Diskussion:Mathematik: Zahlentheorie: Warum 1 keine Primzahl ist

1 ist per Definition keine Primzahl.

Das Kapitel liefert einige Begründungen, warum diese Definition sinnvoll ist. Bitte nehmt das als gegeben hin und verzichtet auf Hinweise, warum diese Definition falsch wäre. Ihr könnt sicher sein, dass jeder solche Hinweis schon als unpassend festgestellt und zurückgewiesen werden musste. Jeder derartige neue Abschnitt kann kommentarlos entfernt werden. -- Jürgen 16:34, 1. Jan. 2019 (CET)

Primzahl und Charakteristik

Augelagert aus dem Artikel:

• Man kann einer positiven natürlichen Zahl eine Charakteristik zuordnen, die angibt, aus wievielen Primfaktoren diese zusammengesetzt ist. So haben z.B. alle Primzahlen Charakteristik 1. Die Zahlen 4,6 und 9 beispielsweise Charakteristik 2. Da nun per Definition das Produkt über eine leere Indexmenge in Ringen mit Einselement stets 1 ergibt, hat die Zahl 1 im Gegensatz zu Primzahlen Charakteristik 0.

Ich bin der Meinung, dass das Quatsch ist. Damit kann man niemandem erklären, warum 1 keine Primzahl ist, weil so jemand diesen Text nicht versteht. Dazu kommt, dass die Charakteristik einer Primzahl ist nix Standardisiertes.--Berni 15:42, 10. Apr 2005 (UTC)

ich halte folgenden Satz nicht für richtig:

Wäre 1 eine Primzahl, dann müsste 1 die einzige Primzahl sein. Jede andere Zahl hätte den Primteiler 1. Das würde im Widerspruch dazu stehen, dass der Quotient Zahl/1 gleichzeitig Primzahl und Nicht-Primzahl wäre.

Laut  Primzahl sind primzahlen so definiert: "Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern, nämlich 1 und sich selbst.". Daraus folgt zwar direkt, dass 1 keine Primzahl ist, de robere Satz stimmt aber trotzdem nicht. Die definition bei Wikipedia sagt im prinzip nur, dass eine Primzahl nur durch 1 und sich selbst teilbar ist und das 1 keine Primzahl ist. -80.108.234.164 07:24, 21. Mär. 2007 (CET)

Körper

Ich sehe zwar ein, dass es (wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung) sinnvoll ist, die 1 nicht als Primzahl zu bezeichnen, aber das Argument mit den endlichen Körpern ist fragwürdig. Dass es keinen einelementigen Körper gibt, geht letztlich nur auf die (willkürliche?) Bedingung zurück, dass in einem Körper 0 und 1 verschieden sein müssen.

Ich behaupte einmal, dass die meisten -- oder jedenfalls die meisten interessanten -- Sätze über Körper auch dann noch wahr bleiben, wenn man den "einelementigen Körper" zulässt. Dies deshalb, weil es bei interessanten Sätzen über Körper meist um Ober- der Unterkörper geht (zB Galoistheorie), und der "einelementige Körper" nie als Unterstruktur eines echten Körpers (mit verschiedenen Konstanten 0,1) auftritt.

(Bei einigen trivialen Sätzen wie "Körper = Ring modulo maximalem Ideal" geht das allerdings nicht.)

213.225.20.225 00:28, 21. Mai 2005 (UTC)

Es gibt Ansätze zur Theorie des "einelementigen Körpers", aber sie basieren nicht auf dem genannten Nullring (also dem Ring, der nur aus $0=1$ besteht). Beispielsweise sind Vektorräume über $\mathbb {F} _{1}$ einfach Mengen, die Dimension ist die Mächtigkeit, und es gibt viele Analogien für Formeln, die aber wirklich nur Analogien sind und manchmal gewissen Abänderungen erfordern. Beispielsweise hat ein $n$-dimensionaler Vektorraum über $\mathbb {F} _{q}$

$(q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{n-1})$

Automorphismen. Setzt man $q=1$, kommt natürlich 0 heraus, aber dividiert man die $n$-fache Nullstelle heraus, so erhält man

${\frac {q^{n}-1}{q-1}}\cdots {\frac {q^{n}-q^{n-1}}{q-1}}\to n!$

für $q\to 1$, und das ist gerade die Zahl der Automorphismen einer $n$-elementigen Menge.

Der Sinn dieser Theorie besteht darin, dass das Analogon der riemannschen Vermutung für Kurven über endlichen Körpern schon lange bekannt ist und man hofft, die ganzen Zahlen irgendwie als Kurve über dem Körper mit einem Element auffassen zu können.--80.136.130.196 10:27, 15. Jul 2005 (UTC)

Ja, bitte mal jemand erklären. Warum ist eine Menge {0} mit + und * kein Körper? Neutrales Element ist da, (0), die Null ist auch zu sich selbst inverses Element und gibt wieder Null. Assoziativität, Kommutativität, Abgeschlossenheit, haut doch alles hin, oder? 84.163.2.43 21:40, 20. Dez 2005 (UTC)

In einem Körper soll der von Null verschiedenen Elemente eine Gruppe sein. Die leere Menge ist per definitionem keine Gruppe. -- 79.199.61.94 00:20, 11. Jan. 2009 (CET)

ältere versionen von en.wikibooks

1. (cur) (last) 16:15, 22 July 2004 Berni m
2. (cur) (last) 23:03, 6 July 2004 Berni m (typo)
3. (cur) (last) 23:02, 6 July 2004 Berni m (etwas umformuliert)
4. (cur) (last) 17:27, 29 June 2004 Berni (Ein Anfang)

von en:Mathematik:Zahlentheorie:Warum 1 keine Primzahl ist. Sj

"Algebra-Beweis" sinnlos

Ich habe folgenden Absatz entfernt:

*Ein weiterer Satz der Algebra besagt:
:Z ist ein Hauptidealring. Somit gilt für jedes Primideal (p):
:Z/(p) ist ein endlicher Körper.
:Wäre nun 1 eine Primzahl, so wäre Z/(1) ein endlicher Körper.
:Aber Z/(1)= Z ist nur ein Ring (wenn auch ein ganz besonderer).
:Somit kann 1 keine Primzahl sein.

Abgesehen davon, dass Z/(1) = {0} und nicht Z ist, der Grund der Entfernung war ein anderer: Der Satz aus der Algebra, auf den hier Bezug genommen wird, spricht von Primidealen. Eine der Eigenschaften eines Primideals P ist "P ist nicht der ganze Ring". Also ist (1) niemals ein Primideal, egal ob man 1 nun Primzahl nennt oder nicht.

Wo also das eigentliche Problem liegt, wäre der Satz, der besagt, dass es eine 1:1-Abbildung zwischen Primidealen in Z und positiven Primzahlen in Z gibt. Das ließe sich z.B. erledigen indem man den umformuliert zu "es gibt eine 1:1-Abbildung zwischen Primzahlen > 1 und Primidealen in Z.". Wenn man bedenkt, dass es unzählige Sätze der Form "für jede Primzahl p != 2 gilt..." gibt, wäre so eine Formulierung nicht zu außergewöhnlich. Dieser Aspekt steht auch bereits im Artikel, genau unter dem entfernten Absatz. --89.12.142.231 17:47, 5. Jun. 2008 (CEST)

Das stimmt nicht!

Eine Primzahl ist definiert als eine natürliche Zahl mit nur 2 natürlichen Teilern. Die 1 ist keine Primzahl da sie nur einen natürlichen Teiler hat, nämlich 1. Dies ist der einzige Grund, weshalb die 1 keine Primzahl ist. - Sie entspricht nicht der Definition! Einige Leute schreiben diese Definition fälschlicherweise so um: "Ganze Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist." Doch diese Definition stimmt nicht. Gründe:

• Nach dieser Definition wäre keine Zahl eine Primzahl, da n den Teiler n/a für alle a hat und eine Zahl somit unendlich viele Teiler hat.
• (unter der Annahme das ein Teiler immer natürlich sein muss) Demnach wäre 1 eine Primzahl.

--93.132.197.45 17:49, 6. Jun. 2009 (CEST)

Neue Primzahldefinition

Primzahlen sind so zu definieren, daß die Zahl 1 eindeutig zu den Primzahlen gehört. Denn die Zahl 1 besteht wie alle anderen Primzahlen nur aus ihrem eigenen einzigen Faktor. Ausgangspunkt für eine Neudefinition ist eine geeignete Definition für zusammengesetzte Zahlen, auf die sich die Primzahldefinition stützt: Eine zusammengesetzte Zahl ist Multiplikationsergebnis aus zwei oder mehr Primzahlfaktoren größer 1. Armin Rieble decemsys.de/pz.htm Eine Primzahl besteht aus ihrem einzigen Faktor. -- 2003:EE:FBCB:6B57:7CBD:A90F:A790:98D7 16:03, 01. Jan. 2019 (Signatur nachgetragen von: Jürgen 16:34, 1. Jan. 2019 (CET)-- bitte signiere deine künftigen Beiträge selbst mit 4 Tilden ~~~~)

Das ist nicht sinnvoll / ungeeignet / falsch / Quatsch (je nach Gewichtung der Gesichtspunkte). Siehe den Inhalt des Kapitels und die einleitende Bemerkung oben auf der Seite. -- Jürgen 16:34, 1. Jan. 2019 (CET)

Das ist keine argumentative Auseinandersetzung! A.R. -- 2003:EE:FBCB:6B57:7CBD:A90F:A790:98D7 17:45, 01. Jan. 2019 (Signatur nachgetragen von: Jürgen 17:56, 1. Jan. 2019 (CET)-- bitte signiere deine künftigen Beiträge selbst mit 4 Tilden ~~~~)

Richtig, das wollte ich auch nicht. Im Kapitel stehen Argumente für diese Definition. Auf dieser Diskussionsseite gab es immer wieder Bemerkungen und Richtigstellungen. Warum soll so etwas immer wieder neu aufgekocht werden?! -- Jürgen 17:56, 1. Jan. 2019 (CET)

Ich halte die bisherige Teilungsdefinition für miserabel und falsch. Die Zahlen liegen nicht einfach in der Gegend herum, sondern entwickeln sich organisch aus der 1. Bevor man also Zahlen teilen kann, setzen sie sich multiplikativ zusammen. Natürlich klebt man gerne an liebgewordenen Definitionen und scheut andere Horizonte. Was ich von Ihnen erwarte ist, meine Definitionen entweder argumentativ zu widerlegen oder sie anzuerkennen. Ich signiere mit vier Tilden. 2003:EE:FBCB:6B57:A943:3AB2:3B00:4105 21:15, 1. Jan. 2019 (CET)

Durch die Änderung der Überschrift sind Inhalt und Ziel dieses Diskussionsbeitrag anders zu beurteilen. Die im Buch verwendete Definition einer Primzahl stellt den Stand der Wissenschaft dar. Sie steht genauso in Primzahlen: Vorwort und in  Primzahl (dort mit diversen Verweisen auf die Literatur). Die Formulierung wurde in der Wikipedia mehrfach diskutiert (auf der Diskussionsseite sowie in den Archiven), aber niemals grundsätzlich infrage gestellt.

Die Forderung nach einer "neuen" Definition ist deshalb als Theoriefindung anzusehen. Das kann in der Fachwissenschaft diskutiert werden, aber nicht bei Wikibooks oder Wikipedia. Siehe Was Wikibooks nicht ist. Also gilt hier EOD (= End Of Discussion). -- Jürgen 11:49, 2. Jan. 2019 (CET)

Produkt

Punkt 4 besagt: Das Produkt zweier von einander verschiedener Primzahlen ist nie eine Primzahl, sondern zusammengesetzt. Wieso die Einschränkung „von einander verschiedener“? Auch das Produkt zweier oder dreier gleicher Primzahlen (3·3 oder 7·7·7) ist stets zusammengesetzt, so dass man ebensogut „zweier [beliebiger] Primzahlen“ schreiben könnte. --2A02:908:1983:8E00:7AE6:49ED:C3B6:1B88 08:20, 10. Jun. 2022 (CEST)