Mathe für Nicht-Freaks: Folge

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Die Folge ist einer der wichtigsten Begriffe in der Analysis. Anhand von Folgen werden wir nämlich später den Begriff des Grenzwerts definieren. Mit diesen Begriff wiederum können wir alle wichtigen Konzepte der Analysis wie die Ableitung und die Stetigkeit einführen.

Definition[Bearbeiten]

Der Begriff der Folge im Alltag[Bearbeiten]

Den Begriff der „Folge“ ist uns bereits aus dem alltäglichen Leben bekannt:

Frage: Welche Beispiele für eine Folge kennst du?

Im Alltag gibt es einige Beispiele von Folgen, welche oftmals als „Abfolge“ oder „Reihenfolge“ bezeichnet werden. Denk an die Reihenfolge der Sachen, die du nach den Aufstehen machst oder die notwendige Abfolge von Arbeitsschritten zum Aufbau eines Regals. Ein weiteres Beispiel ist eine Folge von Messwerte, die beispielsweise in einem Experiment gefunden wurde.

Denk auch an die vielen Folgen, deren Elemente periodisch wiederkehrend bestimmt werden. Ein Beispiel ist die Folge der Nationen, die die Fußballweltmeisterschaft gewonnen haben (sowohl bei den Männern als auch bei den Frauen). Ein anderes Beispiel ist dein monatlicher Kontostand.

Allen Beispielen ist gemeinsam, dass die Reihenfolge der Elemente einer Folge genau festgelegt ist. Es gibt eine genau definierte Anordnung der Folgenglieder, die beachtet werden muss. Wenn du dir beispielsweise die Folge der Dinge anschaust, die du nach dem Aufstehen machst, dann machst du zuerst den Kaffee, bevor du diesen trinkst (die umgekehrte Reihenfolge wäre suboptimal :)).

Außerdem können in einer Folge Objekte öfters als Folgenglieder auftreten. In der Folge der Fußballweltmeister kommen einige Nationen mehr als einmal vor, weil sie die Fußballweltmeisterschaft mehr als einmal gewonnen haben. Dies unterscheidet eine Folge insbesondere von einer Menge. Für eine Menge kann nämlich nicht sinnvoll gefragt werden, wie oft ein Element in ihr vorkommt. Man kann nur fragen, ob ein Objekt Element einer Menge ist oder nicht.

Des weiteren kannst du die einzelnen Folgenglieder einer Folge durchnummerieren. Du kannst also sagen, wer der erste Präsident der USA, der zweite und so weiter war. Jedem Element einer Folge kann also eine Zahl zugeordnet werden, die angibt, wann dieses Objekt in der Folge vorkommt.

Viele der im Alltag bekannten Folgen sind endlich, es sind aber auch unendliche Folgen vorstellbar. Stell dir beispielsweise vor, man würde bis in alle Ewigkeit eine Fußballweltmeisterschaft austragen. Dann wäre die Folge der Fußballweltmeister auch unendlich lang.

Definition der Folge in der Analysis[Bearbeiten]

Kommen wir nun zu dem Begriff der Folge in der Analysis. Der große Unterschied zwischen dem Folgenbegriff in der Analysis und im Alltag ist der, dass in der Analysis eine Folge immer unendlich lang ist. In anderen Bereichen der Mathematik werden zwar auch endliche Folgen betrachtet (die dann meist „Tupel“ genannt werden), in diesem Kapitel meine ich aber mit einer Folge stets eine „unendliche Folge“. Dies ergibt folgende (intuitive) Definition einer Folge:

Definition (intuitive Definition einer Folge):

Eine Folge (a_n)_{n\in\N} ist eine unendliche Abfolge von Objekten:

(a_n)_{n\in\N} = (a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots )

Obige Definition ist intuitiv, weil wir vorher nicht mathematisch exakt definiert haben, was eine „unendliche Abfolge“ ist. Ich gehe also davon aus, dass sich jeder Leser darunter dasselbe vorstellt, wie ich es gerade tue. Wir werden aber später eine exakte Definition einer „Folge“ kennen lernen.

Beispiel (Folge):

Die Folge (u_n)_{n\in\N} der ungeraden Zahlen ist:

(u_n)_{n\in\N} = (1,\,3,\,5,\,7,\ldots)

Die Folge (q_n)_{n\in\N} der Quadratzahlen ist:

(q_n)_{n\in\N} = (1,\,4,\,9,\,16,\ldots)

Verständnisaufgabe: Schreibe diese Folgen in der gerade kennen gelernten Folgeschreibweise:
  1. Folge aller Potenzen von 2.
  2. Folge der natürlichen Zahlen.

Lösungen:

  1. (a_n)_{n\in\N} = ( 1,\, 2,\, 4,\, 8,\, 16, \ldots)
  2. (b_n)_{n\in\N} = (1,\,2,\,3,\,4,\,5, \ldots)

Wichtige Begriffe[Bearbeiten]

Die einzelnen Elemente a_n einer Folge werden Folgenglieder genannt. Die zu den einzelnen Folgenglieder zugeordneten natürlichen Zahlen nennt man Index. Meint man die gesamte Folge, schreibt man \left(a_n \right)_{n \in \N} oder kurz (a_n). In der Analysis 1 betrachten wir vor allem Folgen mit reellen Zahlen als Folgenglieder. Diese speziellen Folgen nennt man reelle Folge. Analog werden Folgen komplexer Zahlen komplexe Folge genannt.

In folgender Übersicht und in folgender Tabelle findest du alle wesentlichen Begriffe, die beim Reden über Folgen wichtig sind:

(a_n)_{n\in \N} = \overbrace{
 (a_1                                                       ,\,
 {\color{OliveGreen} \underbrace{a_2}_{\text{Folgenglied}}} ,\,
 a_3                                                        ,\,
 a_{\color{Blue} \underbrace{{}_4}_{\text{Index}}}          ,\,
 \ldots)
}^{\text{Folge}}

Begriff Schreibweise Definition
Folge (a_n)_{n\in\N} oder kurz (a_n) Eine Folge ist eine unendliche Abfolge von Objekten.
Folgenglied a_n Ein Folgenglied ist ein konkretes Element einer Folge.
Index n Der Index ist eine konkrete natürliche Zahl, dem ein Folgenglied zugeordnet ist.

Warnung:

Einige Studenten stellen sich unter einer reellen Folge eine kontinuierliche Funktion vor (insbesondere, wenn sie diese zeichnen wollen). Dies ist jedoch falsch, da eine reelle Folge aus diskreten Werten besteht (sie besitzt nur für natürliche Zahlen einen zugeordneten Wert). Dies demonstriert die folgende Gegenüberstellung der harmonischen Folge (a_n)_{n\in\N}=\left(\tfrac{1}{n}\right)_{n\in\N} mit der Funktion f : \R^{+} \rightarrow \R^{+} mit f(x) = \tfrac{1}{x}. Beachte, dass es bei der harmonischen Folge im Gegensatz zur Funktion f(x)=\tfrac{1}{x} nur diskrete Werte im Graphen gibt:

Definition einer Folge als Funktion[Bearbeiten]

Oben haben wir die Folge intuitiv als unendliche Abfolge von Objekten definiert. Mit Hilfe des Funktionenbegriffs kann diese Definition konkretisiert werden und vor allem mathematisch exakt formuliert werden. Hierzu nimmst du die Menge der natürlichen Zahlen und ordnest jeder natürlichen Zahl n ein beliebiges Objekt a_n zu (wobei diese Objekte aus einer Menge stammen, von der du eine Folge bilden möchtest). Damit erhältst du eine unendliche und durchnummerierte Abfolge beliebiger Objekte, wie folgende Skizze verdeutlicht:

\begin{array}{ccccl}
1          & 2          & 3          & 4          & \ldots \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow &        \\
a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & \ldots
\end{array}

Eine solche Zuordnung ist nichts anderes als eine Funktion \N \rightarrow M, also eine Abbildung von natürlichen Zahlen in eine Menge M, die alle möglichen Folgenglieder enthält. So haben wir bei der Folge der deutschen Bundeskanzler die Zuordnung:

\begin{array}{cccccl}
1 &  2 & 3  & 4 & 5  & \ldots \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
\text{Adenauer} & \text{Erhard} & \text{Kiesinger} & \text{Brandt} & \text{Schmidt} & \ldots \\
\end{array}

Die „unendliche Abfolge“ von Folgenglieder können wir somit als eine Funktion auffassen:

Definition (Folge):

Eine Folge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen in eine Menge M, also eine Abbildung \N\rightarrow M. Sie ordnet jeder natürlichen Zahl n ein Objekt a_n \in M zu. Dabei schreiben wir a_n anstelle von a(n).

Obige Definition hat den Vorteil, dass sie nur Begriffe enthält, die wir bereits in früheren Kapitel definiert haben. Insofern erfüllt obige Definition alle Anforderungen an einer mathematisch exakten Definition. Dies ist auch der Grund, warum du in den meisten Lehrbüchern obige Definition einer Folge finden wirst.

Arten von Folgen[Bearbeiten]

Eine Intervallschachtelung ist eine Folge von Mengen.
Eine Folge von quadratischen Funktionen.

Folgen können beliebige Objekte als Folgenglieder besitzen. So sind reelle Folgen Folgen von reellen Zahlen. Dies ist auch der Typ der meisten Folgen, die uns in der Analysis begegnen werden. Es ist aber auch möglich, Folgen von komplexen Zahlen zu haben, welche komplexe Folgen genannt werden. Aber auch Folgen von Mengen oder Folgen von Funktionen sind möglich.

In den letzten Kapiteln hast du bereits Intervallschachtelungen kennen gelernt. Da Intervalle Mengen sind, sind Intervallschachtelungen Beispiele für Folgen von Mengen. Die folgende Tabelle listet einige Beispiele für Folgen auf:

Art der Folge Explizites Bildungsgesetz Die ersten Folgenglieder
reelle Folge a_n = n^2 1,\,4,\,9,\,16,\ldots
komplexe Folge c_n = i^n 1,\,i,\,-1,\,-i,\,1,\,i,\,\ldots
Folge von Mengen M_n = \{k\in\N\,|\,k\le n\} \{1\},\,\{1,\,2\},\,\{1,\,2,\,3\},\,\{1,\,2,\,3,\,4\},\,\ldots
Folge von Mengen M_n = \left( -\tfrac{1}{n},\, \tfrac{1}{n}\right) \left(-1,\, 1\right),\,\left( -\tfrac{1}{2},\, \tfrac{1}{2}\right),\,\left( -\tfrac{1}{3},\, \tfrac{1}{3}\right),\,\left( -\tfrac{1}{4},\, \tfrac{1}{4}\right),\,\ldots
Folge von Funktionen f_n : \R \rightarrow \R : x \mapsto \tfrac{x^2}{n} f_1(x) = x^2,\, f_2(x) = \tfrac{x^2}{2},\, f_3(x) = \tfrac{x^2}{3},\, f_4(x) = \tfrac{x^2}{4},\ldots

Das explizite Bildungsgesetz ist dabei diejenige Formel, mit der du ein Folgenglied in Abhängigkeit vom Index ausdrücken kannst. Im nächsten Kapitel werde ich genauer auf Bildungsgesetze für Folgen eingehen.

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