Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K6: Erwartung von Funktionen von Zufallsvariablen

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K6: Erwartung von Funktionen von Zufallsvariablen

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] 6.3 Erwartung von Funktionen von Zufallsvariablen

Oft brauchen wir die Erwartung einer Funktion einer oder mehrerer Zufallsvariablen zu bestimmen. Wir betrachten zuerst ein Beispiel.

[Bearbeiten] Beispiel 1

Wir werfen eine faire Münze solange bis wir "Kopf" werfen. Die Zufallsvariable N bezeichnet die benötigte Anzahl Würfen. N ist geometrisch Verteilt mit Parameter 1/2. Wenn wir n Würfe brauchten, bekommen wir ein Betrag 2–n ausgezahlt. Die Ausbezahlung nennen wir X. Sie ist eine Funktion von N, und zwar X = 2–N. Für die erwartete Ausbezahlung berechnen wir:

EX = \sum_{x\in S_X} x\;P(X=x) = \tfrac 12 P(X=\tfrac 12 ) + \tfrac 14 P(X=\tfrac 14 ) + \tfrac 18 P(X=\tfrac 18 ) + ... .

Nun ist

P(X=2^{-n}) = P(N=n) = (\tfrac 12 )^n ,

also ist:

EX = \sum_{n=1}^\infty (\tfrac 12 )^n(\tfrac 12 )^n =\sum_{n=1}^\infty (\tfrac 14 )^n = \frac{\tfrac 14 }{1-\tfrac 14 }= \tfrac 13 .

Es zeigt sich dass wir auf selbstverständliche Weise schreiben können:

EX = E2^{-N} = \sum_{n=1}^\infty (\tfrac 12 )^nP(N=n),

worin EX ist ausgedrückt ist in die Verteilung von N. Wir brauchen also nicht zuerst die Verteilung von X zu bestimmen.

Was wir im Beispiel sahen, gilt ganz allgemein, wie der nächste Satz zeigt.

[Bearbeiten] Satz 6.3.1

Es seien X1,...,Xn Zufallsvariablen und g: \R^n\to \R eine Funktion, dann ist

Eg(X_1,...,X_n) = \sum_{x_1,...,x_n} g(x_1,...,x_n)P(X_1= x_1,...,X_n= x_n).

Dabei wird also summiert über allen möglichen Werten (x1,...,xn) von (X1,...,Xn).

Beweis.

Nenne X = (X1,...,Xn) und x = (x1,...,xn). Dann gilt für die Zufallsvariable g(X):

Eg(X) = \sum_{s\in S} g(X(s))p(s) = \sum_{x} g(x)P(X=x)


Um die Erwartung einer Funktion Y = g(X) von X zu bestimmen, brauchen wir also nicht zuerst die Verteilung von Y zu berechnen, sondern können wir mit dem obigen Satz die Erwartung Eg(X) direkt mittels der Verteilung von X bestimmen.

[Bearbeiten] Beispiel 2 (zweimal Würfeln (Fortsetzung))

Die Zufallsvariablen Z = X + Y und M = max(X,Y) sind Funktionen der Augenzahlen X und Y zw. des ersten und des zweiten Wurfs. Wir berechnen:

EZ = E(X + Y) = \sum_{x=1}^6 \sum_{y=1}^6 (x+y) P(X=x,\;Y=y) = \tfrac 1{36}\sum_{x=1}^6 \sum_{y=1}^6 (x+y) = 7

und

EM = E\max(X,Y) = \sum_{x=1}^6 \sum_{y=1}^6 \max(x,y)P(X=x,\;Y=y) = \tfrac 1{36} \sum_{x=1}^6 \sum_{y=1}^6 \max(x,y) =
= \tfrac 1{36} \sum_{m=1}^6 m(2m-1) = \tfrac{161}{36}.

Für die letztere Summe bedenken wir dass es (2m-1) Paare (x,y) gibt wofür max(x,y) = m.

Merke auf dass E(X + Y) = EX + EY. In einem weiteren Paragrafen werden wir sehen dass diese Beziehung allgemein gültig ist.

Wir vergleichen dieses Ergebnis mit einer Berechnung von EZ und EM mittels der Verteilungen von Z und M:

EZ = \sum_{z=2}^{12} z\;P(Z=z) = 2 \times \tfrac 1{36} + 2 \times \tfrac 3{36} + 4 \times \tfrac 3{36} + \ldots + 12 \times \tfrac 1{36} = 7

und

EM = \sum_{m=1}^6 m\;P(M=m) = 1 \times \tfrac 1{36} + 2 \times \tfrac 3{36} + \ldots + 6 \times \tfrac{11}{36} = \tfrac {161}{36}.
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