MathGymOS/ LGS/ Das Determinanten-Verfahren

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem

$\begin{array}{ccccccccc} (1) & a_{11}\cdot x_1 & + & a_{12}\cdot x_2 & + & a_{13}\cdot x_3 & = & b_1\\ (2) & a_{21}\cdot x_1 & + & a_{22}\cdot x_2 & + & a_{23}\cdot x_3 & = & b_2\\ (3) & a_{31}\cdot x_1 & + & a_{32}\cdot x_2 & + & a_{33}\cdot x_3 & = & b_3 \end{array}$

Die Koeffizientenmatrix ist:$A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)$

Die Matrix $A_i\; (i=1,\ldots,3)$ entsteht, indem $\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3\\\end{pmatrix}$ anstelle der i-ten Spalte von A geschrieben wird.

Beispiel: $A_2=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{array}\right)$

Die Cramerschen Regeln

Das obige lineare Gleichungssystem besitzt:

• genau eine eindeutige Lösung, wenn $\left.\det(A)\ne 0\right.$.
  Dann gilt: $x_1=\frac{\det(A_1)}{\det(A)}$, $x_2=\frac{\det(A_2)}{\det(A)}$ und $x_3=\frac{\det(A_3)}{\det(A)}$.

• keine Lösung, wenn $\left.\det(A)= 0\right.$ und für mindestens eine der Matrizen $A_i \; (i=1,\ldots,3)$ gilt $\left.\det(A_i)\ne 0\right.$.

• wenn dagegen $\left.\det(A)= 0\right.$ und auch für jede der Matrizen $A_i\; (i=1,\ldots,3)$ gilt $\left.\det(A_i)=0\right.$, dann gibt es entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

 

(Determinante siehe hier)

Beispiele

• Beispiel 1 (eindeutige Lösung)

$\begin{array}{ccccccccc} (1) & 1\cdot x_1 & + & 2\cdot x_2 & + & 2\cdot x_3 & = & -2\\ (2) & 2\cdot x_1 & + & 3\cdot x_2 & + & 1\cdot x_3 & = & 1\\ (3) & 3\cdot x_1 & + & 4\cdot x_2 & + & 1\cdot x_3 & = & 3 \end{array}$

$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{array}\right),\; A_1=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{array}\right),\; A_2=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \end{array}\right),\; A_3=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \end{array}\right)$

$\left.\det A=-1\ne 0\right.$, demnach ist das LGS eindeutig lösbar.

$\left.\det A_1=-4,\; \det A_2=2,\; \det A_3=1\right.$

$\Rightarrow x_1=\frac{-4}{-1}=4,\; x_2=\frac{2}{-1}=-2,\; x_3=\frac{1}{-1}=-1$

Die Lösungsmenge des LGS ist demnach:

$\mathfrak{L}=\left\{(\,4\,|\,-2\,|\,-1\,)\right\}$

• Beispiel 2 (keine Lösung)

$\begin{array}{ccccccccc} (1) & 1\cdot x_1 & + & 2\cdot x_2 & + & 2\cdot x_3 & = & -2\\ (2) & 2\cdot x_1 & + & 3\cdot x_2 & + & 1\cdot x_3 & = & 1\\ (3) & 3\cdot x_1 & + & 5\cdot x_2 & + & 3\cdot x_3 & = & 1 \end{array}$

$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{array}\right),\; A_1=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{array}\right),\; A_2=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{array}\right),\; A_3=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{array}\right)$

$\left.\det A=0\right.$, demnach ist das LGS nicht eindeutig lösbar.

$\left.\det A_1=-8\ne 0,\; \det A_2=6\ne 0,\; \det A_3=-2\ne 0\right.$, demnach besitzt das LGS keine Lösungen.

Die Lösungsmenge des LGS ist also:

$\mathfrak{L}=\emptyset$

• Beispiel 3 (unendlich viele Lösungen)

$\begin{array}{ccccccccc} (1) & 1\cdot x_1 & + & 2\cdot x_2 & + & 2\cdot x_3 & = & -2\\ (2) & 2\cdot x_1 & + & 3\cdot x_2 & + & 1\cdot x_3 & = & 1\\ (3) & 3\cdot x_1 & + & 5\cdot x_2 & + & 3\cdot x_3 & = & -1 \end{array}$

$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{array}\right),\; A_1=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 5 & 3 \end{array}\right),\; A_2=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 3 \end{array}\right),\; A_3=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & -1 \end{array}\right)$

$\left.\det A=0\right.$, demnach ist das LGS nicht eindeutig lösbar.

$\det A_1=0,\; \det A_2=0,\; \det A_3=0$

Dieses LGS besitzt unendlich viele Lösungen, nämlich :$\mathfrak{L}=\left\{(\,4t-2\,|\,-3t+5\,|\,t\,)| \; t\in\mathbb{R}\right\}$.

• Beispiel 4 (keine Lösungen)

$\begin{array}{ccccccccc} (1) & 1\cdot x_1 & + & 1\cdot x_2 & + & 1\cdot x_3 & = & 3\\ (2) & 2\cdot x_1 & + & 2\cdot x_2 & + & 2\cdot x_3 & = & 4\\ (3) & 3\cdot x_1 & + & 3\cdot x_2 & + & 3\cdot x_3 & = & 9 \end{array}$

$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{array}\right),\; A_1=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 2 \\ 9 & 3 & 3 \end{array}\right),\; A_2=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 9 & 3 \end{array}\right),\; A_3=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 9 \end{array}\right)$

$\left.\det A=0\right.$, demnach ist das LGS nicht eindeutig lösbar.

$\det A_1=0,\; \det A_2=0,\; \det A_3=0$

Dieses LGS besitzt keine Lösung.

 

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