Mathematik: Lineare Algebra: Vektorräume: Linearkombinationen und Unterräume

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Wikibooks-logo.svg Mathematik One wikibook.svg Lineare AlgebraWikibooks buchseite.svg Vektorräume


Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Linearkombinationen

Nehmen wir uns mal ein paar Vektoren (v_i)_{i \in I} aus einem Vektorraum V, wobei I eine beliebige Menge ist. Wir wissen nach Definition können wir jeden dieser Vektoren mit einem Skalar multiplizieren und dann alle summieren und haben immer noch einen Vektor u in V, also ist u = \sum_{i \in I} \lambda_i \cdot v_i für \lambda_i \in K. Wir für ein solches u \in V sagen wir mit u ist eine Linearkombination der Vektoren (v_i)_{i \in I}.

[Bearbeiten] Beispiele

\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 1* \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2*\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} , also ist \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} eine Linearkombination von \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} .

\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 2* \begin{pmatrix} 0,5 \\ 1 \end{pmatrix} + 0*\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix} , also ist \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} eine Linearkombination von \begin{pmatrix} 0,5 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix} .

\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \lambda* \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu*\begin{pmatrix} 4\\ 0 \end{pmatrix} , da es kein \lambda , \mu \in K gibt, die diese Gleichung erfüllen, ist \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} keine Linearkombination von \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4\\ 0 \end{pmatrix} .

[Bearbeiten] Der Spann / Das Erzeugnis

Haben wir nun Vektoren v_1,v_2, \dots , v_n \in V so wird die Menge aller Linearkombinationen aus diesen Vektoren das Erzeugnis/der Spann genannt. In Symbolsprache: <v_1,v_2, \dots , v_n > ist das Erzeugnis und span(v_1,v_2, \dots , v_n ) der Spann.

Satz: <v_1,v_2, \dots , v_n > ist ein Untervektorraum (für den Spann geht es genauso).

Beweis: 1. 0 = \sum_{i=0}^n 0*v_i \in <v_1,v_2, \dots , v_n >

2. Seien u,v \in <v_1,v_2, \dots , v_n > und \lambda , \mu \in K so ist trivialerweise : \lambda * u+ \mu* v \in V.

Den eine Linearkombination von Linearkombinationen ist eine Linearkombination der Ursprünglichen Vektoren.


[Bearbeiten] Unterräume

Der Unterraum (genauer Untervektorraum) ist ein Vektorraum der ganz in einem Vektorraum liegt.

[Bearbeiten] Definition

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Eine Teilmenge U \subseteq V heißt Untervektorraum, wenn sie mit den von V induzierten Verknüpfungen selbst ein Vektorraum ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn

  • 0\in U und
  • für alle u,v \in U auch u+v \in U und
  • für alle \lambda \in K und alle u \in U auch \lambda\cdot u \in U

gilt. Wobei man die Letzeren Beiden auch zusammenfassen kann mit:

  • für alle u,v \in U, \lambda , \mu \in K gilt : \lambda\cdot u + \mu\cdot v \in U

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Kanonischer Unterraum

Sei V = Kn so ist jeder K^n_i mit \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} mit xi = 0 ein Untervektorraum.

[Bearbeiten] Gerade und Ebene

Sei V = R3 ein Vektorraum. So ist eine Ebene E die Menge alle Vektoren der Form v= \lambda \cdot w + \mu \cdot u für zwei eindeutige Vektoren u,w \in V und für alle \lambda, \mu \in K .

Die Gerade besteht aus allen Vektoren der Form v= \lambda \cdot w für ein eindeutigen Vektor u \in V und für alle \lambda \in K.

Man sieht schnell (Übungsaufgabe), dass die Ebene und die Gerade Untervektorräume von V sind und die Gerade ein Untervektorraum der Ebene ist.

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