline{B\cap C} = \overline{B} \cup \overline{C} \end{cases}$

[Bearbeiten] Geordnete Paare und Produktmenge

Geordnete Paare: A und B seinen beliebige nichtleere Mengen, sowie $a\in A,\; b\in B$ . $\left( a,\ b\right)$ heißt dann geordnetes Paar.

Gleichheit geordneter Paare: $\left( a,\ b\right) = \left( c,\ d\right) \Leftrightarrow a=c, \; b=d$

Produktmenge: Die Menge aller geordneten Paare der Mengen A und B $A\times B = \left\{(a,b)|\; a\in A \wedge b\in B \right\}$ heißt Produktmenge von A und B.

[Bearbeiten] Geordnetes Tripel

A, B und C seinen beliebige nichtleere Mengen, sowie $a\in A,\; b\in B,\; c\in C$ . $\left( a,b,c\right)$ nennt man geordnetes Tripel.

[Bearbeiten] Geordnetes n-Tupel

$A_1,A_2,\ldots,A_n$ seinen n beliebige nichtleere Mengen mit $a_1\in A_1, a_2\in A_2, \ldots, a_n\in A_n$ . $\left( a_1, a_2, \ldots ,a_n \right)$ heißt dann geordnetes n-Tupel.

Gleichheit geordneter n-Tupel: $(a_1, a_2, \ldots , a_n) = (b_1, b_2, \ldots , b_n) \Leftrightarrow a_i=b_i$

Produkt der Mengen $A 1$ bis $A n$: $\prod_{i=1}^n A_i = A_1\times A_2\times\ldots \times A_n = \left\{ \left( a_1,a_2,\ldots ,a_n\right)\; |\; a_i\in A_i \right\}$

Ist $A_1=A_2=\ldots = A_n$ , so kann man anstatt $\prod_{i=1}^n A_i$ auch $A^n\$ schreiben.

Beispiel: $\mathbb{R}^3$

[Bearbeiten] Funktionen

Funktion: A und B seien Mengen. Eine Funktion f ist eine Vorschrift, die jedem Element $x\in A$ dabei genau ein Element $f(x)\in B$ zugeordnet (eindeutige Abbildung).

A heißt Definitionsbereich von f, B ist der Zielbereich und W der Wertebereich von f. $x\in A$ nennt man Argument von f. $y\in B$ mit $y=\ f(x)$ bezeichnet man als "Bild von x unter f" oder "Funktionswert von f an der Stelle x".

Eine Funktion kann auch in Form eines Pfeildiagramms visualisiert werden

[Bearbeiten] Verschiedene Schreibweisen

Exakte Darstellung: $f:\ \left\{ (x,y)\ |\ y=f(x), \ x\in A,\ y\in B \right\}$
Abgekürzte Schreibweisen:
- Funktion f von A nach B: $f:\ A\rightarrow B$
- $f:\ x \mapsto f(x)$
- $x \mapsto f(x)$
- Funktionsgleichung in expliziter Form: $y =\ f(x)$
- Funktionsgleichung in impliziter Form: $F(x,y) =\ 0$
- Funktionsgleichung in Parameterform: $\begin{matrix} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{matrix}$

Zwei Funktionen f und g sind dann gleich, wenn folgender Zusammenhang gilt:

$f=g\; \Leftrightarrow \; \forall x\in A \ :\ f(x)=g(x)$

[Bearbeiten] Komposition von Funktionen

Beispiel: Die Schallgeschwindigkeit c ist bei gleichbleibendem Druck und Dichte des Mediums abhängig vom Isentropenkoeffizienten $\kappa\$ . Das bedeutet $c=\ f(\kappa )$ . Gleichzeitig ist aber $\kappa\$ abhängig von der Temperatur T, also $\kappa =\ g(T)$ .

Die Zusammensetzung (Komposition) ergibt $c= h(T) = f\left( g(T) \right)$

Man schreibt für $f\left( g(x)\right)$ auch $(f\circ g)(x)$ . Es ist auch zu beachten, dass $f\circ g \ne g\circ f$

Formal kann eine Komposition von Funktionen folgendermaßen angeschrieben werden:

$g:\ A\rightarrow B,\quad f:\ C\rightarrow D, \quad B=C$

$f\circ g:\ A\rightarrow D$ .

[Bearbeiten] Injektive Funktionen

Injektive Funktion: Eine Funktion $f:\ A\rightarrow B$ heißt injektiv (eineindeutig), wenn $f\left( x_1\right) = f\left( x_2\right)\; \Rightarrow\; x_1=x_2$

Ist eine Funktion f injektiv und $a\in W$ , so läßt sich eine Gleichung $f(x)=\ a$ prinzipiell eindeutig nach x auflösen.

Beispiel: $x^2=\ a$ ist nicht injektiv, da $a=\pm \sqrt{x}$

[Bearbeiten] Umkehrfunktionen

Umkehrfunktion: Ist $f:\ A\rightarrow W$ eine injektive Funktion, so ist $f^{-1}:\ W\rightarrow A$ die Umkehrfunktion zu f. $f^{-1}(y)=x\; \leftrightarrow\; y=f(x);\; x\in A$ .

[Bearbeiten] Surjektive Funktionen

Gilt, dass der Wertebereich W einer Funktion f gleich dem Zielbereich B ist, so nennt man die Funktion surjektiv. Eine surjektive Funktion muss nicht unbedingt injektiv sein.

[Bearbeiten] Bijektive Funktionen

Ist eine Funktion f sowohl injektiv als auch surjektiv, so nennt man sie bijektiv. Zu jeder bijektiven Funktion $f:\ A\rightarrow B$ existiert die Umkehrfunktion $f^{-1}:\ B\rightarrow A$ .