Mathe für Nicht-Freaks: Folge

Aus Wikibooks
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Folge ist einer der wichtigsten Begriffe in der Analysis. Anhand von Folgen werden wir nämlich später definieren, was ein Grenzwert ist und mit Hilfe des Grenzwertbegriffs werden alle wichtigen Konzepte der Analysis wie Ableitung und Stetigkeit beschrieben.

Definition[Bearbeiten]

Frage: Aus deinem Leben sind dir sicherlich Beispiele für eine Folge bekannt. Welche sind das?

Im Alltag gibt es einige Beispiele von Folgen, welche oftmals als Abfolge oder Reihenfolge bezeichnet werden. Denk an die Reihenfolge der Sachen, die du nach den Aufstehen machst oder die notwendige Abfolge von Arbeitsschritten zum Aufbau eines Ikea-Regals. Wenn du im Physikunterricht experimentiert hast, hast du meist auch eine Folge von Messwerten erstellt, die du später ausgewertet hast. Denk auch an die Vielzahl von Folgen periodisch wiederkehrender Ereignisse, die es gibt. Zum Beispiel die Folge der Nationen, die die Fußballweltmeisterschaft gewonnen haben (sowohl bei den Männern als auch bei den Frauen), oder dein monatlicher Kontostand.

Allen Beispielen ist gemeinsam, dass die Reihenfolge der Elemente einer Folge festgelegt ist. Es gibt eine genau definierte Anordnung der Folgenglieder, die beachtet werden muss (Stell dir vor, du würdest einen Kaffee trinken ohne ihn vorher gemacht zu haben.). Außerdem können in einer Folge bestimmte Objekte als Folgenglieder öfters auftreten (es gibt viele Nationen, die mehr als einmal Fussballweltmeister geworden sind). Dies unterscheidet eine Folge insbesondere von einer Menge, in der ein Element nur einmal auftritt. Des weiteren kannst du die einzelnen Folgenglieder einer Folge durchnummerieren (Du kannst also sagen, wer der erste Präsident der USA, der zweite und so weiter war). Eine Menge von Elementen, die du durchnummerieren kannst, nennt man in der Mathematik abzählbar. Viele der im Alltag bekannten Folgen sind endlich, es sind aber auch unendliche Folgen vorstellbar (Stell dir vor, man würde bis in alle Ewigkeit eine Fussballweltmeisterschaft austragen, dann wäre die Folge der Fussballweltmeister unendlich).

Kommen wir nun zu dem Begriff der Folge in der Analysis. Der große Unterschied zwischen dem Folgenbegriff in der Analysis und im Alltag ist, dass in der Analysis eine Folge immer unendlich ist. In anderen Bereichen der Mathematik werden zwar auch endliche Folgen betrachtet (die dann meist Tupel genannt werden), in diesem Kapitel meine ich aber mit einer Folge stets eine unendliche Folge. Wie bereits angesprochen, sind die Abzählbarkeit (die Folge kann durchnummeriert werden) und die genau bestimmte Reihenfolge der Folgenglieder zwei wichtige Eigenschaften einer Folge. Dies wird mathematisch folgendermaßen modelliert: Du nimmst die Menge der natürlichen Zahlen und ordnest jeder natürlichen Zahl n ein beliebiges Objekt a_n zu (wobei diese Objekte aus einer Menge stammen, von der du eine Folge bilden möchtest). Damit erhältst du die gerade angesprochene unendliche, abzählbare und angeordnete Abfolge beliebiger Objekte, wie folgende Skizze verdeutlicht:

1 2 3 4 ...(natürliche Zahlen)
\downarrow \downarrow \downarrow \downarrow
a_1 a_2 a_3 a_4 ...(beliebige Objekte)

Im Fall der Folge der deutschen Bundeskanzler wäre dies die Zuordnung:

\begin{align}
1 \quad\quad & \quad\  2 & 3 \quad \quad & \quad\,4 & 5 \quad \quad & \ldots \\
\downarrow \quad\quad & \quad\, \downarrow & \downarrow \quad \quad & \quad \downarrow & \downarrow \quad \quad & \\
\text{Adenauer   } & \text{Erhard   } & \text{Kiesinger   } & \text{Brandt   } & \text{Schmidt   } & \ldots \\
\end{align}

Damit haben wir folgende Definition einer Folge:

Definition (Folge):

Eine Folge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen in eine Menge M. Sie ordnet also jeder natürlichen Zahl n ein Objekt a_n \in M zu.

Dabei werden die einzelnen Elemente n einer Folge Folgenglieder genannt. Die zu den einzelnen Folgenglieder zugeordneten natürlichen Zahlen nennt man Index. Obwohl es sich bei einer Folge um eine Abbildung handelt, schreibt man anstelle von a(n) für das n-te Folgenglied a_n. Meint man die gesamte Folge, schreibt man \left(a_n \right)_{n \in \N} oder kurz (a_n). In der Analysis 1 betrachten wir vor allem Folgen mit reellen Zahlen als Folgenglieder. Diese speziellen Folgen nennt man reelle Folge (Folgen komplexer Zahlen nennt man dementsprechend komplexe Folge). Die einzelnen Begriffe sind nochmal in folgender Übersicht zusammengefasst:

(a_n)_{n\in \N} = \overbrace{(a_1,\,\underbrace{a_2}_{\text{Folgenglied}},\,a_3,\,a_{\underbrace{4}_{\text{Index}}},\,\ldots)}^{\text{Folge}}


Die harmonische Folge hat nur diskrete Werte
Zum Vergleich: Die Funktion f(x) = \tfrac 1x

Warnung:

Einige Studenten stellen sich unter einer reellen Folge eine kontinuierliche Funktion vor (insbesondere, wenn sie diese zeichnen wollen). Dies ist jedoch falsch, da eine reelle Folge aus diskreten Werten besteht (sie besitzt nur für natürliche Zahlen einen zugeordneten Wert). Dies demonstriert die folgende Gegenüberstellung der harmonischen Folge (a_n)_{n\in\N}=\left(\tfrac{1}{n}\right)_{n\in\N} mit der Funktion f(x) = \tfrac{1}{x}. Beachte, dass es bei der harmonischen Folge (im Gegensatz zur Funktion \tfrac{1}{x}) nur diskrete Werte im Graphen gibt.

Bildungsgesetze für Folgen[Bearbeiten]

Da eine Folge in der Analysis stets unendlich viele Glieder besitzt, kann eine Folge nicht durch Aufzählung ihrer gesamten Folgenglieder definiert werden. Zur Definition einer Folge musst du deshalb die bereits in der Definition angesprochene Zuordnungsvorschrift zwischen den natürlichen Zahlen und den Objekten der Zielmenge definieren. Diese Zuordnungsvorschrift wird Bildungsgesetz der Folge (manchmal auch Bildungsvorschrift) genannt. Diese wird meist explizit oder rekursiv definiert.

Bei einer expliziten Bildungsvorschrift wird eine Funktion abhängig vom Index der Folge angegeben, mit der man die einzelnen Folgenglieder ausrechnen kann. Eine solches Bildungsgesetz wird meist folgendermaßen angegeben: a_n = \text{ irgendein Term mit } n. Beispiele sind a_n = n^n oder a_n = \frac{2\cdot (n+1)}{\sqrt{n} + 2}. Eine explizite Bildungsvorschrift der Folge zeichnet sich dadurch aus, dass die einzelnen Folgenglieder berechnet werden können, ohne andere Folgenglieder kennen zu müssen. Wenn man also ein bestimmtes Folgenglied berechnen möchte, so muss man nur den gewünschten Index in die Formel der expliziten Bildungsvorschrift einsetzen und den Wert dieser Formel berechnen. Dies ist bei einer rekursiven Bildungsvorschrift anders und macht die explizite Bildungsvorschrift für bestimmte Probleme besonders attraktiv (Stell dir vor du möchtest dass 1.000.000-te Folgenglied berechnen und musst dazu erstmal alle 999.999 Vorgänger ausrechnen - ne Höllenarbeit, auch für einen Computer).

Die rekursive Bildungsvorschrift zeichnet sich dadurch aus, dass man zur Berechnung einzelner Folgenglieder die Vorgänger dieser Folgenglieder kennen muss. Dies erkennst du meist daran, dass in der Funktion zur Berechnung eines Folgenglieds die vorhergehenden Folgenglieder auftauchen. Da man zur Berechnung einzelner Folgenglieder bereits einige Vorgänger kennen muss, müssen bei rekursiver Definition einer Folge die ersten Folgenglieder explizit benannt werden (soviel wie man als Vorgänger zur Berechnung eines Folgenglieds benötigt). Ein Beispiel für ein rekursives Bildungsgesetz wäre folgendes:

a_1 = -6 <- hier definierst du das erste Folgenglied
a_{n+1} = 2 \cdot a_n + (-1)^n \cdot 15 <- die Rekursionsformel, die dir sagt, wie du ein Folgenglied auf Grundlage seines Vorgängers berechnest

Diese Folge besitzt folgende Folgenglieder:

\begin{align}
a_1 & = -6 \\
a_2 & = 2 \cdot (-6) + (-1)^1 \cdot 15 = -12 - 15 = -27 \\
a_3 & = 2 \cdot (-27) + (-1)^2 \cdot 15 = -54 + 15 = -39 \\
& \ldots
\end{align}

Rekursive Bildungsgesetze für Folgen sind meist einfacher zu finden als die expliziten Bildungsvorschriften dieser Folge (falls diese angebbar sind), aber bei expliziten Bildungsvorschriften sind die Eigenschaften einer Folge meist einfacher aus dem Bildungsgesetz ablesbar als bei rekursiv definierten Folgen.

Wenn das Bildungsgesetz besonders einfach ist, schreibt man manchmal nur die ersten Folgenglieder einer Folge auf und überlässt dem Leser die Aufgabe die Bildungsvorschrift zu finden (Beispiel: (a_n)_{n\in\N} = (1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,\ldots)). Diese Definition einer Folge hat aber den Nachteil, dass sie nicht eindeutig ist (und somit eigentlich keine Definition ist!), da eine solche Folge beliebig fortgesetzt werden kann.

Es gibt aber auch Bildungsgesetze, die durch einen Algorithmus angebbar sind, für die es aber bisher weder explizite noch rekursive Bildungsgesetze gibt. Ein Beispiel dafür ist die Folge der Primzahlen 2,\, 3,\, 5,\, 7,\, 11,\, \ldots. Du kannst zwar einen Algorithmus angeben, der alle Primzahlen nacheinander ausrechnet (Stichwort: „Sieb des Eratosthenes“), aber es ist bisher kein explizites oder rekusives Bildungsgesetz dieser Folge bekannt.

Informationen zum Projekt

Diese Seite ist Teil des Projekts Mathe für Nicht-Freaks, einer Lehrbuchreihe für Studienanfänger. Dieses Projekt wird ehrenamtlich erstellt und wir hoffen, wir konnten dir bei deinem Mathestudium helfen.

Du hast noch Fragen oder Verständnisprobleme?

Wenn du noch Fragen zum Inhalt hast oder etwas weiterhin nicht verstehst, dann schreibe uns eine Mail an mathefuernichtfreaks@kulla.me. Wir werden dir deine Fragen gerne beantworten, zumal du uns damit auch hilfst, unsere Seiten zu verbessern. Ihr könnt uns auch auf unserer Facebook-Seite anschreiben.

Wenn du Fragen zu deinen Übungsaufgaben oder zu deiner Vorlesung hast, dann stelle diese bitte auf entsprechenden Foren. Wir empfehlen dir hier die Seiten http://www.matheboard.de/ und http://math.stackexchange.com/.

Feedback, Kritik, Anmerkungen?

Auch für Feedback und Kritik sind wir dir immer dankbar. Sende uns auch hier eine Mail an mathefuernichtfreaks@kulla.me.

Mitautoren gesucht!

Wir sind auf der Such nach neuen Autoren! Wenn du an diesem Buch mitschreiben möchtest, dann melde dich bitte bei Stephan Kulla. Seine E-Mail Adresse findest du auf der Seite http://kulla.me/de/kontakt/.