Mathematik: Zahlentheorie: Warum 1 keine Primzahl ist
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[Bearbeiten] Warum ist 1 keine Primzahl?
Fangen wir mit einer einfacheren Frage an: Warum heißt Carl Friedrich Gauß mit Vornamen Carl Friedrich? Die Antwort fällt leicht: Weil seine Eltern ihn so genannt hatten. Sie hatten vielleicht gute Gründe dafür, ihn so zu nennen, vielleicht hieß ein reicher Onkel so, oder es entsprach einer Familientradition.
Ähnlich verhält es sich mit der 1 als Primzahl. In der Geschichte der Mathematik wurde die 1 von manchen Mathematikern als Primzahl betrachtet, von anderen nicht. Leonhard Euler beispielsweise zählt in seiner Algebra (1770) die 1 nicht als Primzahl, hingegen enthält eine Liste von 10.006.721 Primzahlen, die 1914 von Derrick Norman Lehmer, dem Vater von Derrick Henry Lehmer, veröffentlicht wurde, die 1 als Primzahl. Im Laufe des 20. Jahrhunderts hat sich aber durchgesetzt, 1 per Definition nicht als Primzahl zu betrachten. Hier sind ein paar Gründe, die dafür immer wieder als Antwort gegeben werden:
- Wäre 1 eine Primzahl, dann müsste 1 die einzige Primzahl sein. Jede andere Zahl hätte den Primteiler 1. Primzahlen haben keine Teiler.
- Ist die 1 keine Primzahl, so lässt sich jede Zahl eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen (wenn man diese aufsteigend sortiert). Wenn hingegen die 1 eine Primzahl wäre, so hätte man mehrere Darstellungen für die gleiche Zahl: 6=2·3=1·2·3=1·1·2·3=...
- Es gibt in der Algebra einen Satz, dass es zu jeder Primpotenz einen endlichen Körper gibt, der genau so viele Elemente hat. Es gibt aber keinen endlichen Körper, der genau ein Element hat. (Bei vielen weiteren mathematischen Aussagen über Primzahlen bekommt man analoge Probleme.)
- Die Definition von Primelementen, das sind Primzahlen in beliebigen Ringen, wird einfacher.
- Das Produkt zweier Primzahlen ist nie eine Primzahl, sondern zusammengesetzt. Dies wäre nicht gültig, sollte 1 eine Primzahl sein.
