Mathe für Nicht-Freaks: Folge

Aus Wikibooks
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Folge ist einer der wichtigsten Begriffe in der Analysis. Anhand von Folgen werden wir nämlich später den Begriff des Grenzwerts definieren. Mit Hilfe des Grenzwerts können wir dann alle wichtigen Konzepte der Analysis wie Ableitung und Stetigkeit einführen.

Definition[Bearbeiten]

Der Begriff der Folge im Alltag[Bearbeiten]

Den Begriff der „Folge“ ist uns bereits aus dem alltäglichen Leben bekannt:

Frage: Welche Beispiele für eine Folge kennst du?

Im Alltag gibt es einige Beispiele von Folgen, welche oftmals als „Abfolge“ oder „Reihenfolge“ bezeichnet werden. Denk an die Reihenfolge der Sachen, die du nach den Aufstehen machst oder die notwendige Abfolge von Arbeitsschritten zum Aufbau eines Regals. Ein weiteres Beispiel ist eine Folge von Messwerte, die beispielsweise in einem Experiment gefunden wurde.

Denk auch an die vielen Folgen, deren Elemente periodisch wiederkehrend bestimmt werden. Ein Beispiel ist die Folge der Nationen, die die Fußballweltmeisterschaft gewonnen haben (sowohl bei den Männern als auch bei den Frauen). Ein anderes Beispiel ist dein monatlicher Kontostand.

Allen Beispielen ist gemeinsam, dass die Reihenfolge der Elemente einer Folge genau festgelegt ist. Es gibt eine genau definierte Anordnung der Folgenglieder, die beachtet werden muss. Wenn du dir beispielsweise die Folge der Dinge anschaust, die du nach dem Aufstehen machst, dann machst du zuerst den Kaffee, bevor du diesen trinkst (die umgekehrte Reihenfolge wäre suboptimal :)).

Außerdem können in einer Folge Objekte öfters als Folgenglieder auftreten. In der Folge der Fußballweltmeister kommen einige Nationen mehr als einmal vor, weil sie die Fußballweltmeisterschaft mehr als einmal gewonnen haben. Dies unterscheidet eine Folge insbesondere von einer Menge. Für eine Menge kann nämlich nicht sinnvoll gefragt werden, wie oft ein Element in ihr vorkommt oder nicht. Man kann nur fragen, ob ein Objekt Element einer Menge ist oder nicht.

Des weiteren kannst du die einzelnen Folgenglieder einer Folge durchnummerieren. Du kannst also sagen, wer der erste Präsident der USA, der zweite und so weiter war. Jedem Element einer Folge kann also eine Zahl zugeordnet werden, die angibt, wann dieses Objekt in der Folge vorkommt.

Viele der im Alltag bekannten Folgen sind endlich, es sind aber auch unendliche Folgen vorstellbar. Stell dir beispielsweise vor, man würde bis in alle Ewigkeit eine Fußballweltmeisterschaft austragen. Dann wäre die Folge der Fußballweltmeister auch unendlich lang.

Definition der Folge in der Analysis[Bearbeiten]

Kommen wir nun zu dem Begriff der Folge in der Analysis. Der große Unterschied zwischen dem Folgenbegriff in der Analysis und im Alltag ist der, dass in der Analysis eine Folge immer unendlich lang ist. In anderen Bereichen der Mathematik werden zwar auch endliche Folgen betrachtet (die dann meist „Tupel“ genannt werden), in diesem Kapitel meine ich aber mit einer Folge stets eine „unendliche Folge“. Dies ergibt folgende (intuitive) Definition einer Folge:

Definition (intuitive Definition einer Folge):

Eine Folge (a_n)_{n\in\N} ist eine unendliche Abfolge von Objekten:

(a_n)_{n\in\N} = (a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots )

Obige Definition ist intuitiv, weil wir vorher nicht mathematisch exakt definiert haben, was eine „unendliche Abfolge“ ist. Das Verständnis von diesem Begriff ist also intuitiv (ich gehe davon aus, dass sich jeder Leser darunter dasselbe vorstellt, wie ich es gerade tue). Wir werden aber später eine exakte Definition einer „Folge“ kennen lernen.

Beispiel (Folge):

Die Folge (u_n)_{n\in\N} der ungeraden Zahlen ist:

(u_n)_{n\in\N} = (1,\,3,\,5,\,7,\ldots)

Die Folge (q_n)_{n\in\N} der Quadratzahlen ist:

(q_n)_{n\in\N} = (1,\,4,\,9,\,16,\ldots)

Verständnisaufgabe: Schreibe diese Folgen in der gerade kennen gelernten Folgeschreibweise:
  1. Folge aller Potenzen von 2.
  2. Folge der natürlichen Zahlen.

Lösungen:

  1. (a_n)_{n\in\N} = ( 1,\, 2,\, 4,\, 8,\, 16, \ldots)
  2. (b_n)_{n\in\N} = (1,\,2,\,3,\,4,\,5, \ldots)

Wichtige Begriffe[Bearbeiten]

Dabei werden die einzelnen Elemente a_n einer Folge Folgenglieder genannt. Die zu den einzelnen Folgenglieder zugeordneten natürlichen Zahlen nennt man Index. Meint man die gesamte Folge, schreibt man \left(a_n \right)_{n \in \N} oder kurz (a_n). In der Analysis 1 betrachten wir vor allem Folgen mit reellen Zahlen als Folgenglieder. Diese speziellen Folgen nennt man reelle Folge. Analog werden Folgen komplexer Zahlen komplexe Folge genannt.

In folgender Übersicht und in folgender Tabelle findest du alle wesentlichen Begriffe, die beim Reden über Folgen wichtig sind:

(a_n)_{n\in \N} = \overbrace{
 (a_1                                                       ,\,
 {\color{OliveGreen} \underbrace{a_2}_{\text{Folgenglied}}} ,\,
 a_3                                                        ,\,
 a_{\color{Blue} \underbrace{{}_4}_{\text{Index}}}          ,\,
 \ldots)
}^{\text{Folge}}

Begriff Schreibweise Definition
Folge (a_n)_{n\in\N} oder kurz (a_n) Eine Folge ist eine unendliche Abfolge von Objekten.
Folgenglied a_n Ein Folgenglied ist ein konkretes Element einer Folge.
Index n Der Index ist eine konkrete natürliche Zahl, dem ein Folgenglied zugeordnet ist.

Warnung:

Einige Studenten stellen sich unter einer reellen Folge eine kontinuierliche Funktion vor (insbesondere, wenn sie diese zeichnen wollen). Dies ist jedoch falsch, da eine reelle Folge aus diskreten Werten besteht (sie besitzt nur für natürliche Zahlen einen zugeordneten Wert). Dies demonstriert die folgende Gegenüberstellung der harmonischen Folge (a_n)_{n\in\N}=\left(\tfrac{1}{n}\right)_{n\in\N} mit der Funktion f : \R^{+} \rightarrow \R^{+} mit f(x) = \tfrac{1}{x}. Beachte, dass es bei der harmonischen Folge im Gegensatz zur Funktion f(x)=\tfrac{1}{x} nur diskrete Werte im Graphen gibt:

Die harmonische Folge hat nur diskrete Werte
Zum Vergleich: Die Funktion f(x) = \tfrac 1x

Definition einer Folge als Funktion[Bearbeiten]

Oben haben wir die Folge intuitiv als unendliche Abfolge von Objekten definiert. Mit Hilfe des Funktionenbegriffs kann diese Definition konkretisiert werden und vor allem mathematisch exakt formuliert werden. Hierzu nimmst du die Menge der natürlichen Zahlen und ordnest jeder natürlichen Zahl n ein beliebiges Objekt a_n zu (wobei diese Objekte aus einer Menge stammen, von der du eine Folge bilden möchtest). Damit erhältst du eine unendliche und durchnummerierte Abfolge beliebiger Objekte, wie folgende Skizze verdeutlicht:

\begin{array}{ccccl}
1          & 2          & 3          & 4          & \ldots \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow &        \\
a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & \ldots
\end{array}

Eine solche Zuordnung ist nichts anderes als eine Funktion \N \rightarrow M, also einer Abbildung von natürlichen Zahlen in eine Menge M, die alle möglichen Folgenglieder enthält. So haben wir bei der Folge der deutschen Bundeskanzler die Zuordnung:

\begin{array}{cccccl}
1 &  2 & 3  & 4 & 5  & \ldots \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
\text{Adenauer} & \text{Erhard} & \text{Kiesinger} & \text{Brandt} & \text{Schmidt} & \ldots \\
\end{array}

Die „unendliche Abfolge“ von Folgenglieder können wir also als eine Funktion auffassen:

Definition (Folge):

Eine Folge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen in eine Menge M, also eine Abbildung \N\rightarrow M. Sie ordnet also jeder natürlichen Zahl n ein Objekt a_n \in M zu. Dabei schreiben wir a_n anstelle von a(n).

Obige Definition hat den Vorteil, dass sie nur Begriffe enthält, die wir bereits in früheren Kapitel definiert haben. Insofern erfüllt obige Definition alle Anforderungen an einer mathematisch exakten Definition. Dies ist auch der Grund, warum du in den meisten Lehrbüchern obige Definition einer Folge finden wirst.

Bildungsgesetze für Folgen[Bearbeiten]

Zur Definition einer Folge musst du irgendwie die Zuordnungsvorschrift angeben, wie du den einzelnen Indizes die Folgenglieder zuordnest. Diese Zuordnungsvorschrift wird Bildungsgesetz der Folge (manchmal auch Bildungsvorschrift) genannt.

Da eine Folge in der Analysis stets unendlich viele Glieder besitzt, kannst du die Zuordnungsvorschrift nicht durch Aufzählung der gesamten Folgenglieder definieren. Es gibt aber zwei andere Möglichkeiten: explizite und rekursive Bildungsgesetze.

Explizite Bildungsgesetze[Bearbeiten]

Bei einer expliziten Bildungsvorschrift wird eine Funktion abhängig vom Index der Folge angegeben, mit der man die einzelnen Folgenglieder ausrechnen kann. Ein solches Bildungsgesetz wird meist folgendermaßen geschrieben:

a_n = \text{ irgendein Term mit } n

Ein Beispiel ist die Vorschrift a_n = n^2 für die Folge aller Quadratzahlen oder b_n = 3 \cdot n für die Folge aller Vielfachen von 3. Es ist beispielsweise für a_n = n^2:

\begin{align}
(a_n)_{n\in\N} & = \left(n^2\right)_{n\in\N} \\[1em]
& = (1^2,\, {\color{OliveGreen}2^2},\, {\color{RedOrange}3^2},\, {\color{Fuchsia}4^2}, \ldots ) \\[1em]
& = (1,\, {\color{OliveGreen}4},\, {\color{RedOrange}9},\, {\color{Fuchsia}16}, \ldots )
\end{align}

Eine explizite Bildungsvorschrift der Folge zeichnet sich dadurch aus, dass die einzelnen Folgenglieder berechnet werden können, ohne andere Folgenglieder kennen zu müssen. Wenn man also ein bestimmtes Folgenglied berechnen möchte, so muss man nur den gewünschten Index in die Formel der expliziten Bildungsvorschrift einsetzen und den Wert dieser Formel berechnen.

Verständnisfrage: Wie lautet die expliziten Bildungsgesetze der folgenden Folgen?
  1. Folge der Kubikzahlen
  2. Folge der ungeraden Zahlen
  3. Folge der Potenzen von 2

Lösung:

  1. a_n = n^3
  2. b_n = 2n-1
  3. c_n = 2^n

Rekursive Bildungsgesetze[Bearbeiten]

Die rekursive Bildungsvorschrift zeichnet sich dadurch aus, dass man zur Berechnung einzelner Folgenglieder die Vorgänger dieser Folgenglieder kennen muss. Dies erkennst du meist daran, dass in der Funktion zur Berechnung eines Folgenglieds die vorhergehenden Folgenglieder auftauchen. Da man zur Berechnung einzelner Folgenglieder bereits einige Vorgänger kennen muss, müssen bei rekursiver Definitionen einer Folge die ersten Folgenglieder explizit benannt werden (soviel wie man als Vorgänger zur Berechnung eines Folgenglieds benötigt). Ein Beispiel für ein rekursives Bildungsgesetz ist:

\begin{align}
a_1 & = -6 \\
a_{n+1} & = a_n + 2
\end{align}

Die erste Formel a_1=-6 definiert das erste Folgenglied explizit und wird \Rekursionsanfang genannt. Durch die zweite Formel, welche man Rekursionsschritt nennt, kann ein neues Folgenglied berechnet werden, wenn man dessen Vorgänger kennt. Zunächst gibt man also über den Rekursionsanfang das erste Folgenglied vor und berechnet dann durch wiederholte Anwendung des Rekursionsschritts weitere Folgenglieder. Es ist:

\begin{align}
a_1 & = {\color{Blue}-6} \\
a_2 & = a_{1+1} = a_1 + 2  = {\color{Blue}-6} + 2 = {\color{OliveGreen}-4} \\
a_3 & = a_{2+1} = a_2 + 2  = {\color{OliveGreen}-4} + 2 = {\color{RedOrange}-2} \\
a_4 & = a_{3+1} = a_3 + 2  = {\color{RedOrange}-2} + 2 = 0 \\
& \vdots
\end{align}

Rekursive Bildungsgesetze für Folgen sind meist einfacher zu finden als explizite Bildungsvorschriften. Bei expliziten Bildungsvorschriften sind aber die Eigenschaften einer Folge meist einfacher aus dem Bildungsgesetz ablesbar als bei rekursiv definierten Folgen. Auch ist bei expliziten Bildungsvorschriften die Berechnung der Folgenglieder einfacher. Stell dir zum Beispiel vor, du möchtest dass 1.000.000-te Folgenglied berechnen. Bei einem expliziten Bildungsgesetz kannst du 1.000.000 direkt in die gegebene Formel einsetzen. Bei einer rekursiven Bildungsvorschrift musst erst einmal alle 999.999 Vorgänger ausrechnen - eine Höllenarbeit, auch für einen Computer…

Weitere Anmerkungen[Bearbeiten]

Wenn das Bildungsgesetz besonders einfach ist, schreibt man manchmal nur die ersten Folgenglieder einer Folge auf und überlässt dem Leser die Aufgabe, die Bildungsvorschrift zu finden. Ein Beispiel ist:

(a_n)_{n\in\N} = (1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,\ldots)

Diese Definition einer Folge hat aber den Nachteil, dass sie nicht eindeutig ist. Es ist nicht eindeutig festgelegt, wie eine solche Folge fortgesetzt werden muss. Man geht vielmehr davon aus, dass jeder Leser die Folge auf dieselbe Art und Weise fortsetzt. Somit ist die obige Art, eine Folge anzugeben, keine mathematisch exakte Definition!

Außerdem gibt es Bildungsgesetze, die durch einen Algorithmus angebbar sind, für die bisher weder explizite noch rekursive Bildungsgesetze bekannt sind. Ein Beispiel dafür ist die Folge der Primzahlen 2,\, 3,\, 5,\, 7,\, 11,\, \ldots. Du kannst zwar einen Algorithmus angeben, der alle Primzahlen nacheinander ausrechnet (zum Beispiel mit Hilfe des Siebs des Eratosthenes). Es ist aber bisher kein explizites oder rekursives Bildungsgesetz dieser Folge bekannt.

Arten von Folgen[Bearbeiten]

Eine Intervallschachtelung ist eine Folge von Mengen.
Eine Folge von quadratischen Funktionen.

Folgen können beliebige Objekte als Folgenglieder besitzen. So sind reelle Folgen Folgen von reellen Zahlen. Die meisten Folgen, die uns in der Analysis begegnen werden, sind reelle Folgen.

Es ist aber auch möglich, Folgen von komplexen Zahlen zu haben, welche komplexe Folgen genannt werden. Aber auch Folgen von Mengen oder Folgen von Funktionen sind möglich.

In den letzten Kapiteln hast du bereits Intervallschachtelungen kennen gelernt. Da Intervalle Mengen sind, sind Intervallschachtelungen Beispiele für Folgen von Mengen. Die folgende Tabelle listet einige Beispiele für Folgen auf:

Art der Folge explizites Bildungsgesetz die ersten Folgenglieder
reelle Folge a_n = n^2 1,\,4,\,9,\,16,\ldots
komplexe Folge c_n = i^n 1,\,i,\,-1,\,-i,\,1,\,i,\,\ldots
Folge von Mengen M_n = \{k\in\N\,|\,k\le n\} \{1\},\,\{1,\,2\},\,\{1,\,2,\,3\},\,\{1,\,2,\,3,\,4\},\,\ldots
Folge von Mengen M_n = \left( -\tfrac{1}{n},\, \tfrac{1}{n}\right) \left(-1,\, 1\right),\,\left( -\tfrac{1}{2},\, \tfrac{1}{2}\right),\,\left( -\tfrac{1}{3},\, \tfrac{1}{3}\right),\,\left( -\tfrac{1}{4},\, \tfrac{1}{4}\right),\,\ldots
Folge von Funktionen f_n : \R \rightarrow \R : x \mapsto \tfrac{x^2}{n} f_1(x) = x^2,\, f_2(x) = \tfrac{x^2}{2},\, f_3(x) = \tfrac{x^2}{3},\, f_4(x) = \tfrac{x^2}{4},\ldots

Für die Analysis wichtige Folgen[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt möchte ich dir einige Beispiele für Folgen vorstellen, welche dir in deiner Analysis-Vorlesung begegnen wird. Im Abschnitt zu den Eigenschaften reeller Zahlenfolgen werden wir auch weitere Beispiele kennen lernen.

Harmonische Folge[Bearbeiten]

Die harmonische Folge.

Die Folge a_n=\tfrac{1}{n} nennt man harmonische Folge. In Vorlesungen zur Analysis wird sie gerne als Beispiel herangezogen, um mit ihr gewisse Konzepte zu zeigen. Außerdem tritt diese Folge oft in Übungsaufgaben auf. Die ersten Folgeglieder dieser Folge lauten:

\left(a_n\right)_{n\in\N}=\left(1,\,\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{3},\,\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{5},\,\ldots\right)

Demgegenüber wird die Folge a_n=(-1)^n \cdot \tfrac{1}{n} bzw. b_n=(-1)^{n+1} \cdot \tfrac{1}{n} alternierende harmonische Folge genannt. Es handelt sich dabei um die Folge

\left(a_n\right)_{n\in\N}=\left(-1,\,\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{3},\,\tfrac{1}{4},\,-\tfrac{1}{5},\,\ldots\right)

beziehungsweise

\left(b_n\right)_{n\in\N}=\left(1,\,-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{3},\,-\tfrac{1}{4},\,+\tfrac{1}{5},\,\ldots\right)

Folge der Fibonacci-Zahlen[Bearbeiten]

Die Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist eine in der Mathematik besonders populäre Folge, auf die 1202 der Mathematiker Leonardo Fibonacci in seinen Arbeiten stieß (nach ihm wurde auch diese Folge benannt). Er untersuchte das Verhalten einer Kaninchenpopulation, für die er folgende Regeln aufstellte:

  1. Zu Beginn gibt es ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen.
  2. Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif.
  3. Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar.
  4. Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Lebensraum, so dass kein Tier die Population verlassen und keines von außen hinzukommen kann. Es stirbt auch kein Kaninchen.
Frage: Wie lautet die rekursive Definition der Fibonacci-Zahlen?

Sei f_n die Anzahl geschlechtsreifer Paare von Kaninchen im n-ten Monat. Nach Regel 4 leben alle diese Kaninchen im nächsten Monat noch immer. Damit ist die Anzahl der geschlechtsreifen Kaninchenpaare f_{n+1} im nächsten Monat gleich f_n + x, wobei x gleich der Anzahl der Kaninchenpaare ist, die neu geschlechtsreif werden.

Wegen Regel 2 ist x gleich der Zahl der Kaninchenpaare, die im (n-1)-ten Monat erzeugt wurden. Nach Regel 3 ist diese Anzahl gleich der Anzahl der geschlechtsreifen Kaninchen im (n-1)-ten Monat, also gleich f_{n-1}. Es ist x=f_{n-1} und damit

f_{n+1} = f_n + f_{n-1}

Diese Regel schreiben wir um in

f_{n+2} = f_{n+1} + f_n

welche unseren Rekursionsschritt ergibt. Nun brauchen wir nur noch den Rekursionsanfang. Nach Regel 1 ist f_1 = 1 (im ersten Monat gibt es genau ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen). Da im Rekursionsschritt zur Berechnung von f_{n+1} seine zwei Vorgänger f_{n+1} und f_n benötigt werden, brauchen wir auch den Wert f_0 im Rekursionsanfang. Ansonsten könnten wir nämlich nicht f_2 = f_1 + f_0 ausrechnen.

Im zweiten Monat gibt es neben dem Paar geschlechtsreifer Kaninchen aus dem ersten Monat ein weiteres Paar Kaninchen (nämlich das, welches vom ersten Paar geworfen wurde). Das zweite Paar Kaninchen ist aber erst ab dem dritten Monat geschlechtsreif (Regel 2) und damit ist f_2=1. Somit muss f_0=0 gewählt werden, damit f_2 = f_1 + f_0 ist.

Insgesamt lautet die rekursive Definition der Fibonacci-Folge:

\begin{align}
f_0 & = 0 \\
f_1 & = 1 \\
f_{n+2} & = f_{n+1} + f_n
\end{align}

Informationen zum Projekt

Diese Seite ist Teil des Projekts Mathe für Nicht-Freaks, einer Lehrbuchreihe für Studienanfänger. Dieses Projekt wird ehrenamtlich erstellt und wir hoffen, wir konnten dir bei deinem Mathestudium helfen.

Du hast noch Fragen oder Verständnisprobleme?

Wenn du noch Fragen zum Inhalt hast oder etwas weiterhin nicht verstehst, dann schreibe uns eine Mail an fragen@kulla.me. Wir werden dir deine Fragen gerne beantworten, zumal du uns damit auch hilfst, unsere Seiten zu verbessern. Ihr könnt uns auch auf unserer Facebook-Seite anschreiben.

Feedback, Kritik, Anmerkungen?

Diesen Artikel haben wir gewissenhaft recherchiert und verfasst. Dennoch sind vereinzelte Fehler nicht ausgeschlossen. Solltest du solche entdecken, sind wir für Hinweise per E-Mail unter fragen@kulla.me sehr dankbar. Dies gilt für jedes Feedback und jede konstruktive Kritik.

Mitautoren gesucht!

Wir sind auf der Such nach neuen Autoren! Wenn du an diesem Buch mitschreiben möchtest, dann melde dich bitte bei Stephan Kulla. Seine E-Mail Adresse findest du auf der Seite http://kulla.me/de/kontakt/.