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Vor zu Winkel zwischen Flächenkurven

[Bearbeiten] Parametrisierung einer Flächenkurve nach der Bogenlänge / erste Fundamentalform

[Bearbeiten] Herleitung der klassischen Darstellung

Für die Parametrisierung einer Flächenkurve nach der Bogenlänge wird derselbe Ansatz gewählt wie im Kapitel Kurventheorie.

$s = \int_{t_0}^t\left\|\dot{\vec{x}}\right\|\,\mathrm{d}t$

$\dot{\vec{x}} = \frac{d\vec{x}}{dt}$ unterscheidet sich allerdings, da $\vec{x}$ in Abhängigkeit von u und v gegeben ist und deswegen auch nach u und v abgeleitet wird.

$\frac{d\vec{x}}{dt}= \frac{\partial \vec{x}}{\partial u} \frac{du(t)}{dt} + \frac{\partial \vec{x}}{\partial v} \frac{dv(t)}{dt}$

u(t) und v(t) sind die Funktionen (keine Vektoren!) mit denen die Flächenkurve auf der Fläche festgelegt wurde.

Das vollständige Differential in vereinfachter Schreibweise:

$\dot{\vec{x}} = \vec{x}_u \cdot \dot{u} + \vec{x}_v \cdot \dot{v}$

Im Integral steht der Betrag des Vektors. Das bedeutet, daß das vollständige Differential im ersten Schritt quadriert werden muß. Dadurch entsteht ein langer Ausdruck:

$(\dot{\vec{x}})^2 = (\vec{x}_u \cdot \dot{u} + \vec{x}_v \cdot \dot{v})^2 = \vec{x}_u \cdot \vec{x}_u \cdot \dot{u}^2 + 2 \cdot \vec{x}_u \cdot \vec{x}_v \cdot \dot{u} \cdot \dot{v} + \vec{x}_v \cdot \vec{x}_v \cdot \dot{v}^2$

Üblicherweise werden Abkürzungen eingeführt, die Gaußsche Fundamentalgrößen genannt werden:

$E = \vec{x}_u \cdot \vec{x}_u$

$F=\vec{x}_u \cdot \vec{x}_v$

$G=\vec{x}_v \cdot \vec{x}_v$

Das Integral sieht jetzt so aus:

$s = \int_{t_0}^t\sqrt{E \dot{u}^2+2F \dot{u} \dot{v}+G\dot{v}^2}\,\mathrm{d}t$

Durch Ableiten und anschließendes Quadrieren ergibt sich

$\left(\frac{ds}{\mathrm{d}t}\right)^2 = E \dot{u}^2+2F \dot{u} \dot{v}+G\dot{v}^2$

Multiplizieren mit $d t 2$ (steckt in $\dot{u}$ und $\dot{v}$ drin!) ergibt die metrische oder erste Fundamentalform:

Definition der ersten Fundamentalform
$d s 2 = E d u 2 + 2 F d u d v + G d v 2$ $E = \vec{x}_u \cdot \vec{x}_u$ $F=\vec{x}_u \cdot \vec{x}_v$ $G=\vec{x}_v \cdot \vec{x}_v$

[Bearbeiten] Neue Darstellung

Definition der ersten Fundamentalform in neuer Schreibweise

$I = d s 2 = g αβ d(u α)d(u β)$

$α = 1,2$

$β = 1,2$

Beim Einsetzen der Indizes werden alle möglichen Kombinationen aufaddiert. Dadurch entsteht die klassische Form.

Die römische I steht für die 'erste' Fundamentalform
Die indizierten gs werden als Gaußsche Fundamentalgrößen bezeichnet.
Die Gaußschen Flächenparameter u und v werden durch $(u α)$ und $(u β)$ ersetzt.

(D.h. für $α = 2$ oder $β = 2$ : $u α = u β = (u 2)$ bedeutet u mit Index 2 und nicht $u \cdot u$ )

[Bearbeiten] erster Fundamentaltensor

Die neue Darstellung mit den Indizes kommt vom ersten Fundamentaltensor. Der Tensor ist eine Metrik.

$\mathbf{G} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix}$

[Bearbeiten] Bogenlängen der Parameterlinien

Die Bogenlängen der Parameterlinien (u=const bzw. v=const) lassen sich einfach mit Hilfe der Fundamentalformen berechnen:

für v=const:

$s = \int\sqrt{E}\,\mathrm{d}u$

für u=const:

$s = \int\sqrt{G}\,\mathrm{d}v$

[Bearbeiten] Beispiel für Kugel

Für die zu Beginn des Kapitels Flächentheorie gegebene Parametrisierung der Kugel wird die erste Fundamentalform berechnet:

$\vec{x}_u=-R \cdot \sin{u}\cdot \cos{v} \cdot \vec{e_x}+R \cdot \cos{u} \cdot \cos{v} \cdot \vec{e_y}$

$\vec{x}_v=-R \cdot \cos{u}\cdot \sin{v} \cdot \vec{e_x}-R \cdot \sin{u} \cdot \sin{v} \cdot \vec{e_y}+R \cdot \cos{v} \cdot \vec{e_z}$

Fundamentalgrößen

E = R 2 cos 2 v

F = 0

G = R 2

erste Fundamentalform

d s 2 = R 2 (cos v 2 d u 2 + d v 2)

[Bearbeiten] Erkenntnisse

[Bearbeiten] Parameterlinien senkrecht

Aus der ersten Fundamentalform lässt sich für die Parameterlinien eine Erkenntnis ableiten. Da F, das aus einem Skalarprodukt entsteht, Null ist, stehen alle u-Parameterlinien senkrecht zu den v-Parameterlinien.

[Bearbeiten] Radius der Parameterlinien

Aus den Wurzeln von E und G lassen sich, da F Null ist, weitere Erkenntnisse ableiten.

u-Parameterlinien

Alle u-Parameterlinien sind Kreise mit dem Radius $\sqrt{G}=R$ . Sie entsprechen den Meridianen mit fester Länge (u-Parameter) und variabler Breite (v-Parameter).