Mathematik: Zahlentheorie: Warum 1 keine Primzahl ist

In der Geschichte der Mathematik wurde die 1 von manchen Mathematikern als Primzahl betrachtet, von anderen nicht. Leonhard Euler beispielsweise zählt in seiner Algebra (1770) die 1 nicht als Primzahl, hingegen enthält eine Liste von 10.006.721 Primzahlen, die 1914 von Derrick Norman Lehmer, dem Vater von Derrick Henry Lehmer, veröffentlicht wurde, die 1 als Primzahl. Im Laufe des 20. Jahrhunderts hat sich aber durchgesetzt, 1 per Definition nicht als Primzahl zu betrachten. Hier sind ein paar Gründe, die dafür immer wieder als Antwort gegeben werden:

• Ist die 1 keine Primzahl, so lässt sich jede nicht-Primzahl eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen (wenn man diese aufsteigend sortiert). Wenn hingegen die 1 eine Primzahl wäre, so hätte man mehrere Darstellungen für die gleiche Zahl: 6=2·3=1·2·3=1·1·2·3=...
• Es gibt in der Algebra einen Satz, dass es zu jeder Primpotenz einen endlichen Körper gibt, der genau so viele Elemente hat. Es gibt aber keinen endlichen Körper, der genau ein Element hat. (Bei vielen weiteren mathematischen Aussagen über Primzahlen bekommt man analoge Probleme.)
• Die Definition von Primelementen, das sind Primzahlen in beliebigen Ringen, wird einfacher.
• Das Produkt zweier von einander verschiedener Primzahlen ist nie eine Primzahl, sondern zusammengesetzt. Dies wäre nicht gültig, sollte 1 eine Primzahl sein.
• Eine Primzahl ist eine Zahl mit genau 2 Teilern. Die 1 hat jedoch nur einen Teiler.
• Eine Primzahl ist eine Zahl $p\in \mathbb {N}$ mit $\phi (p)=p-1$, doch $\phi (1)=1$ (Eulersche $\phi$-Funktion).

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Weblinks

Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P)