Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K6: Erwartung bekannter Verteilungen

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K6: Erwartung bekannter Verteilungen

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] 6.2 Erwartung bekannter Verteilungen

In diesem Paragrafen listen wir die Erwartungswerte einiger bekannter diskreter Verteilungen auf. Da die Erwartung einer Zufallsvariable X nur von der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X abhängt, nennen wir sie auch den Erwartungswert der (zugehörige) Verteilung. Wir nennen immer nur die Verteilung und denken dazu eine Zufallsvariable X mit als Verteilung die genannte Verteilung.

[Bearbeiten] Satz 6.2.1

1. Entartete Verteilung (im Punkt a).

EX = a \cdot 1 = a.

2. Bernoulli-Verteilung (mit Parameter p = pX(1)).

EX = 0\cdot (1-p) + 1 \cdot p = p.

3. Uniforme oder Gleichverteilung (auf den Zahlen x_1,x_2,\ldots ,x_N\,).

EX = x_1\tfrac 1N + x_2\tfrac 1N + \ldots + x_N\tfrac 1N = \tfrac 1N \sum x_i = \bar{x}.

4. Binomialverteilung (mit Parametern n und p).

EX = \sum_{k=0}^n k\tbinom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} = \sum_{k=1}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k} =
= np \sum_{m=0}^{n-1}\tbinom{n-1}{m}p^m(1-p)^{n-1-m} = np

5. Hypergeometrische Verteilung (mit Parametern N, M und n).

EX = \sum_{m=0}^n m\frac{{M \choose m}{N-M \choose n-m}}{{N \choose n}} = n\frac MN

6. Geometrische Verteilung (mit Parameter p).

EX = \sum_{n=1}^\infty n (1-p)^{n-1}p = p\left.\frac{d}{dz}\sum_{n=1}^\infty z^n \right|_{z=1-p} =p\frac{d}{dz}\left.\left( \frac 1{1-z}\right) \right|_{z=1-p} = \frac 1p

7. Poisson-Verteilung (mit Parameter μ).

EX = \sum_{n=0}^\infty n\frac {\mu^n}{n!} e^{-\mu} = \mu \sum_{n=1}^\infty \frac {\mu^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\mu} = \mu

Wir wenden diese Ergebnisse an in zwei Beispielen.

[Bearbeiten] Beispiel 1

Die erwartete Anzahl Malen 6 in 25 Würfen mit einem fairen Würfel ist also 25 × 1/6, denn die Anzahl ist B(25,1/6)-Verteilt.

[Bearbeiten] Beispiel 2

Die erwartete benötigte Anzahl Würfe um mit einem fairen Würfel 6 zu werfen ist also 6, denn die benötigte Anzahl Würfe ist geometrisch Verteilt mit Parameter 1/6.

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