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[Bearbeiten] Schnittwinkel beliebiger Flächenkurven

Wie wir den Schnittwinkel beliebiger Flächenkurven berechnen, kannst du dir wahrscheinlich schon denken; als Skalarprodukt der Tangenten im Schnittpunkt. Richtig!

$cos{\phi} = \frac{\dot{\vec{x}}_1 \cdot \dot{\vec{x}}_2}{\left\|\dot{\vec{x}}_1\right\| \left\|\dot{\vec{x}}_2\right\|}$

Das lässt sich auch mithilfe der Fundamentalgrößen E, F, G ausdrücken. Hierbei sind die $\vec{x}_i$ jeweils durch $u i (t)$ und $v i (t)$ parametrisiert:

$cos{\phi} = \frac{E \dot{u}_1 \dot{u}_2 + F(\dot{u}_1 \dot{v}_2 + \dot{v}_1 \dot{u}_2) + G \dot{v}_1 \dot{v}_2 }{\sqrt{(E \dot{u}_1^2 +2F\dot{u}_1 \dot{v}_1 +G \dot{v}_1^2)(E \dot{u}_2^2 +2F\dot{u}_2 \dot{v}_2 +G \dot{v}_2^2) }}$

$\dot{u}$ bzw. $\dot{v}$ sind die Ableitungen der Funktionen u(t) und v(t) nach t.

[Bearbeiten] Schnittwinkel von Parameterlinien

Die Schnittwinkel von Parameterlinien lassen sich direkt aus den Fundamentalgrößen berechnen:

$cos{\phi} = \frac{F}{\sqrt{EG}}$

Wenn $F \equiv 0$ , d.h. konstant 0 ist, schneiden sich die Parameterlinien in einem rechten Winkel. Man spricht dann von einer orthogonalen Parametrisierung.

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Diffgeo: Flächentheorie: Winkel zwischen Flächenkurven

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