Diskussion:Mathematik: Zahlentheorie: Warum 1 keine Primzahl ist
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Augelagert aus dem Artikel:
- Man kann einer positiven natürlichen Zahl eine Charakteristik zuordnen, die angibt, aus wievielen Primfaktoren diese zusammengesetzt ist. So haben z.B. alle Primzahlen Charakteristik 1. Die Zahlen 4,6 und 9 beispielsweise Charakteristik 2. Da nun per Definition das Produkt über eine leere Indexmenge in Ringen mit Einselement stets 1 ergibt, hat die Zahl 1 im Gegensatz zu Primzahlen Charakteristik 0.
- Ich bin der Meinung, dass das Quatsch ist. Damit kann man niemandem erklären, warum 1 keine Primzahl ist, weil so jemand diesen Text nicht versteht. Dazu kommt, dass die Charakteristik einer Primzahl ist nix Standardisiertes.--Berni 15:42, 10. Apr 2005 (UTC)
ich halte folgenden Satz nicht für richtig:
Wäre 1 eine Primzahl, dann müsste 1 die einzige Primzahl sein. Jede andere Zahl hätte den Primteiler 1. Das würde im Widerspruch dazu stehen, dass der Quotient Zahl/1 gleichzeitig Primzahl und Nicht-Primzahl wäre.
Laut Wikipedia sind primzahlen so definiert: "Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern, nämlich 1 und sich selbst.". Daraus folgt zwar direkt, dass 1 keine Primzahl ist, de robere Satz stimmt aber trotzdem nicht. Die definition bei Wikipedia sagt im prinzip nur, dass eine Primzahl nur durch 1 und sich selbst teilbar ist und das 1 keine Primzahl ist. -80.108.234.164 07:24, 21. Mär. 2007 (CET)
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[Bearbeiten] Körper
Ich sehe zwar ein, dass es (wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung) sinnvoll ist, die 1 nicht als Primzahl zu bezeichnen, aber das Argument mit den endlichen Körpern ist fragwürdig. Dass es keinen einelementigen Körper gibt, geht letztlich nur auf die (willkürliche?) Bedingung zurück, dass in einem Körper 0 und 1 verschieden sein müssen.
Ich behaupte einmal, dass die meisten -- oder jedenfalls die meisten interessanten -- Sätze über Körper auch dann noch wahr bleiben, wenn man den "einelementigen Körper" zulässt. Dies deshalb, weil es bei interessanten Sätzen über Körper meist um Ober- der Unterkörper geht (zB Galoistheorie), und der "einelementige Körper" nie als Unterstruktur eines echten Körpers (mit verschiedenen Konstanten 0,1) auftritt.
(Bei einigen trivialen Sätzen wie "Körper = Ring modulo maximalem Ideal" geht das allerdings nicht.)
213.225.20.225 00:28, 21. Mai 2005 (UTC)
- Es gibt Ansätze zur Theorie des "einelementigen Körpers", aber sie basieren nicht auf dem genannten Nullring (also dem Ring, der nur aus 0 = 1 besteht). Beispielsweise sind Vektorräume über
einfach Mengen, die Dimension ist die Mächtigkeit, und es gibt viele Analogien für Formeln, die aber wirklich nur Analogien sind und manchmal gewissen Abänderungen erfordern. Beispielsweise hat ein n-dimensionaler Vektorraum über 
- Automorphismen. Setzt man q = 1, kommt natürlich 0 heraus, aber dividiert man die n-fache Nullstelle heraus, so erhält man
- für
, und das ist gerade die Zahl der Automorphismen einer n-elementigen Menge. - Der Sinn dieser Theorie besteht darin, dass das Analogon der riemannschen Vermutung für Kurven über endlichen Körpern schon lange bekannt ist und man hofft, die ganzen Zahlen irgendwie als Kurve über dem Körper mit einem Element auffassen zu können.--80.136.130.196 10:27, 15. Jul 2005 (UTC)
- Ja, bitte mal jemand erklären. Warum ist eine Menge {0} mit + und * kein Körper? Neutrales Element ist da, (0), die Null ist auch zu sich selbst inverses Element und gibt wieder Null. Assoziativität, Kommutativität, Abgeschlossenheit, haut doch alles hin, oder? 84.163.2.43 21:40, 20. Dez 2005 (UTC)
- : In einem Körper soll der von Null verschiedenen Elemente eine Gruppe sein. Die leere Menge ist per definitionem keine Gruppe.
--79.199.61.94 00:20, 11. Jan. 2009 (CET)
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- (cur) (last) 23:02, 6 July 2004 Berni m (etwas umformuliert)
- (cur) (last) 17:27, 29 June 2004 Berni (Ein Anfang)
von en:Mathematik:Zahlentheorie:Warum 1 keine Primzahl ist. Sj
[Bearbeiten] "Algebra-Beweis" sinnlos
Ich habe folgenden Absatz entfernt:
*Ein weiterer Satz der Algebra besagt: :Z ist ein Hauptidealring. Somit gilt für jedes Primideal (p): :Z/(p) ist ein endlicher Körper. :Wäre nun 1 eine Primzahl, so wäre Z/(1) ein endlicher Körper. :Aber Z/(1)= Z ist nur ein Ring (wenn auch ein ganz besonderer). :Somit kann 1 keine Primzahl sein.
Abgesehen davon, dass Z/(1) = {0} und nicht Z ist, der Grund der Entfernung war ein anderer: Der Satz aus der Algebra, auf den hier Bezug genommen wird, spricht von Primidealen. Eine der Eigenschaften eines Primideals P ist "P ist nicht der ganze Ring". Also ist (1) niemals ein Primideal, egal ob man 1 nun Primzahl nennt oder nicht.
Wo also das eigentliche Problem liegt, wäre der Satz, der besagt, dass es eine 1:1-Abbildung zwischen Primidealen in Z und positiven Primzahlen in Z gibt. Das ließe sich z.B. erledigen indem man den umformuliert zu "es gibt eine 1:1-Abbildung zwischen Primzahlen > 1 und Primidealen in Z.". Wenn man bedenkt, dass es unzählige Sätze der Form "für jede Primzahl p != 2 gilt..." gibt, wäre so eine Formulierung nicht zu außergewöhnlich. Dieser Aspekt steht auch bereits im Artikel, genau unter dem entfernten Absatz. --89.12.142.231 17:47, 5. Jun. 2008 (CEST)
[Bearbeiten] Das stimmt nicht!
Eine Primzahl ist definiert als eine natürliche Zahl mit nur 2 natürlichen Teilern. Die 1 ist keine Primzahl da sie nur einen natürlichen Teiler hat, nämlich 1. Dies ist der einzige Grund, weshalb die 1 keine Primzahl ist. - Sie entspricht nicht der Definition! Einige Leute schreiben diese Definition fälschlicherweise so um: "Ganze Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist." Doch diese Definition stimmt nicht. Gründe:
- Nach dieser Definition wäre keine Zahl eine Primzahl, da n den Teiler n/a für alle a hat und eine Zahl somit unendlich viele Teiler hat.
- (unter der Annahme das ein Teiler immer natürlich sein muss) Demnach wäre 1 eine Primzahl. --93.132.197.45 17:49, 6. Jun. 2009 (CEST)
