Mathematik: Algebra: Körper

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Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1.1 Körper 1.2 Vektorräume 1.3 Körpererweiterungen

[Bearbeiten] Grundlagen

[Bearbeiten] Körper

Definition: Eine Menge K mit zwei Verknüpfungen

heißt Körper im Zeichen , wenn folgendes gilt:

(K1) (K, + ) ist eine kommutative Gruppe

(K2) ist ebenfalls eine abelsche Gruppe

(K3) Es gelten die Distributivgesetze, also ist für

und

Dabei werden die neutralen Elemente von (K, + ) mit 0 und von mit 1 bezeichnet. Das zu inverse Element wird mit a ^{- 1} oder mit 1 / a bezeichnet. Für schreibt man a / b = ab ^{− 1} = b ^{− 1}a. Das inverse Element zu ist - a.

Kurz gesagt: Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Einselement, in dem jedes von 0 verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Beispiele:

• Die rationalen, reellen und komplexen Zahlen bilden jeweils einen Körper.
• ist kein Körper, da z.B. 2 kein multiplikatives Inverses besitzt
• ist ein Körper. Allgemeiner ist genau dann ein Körper, wenn p Primzahl ist.

Aus dieser Definition lassen sich weitere Eigenschaften eines Körpers herleiten.

Ein Körper ist nullteilerfrei, denn aus ab = 0 und folgt durch Multiplikation mit a ^{- 1}, dass b = 0.

Definition: Sei K ein Körper. Existiert eine die kleinste natürliche Zahl n, für die gilt , so heißt char(K)=n die Charakteristik von K. Gibt es keine solche Zahl, so setzt man char(K)=0.

[Bearbeiten] Vektorräume

Definition: Eine Menge V mit zwei Verknüpfungen

heißt Vektorraum über dem Körper K, falls gilt:

(V1) (V, + ) ist eine abelsche Gruppe

(V2) (ab)v = a(bv) für alle

(V3) (a + b)v = av + bv für alle

(V4) a(v + w) = av + aw für alle

Die Elemente von K werden in diesem Zusammenhang als Skalare bezeichnet, die Verknüpfung heißt Skalarmultiplikation.

Beispiele:

• Die Menge Kⁿ der n-Tupel bildet einen Vektorraum über K. Hierbei ist die Addition komponentenweise definiert und die Skalarmultiplikation durch

.

• Der Polynomring K[X] ist ein Vektorraum über K.

Definition: Erzeugendensystem, linear-unabhängig, Basis

Satz: Je zwei Basen eines Vektorraums haben die gleiche Elementanzahl.

Definition: Dimension

[Bearbeiten] Körpererweiterungen

Definition: Eine Teilmenge K eines Körpers L heißt Teilkörper von L, wenn K mit der Addition und Multiplikation von L selbst ein Körper ist.

Definition: Sei L ein Körper, K ein Teilkörper von L. Dann heißt L Erweiterungskörper von K und der Zusammenhang L/K wird als Körpererweiterung bezeichnet.

Beispiel: ist eine Körpererweiterung.

Definition: Sei L/K eine Körpererweiterung, eine Menge von Elementen. Dann bezeichnet K(M) den kleinsten Teilkörper von L, der alle Elemente aus M enthält, genannt die durch Adjunktion von M erzeugte Körpererweiterung von K.

Definition: Eine Körpererweiterung heißt endlich erzeugbar, wenn M endlich ist. Man schreibt dann mit für die Körpererweiterung

Definition: Eine Körpererweiterung heißt einfach, wenn sie von einem Element erzeugt werden kann.

Definition: Sei L/K eine Körpererweiterung. Dann heißt die Dimension von L als K-Vektorraum Grad der Körperweiterung von L über K. Körpererweiterungen mit endlichem Grad heißen ferner endlich (nicht zu verwechseln mit endlich erzeugt).

Definition: Sei L/K eine Körpererweiterung. Ein Element heißt algebraisch über K, wenn es Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten aus K ist. Anderenfalls nennt man l transzendent über K. Sind alle algebraisch über K, so spricht man von einer algebraischen Körpererweiterung.

Beispiele:

• Die Körpererweiterung ist algebraisch und vom Grad 2.
• Die Körpererweiterung ist nicht algebraisch und eine unendliche Körpererweiterung.

Satz: Es gilt K(a)=K[a] genau dann, wenn a algebraisch über K ist.