Kartenprojektionen: Cauchy-Green Tensor

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Cauchy-Green Deformationstensor Wir haben gesehen, dass eine empirische Bestimmung nicht zweckmäßig ist. Es gilt, Handwerkzeuge für Synthese und Analyse von Projektionen zu entwickeln.

Vergleich der Bogenstücke

Wir wollen das bisherige Beispiel weiter entwickeln. In der Differentialgeometrie konnten wir ausgehend von der ersten Fundamentalform Flächen charakterisieren. Die erste Fundamentalform haben wir aus einem differentiellen (d.h. kleinen) Streckenstück einer Flächenkurve ds entwickelt. Verzerrungen lassen sich aus dem Vergleich "gleicher" Bogenstücke zurückführen. Die Abbildung macht es deutlich:

Zumindest mit ein bisschen Erklärung ;-). Links, ganz klar, die Kugel. Darauf, viel zu groß gezeichnet damit wir etwas sehen können, ein infinitesimales Bogenstück dS einer Flächenkurve. Der Anfangspunkt ist (U,V), Endpunkt ist (U+dU,V+dV).

Dann wird abgebildet mit den nicht näher ausformulierten Abbildungsgleichungen.

Rechts ist die Ebene, wie bisher parametrisiert mit den Polarkoordinaten u und v. Eingezeichnet sind die etwas anschaulicheren Parameterlinien für x und y, die von u und v abhängen. Da u und v wiederum von groß U und V abhängen, können x und y auch direkt in Abhängigkeit von U und V ausgedrückt werden. So viel dazu. Darum geht es aber nicht. Entscheidend ist die Frage:

Ist dS = ds ???

oder

${\frac {ds}{dS}}=1$???

Metrik

Es würde sich jetzt natürlich anbieten, die Fundamentalformen direkt zu vergleichen oder durcheinander zu dividieren:

${\frac {ds^{2}}{dS^{2}}}={\frac {edu^{2}+2fdudv+gdv^{2}}{EdU^{2}+2FdUdV+GdV^{2}}}$

Aber wie? Schließlich ist da nichts vergleichbar. Man könnte auf die Idee kommen, E,F,G und e,f,g auszurechen (kein Problem) und dann die Abbildungsgleichungen enzusetzten (das geht auch!). Allerdings stehen dann immer noch die differentiellen gaußschen Parameter drin. Hier funktioniert die Einsetzerei nicht! Deswegen haben sich der Cauchy und der Green was ganz was feines ausgedacht, den Cauchy-Green Deformationstensor!

Cauchy-Green Deformationstensor

Da wir sie sowieso noch brauchen werden, stellen wir die Metriktensoren auf:

Ebene

${\vec {x}}_{u}={\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial u}}={\begin{pmatrix}-v\cdot \sin u\\v\cdot cosu\end{pmatrix}}$

${\vec {x}}_{v}={\begin{pmatrix}\cos u\\sinu\end{pmatrix}}$

$g_{11}={\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{u}=v^{2}\sin ^{2}u+v^{2}\cos ^{2}u=v^{2}$

$g_{12}=g_{21}=0$, da Parameterlinien senkrecht aufeinander!

$g_{22}={\vec {x}}_{v}\cdot {\vec {x}}_{v}=cos^{2}u+\sin ^{2}u=1$

$\mathbf {G_{r}} ={\begin{pmatrix}v^{2}&0\\0&1\end{pmatrix}}$

Kugel:

Berechnung als Beispiel bei erster Fundamentalform.

$\mathbf {G_{l}} ={\begin{pmatrix}R^{2}\cos ^{2}V&0\\0&R^{2}\end{pmatrix}}$

Ab jetzt verwenden wir Cauchy-Green konforme Indizees.

Definition der Bezeichnungen für Urbild und Abbild
Alle Elemente, die bezüglich des Urbilds des Abbilds parametrisiert sind, werden mit dem Index l für linksstehend r für rechtsstehend bezeichnet.

Vergleichselemente

Vergleichen lassen sich zum Beispiel die 2x2 Matrix G_l und C_l, ebenfalls 2x2 Matrix, die aus G_r hervorgeht. Wie das geschieht, sehen wir gleich. Beide Matrizen sind von den Urbildparametern U und V abhängig. Mit dieser Darstellungen können Verzerrungen in "Richtung" der Abbildung errechnet werden. Wir werden später noch sehen was das heißt.

Analog können G_r und C'_r verglichen werden. Wenn es darum gehtDiese sind von den Abbildparametern u und v abhängig. Diese Darstellung ist mit höherem Rechenaufwand verbunden. Die Abbildungsgleichungen müssen nämlich umgestellt werden, um die großen Parameter als Funktion der kleinen darstellen zu können. In der Praxis ist dies meist kein Problem oder nicht notwendig. Wir werden noch sehen warum. Wichtiger ist, dass Verzerrungen nicht in "Richtung" der Abbildung angegeben werden, sondern in der rückwärtigen Richtung, also wie stark z.B. Winkel in der Karte bei Projektion auf die Kugel verzerrt werden.

Berechnung nach Summenkonvention

Kurz und abschreckend, hier die Formel. Keine Panik, im Anschluss werden wir sie ausschreiben. Statt der Parameter u,v werden u¹ und u² verwendet. Großbuchstaben analog!

Links

Die 4-Matrixelemente von C_l berechnen sich wie folgt. Für $G_{\mu \nu }$ sind die Koeffizienten der anderen Seite, also von G_r einzusetzen.

$C_{MN}=G_{\mu \nu }{\frac {\partial u^{\mu }}{\partial U^{M}}}{\frac {\partial u^{\nu }}{\partial U^{N}}}$

Rechts

Hier werden nun die 4-Matrixelemente von C_r berechnet. Analog ist mit $G_{\mu \nu }$ G_l gemeint.

$C_{\mu \nu }=G_{MN}{\frac {\partial U^{M}}{\partial u^{\mu }}}{\frac {\partial U^{N}}{\partial u^{\nu }}}$

Wir konzentrieren uns ab jetzt auf die linke Seite.

Summenkonvention ausgeschrieben

Aus der Formel für die linke Seite entstehen:

$C_{11}=G_{\mu \nu }{\frac {\partial u^{\mu }}{\partial U^{1}}}{\frac {\partial u^{\nu }}{\partial U^{1}}}$

$=G_{11}{\frac {\partial u^{1}}{\partial U^{1}}}{\frac {\partial u^{1}}{\partial U^{1}}}+G_{12}{\frac {\partial u^{1}}{\partial U^{1}}}{\frac {\partial u^{2}}{\partial U^{1}}}+G_{21}{\frac {\partial u^{2}}{\partial U^{1}}}{\frac {\partial u^{1}}{\partial U^{1}}}+G_{22}{\frac {\partial u^{2}}{\partial U^{1}}}{\frac {\partial u^{2}}{\partial U^{1}}}$

$C_{12}=G_{\mu \nu }{\frac {\partial u^{\mu }}{\partial U^{1}}}{\frac {\partial u^{\nu }}{\partial U^{2}}}$

$=G_{11}{\frac {\partial u^{1}}{\partial U^{1}}}{\frac {\partial u^{1}}{\partial U^{2}}}+G_{12}{\frac {\partial u^{1}}{\partial U^{1}}}{\frac {\partial u^{2}}{\partial U^{2}}}+G_{21}{\frac {\partial u^{2}}{\partial U^{1}}}{\frac {\partial u^{1}}{\partial U^{2}}}+G_{22}{\frac {\partial u^{2}}{\partial U^{1}}}{\frac {\partial u^{2}}{\partial U^{2}}}$

$C_{21}=C_{12}$

$C_{22}=G_{\mu \nu }{\frac {\partial u^{\mu }}{\partial U^{2}}}{\frac {\partial u^{\nu }}{\partial U^{2}}}$

$=G_{11}{\frac {\partial u^{1}}{\partial U^{2}}}{\frac {\partial u^{1}}{\partial U^{2}}}+G_{12}{\frac {\partial u^{1}}{\partial U^{2}}}{\frac {\partial u^{2}}{\partial U^{2}}}+G_{21}{\frac {\partial u^{2}}{\partial U^{2}}}{\frac {\partial u^{1}}{\partial U^{2}}}+G_{22}{\frac {\partial u^{2}}{\partial U^{2}}}{\frac {\partial u^{2}}{\partial U^{2}}}$

Aufmerksame Augen erkennen, worum es sich handelt. Die Differentiale der ersten Fundamentalform der rechten Seite wurden mit neutralen Differentialbrüchen erweitert. Der Nenner des Bruchs verwandelt das Differential in die Ableitung der Abbildungsfunktion. Der Zähler wird zum neuen Differential.

Berechnung mit Matrizen

Nach meinem persönlichen Geschmack finde ich die Berechnung über Matrizen angenehmer. Sie ergibt genau das gleiche Ergebnis ist aber übersichtlicher.

Definition der Berechnung des Cauchy-Green Tensors aus Matrizen.
Linke Seite $\mathbf {C_{l}} =\mathbf {J_{l}} ^{T}\mathbf {G_{r}} \mathbf {J_{l}}$ Rechte Seite $\mathbf {C_{r}} =\mathbf {J_{r}} ^{T}\mathbf {G_{l}} \mathbf {J_{r}}$ Jl bzw. Jr ist die w:Jacobimatrix bezüglich der Seite.

Jacobimatrix

• Die Jacobimatrizen bestehen aus den partiellen Ableitungen der Abbildungsgleichungen.
• Da bei uns jede Fläche mit 2 Parametern parametrisiert ist, hat die Jacobimatrix immer die Größe 2x2.
• Matrizen bezüglich linker Seite lassen sich durch Inversion in rechtsbezogene Matrizen verwandeln und umgekehrt.
  $\mathbf {J} _{r}=\mathbf {J} _{l}^{-1}$
• Die linksseitige Jacobimatrix ausgeschrieben:
  $\mathbf {J} _{l}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u(U,V)}{\partial U}}&{\frac {\partial u(U,V)}{\partial V}}\\{\frac {\partial v(U,V)}{\partial U}}&{\frac {\partial v(U,V)}{\partial V}}\end{pmatrix}}$
• Die rechtsseitige Jacobimatrix ausgeschrieben:
  $\mathbf {J} _{r}={\mathbf {J} _{l}}^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial U(u,v)}{\partial u}}&{\frac {\partial U(u,v)}{\partial v}}\\{\frac {\partial V(u,v)}{\partial u}}&{\frac {\partial V(u,v)}{\partial v}}\end{pmatrix}}$

Beispiel für Cauchy Green Tensor

Hier die Fortentwicklung des bisher benutzen Projektionsbeispiels.

Jacobimatrix nach Projektionsbeispiel

Die linke Jacobimatrix ergibt sich zu:

$\mathbf {J} _{l}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-R\left(1+\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)^{2}\right)\end{pmatrix}}$

Cauchy Green Tensor

In G_r müssen die kleinen Parameter durch die rechte Seite der Abbildungsfunktionen zu ersetzen. Wie man Matrizen multipiziert usw. musste selbst wissen.

$\mathbf {C} _{l}={\begin{pmatrix}4R^{2}\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)&0\\0&R^{2}\left(1+\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)\right)^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4R^{2}\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)&0\\0&{\frac {R^{2}}{\cos ^{4}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)}}\end{pmatrix}}$

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