Physikalische Grundlagen der Nuklearmedizin/ Fourier-Methoden

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Einleitung

Fourier-Methoden werden unten in recht allgemeiner Form beschrieben. Wir werden sehen, dass jede beliebige Wellenform mathematisch in mehrere Sinuswellen unterschiedlicher Frequenz und Amplitude zerlegt werden kann. Hierzu führt man häufig eine sogenannte Fouriertransformation durch. Wir werden auch sehen, dass das resultierende Fourier-Spektrum modifiziert werden kann um bestimmte Frequenzen zu verstärken oder zu unterdrücken. Das Ziel der Übungen ist Modulationsübertragungsfunktion (MTF) und die Filterstufe eines tomographischen Rekonstruktionsprozesses im Detail als zuvor zu behandeln.

Man beachte dass hier eine Tabelle heruntergeladen werden kann, mit der man die verschiedenen unten angegeben Prozesse simultan untersuchen kann.

[Bearbeiten] Periodische Funktionen

Eine periodische Funktion ist eine Funktion, die sich (nach einem bestimmten Raum- oder Zeitintervall regelmäßig) wiederholt. Ein einfaches Beispiel ist die Sinusfunktion oder die Rechteckfunktion. Die Geschwindigkeit der zeitlichen Wiederholung einer periodischen Funktion wird durch ihre Frequenz beschrieben. Die Frequenz ist die Anzahl der Perioden, die einen festen Punkt pro Zeiteinheit passieren. Die Frequenz wird üblicherweise in Perioden pro Sekunde angegeben. Ihre Si-Einheit ist Hertz mit dem Formelzeichen Hz. Es gilt:

1 \mathrm{Hertz} = \frac{1}{\mathrm{Sekunde}}

Ein medizinisches Beispiel einer periodischen Funktion ist der Herzschlag, wie er im Elektrokardiogramm dargestellt wird.

Die Folgende Abbildung zeigt den Graph einer Sinusfunktion. Eine Periode ist beispielhaft eingezeichnet.

zeitlicher Verlauf einer Sinuswelle

Wenn eine periodische Funktion nicht zeitlich, sondern räumlich veränderlich ist, spricht man auch von einer Raumfrequenz. Diese ist entsprechend als die Anzahl der Perioden pro Raumeinheit definiert. Also zum Beispiel als Perioden pro mm, mit der Einheit:

1mm


räumlicher Verlauf einer Sinuswelle


Ein Beispiel aus der medizinisches Bildgebung für eine solchen Fluktuation ist das Bleibalkenmuster, welches häufig verwendet wird, um die räumliche Auflösung eines Abbildungssystems zu bestimmen (siehe folgende Abblidung). In diesem Fall wird die räumliche Auflösung in Linienpaare pro mm angegeben, wobei jeder Bleibalken mit seine angrenzenden Leerstelle als Linienpaar bezeichnet wird.


(a) Testbild zur Bestimmung der räumlichen Auflösung einer Gammakamera
(b) Testbild zur Bestimmung der räumlichen Auflösung eines radigraphischen Abbildungssystems


(c) Plot der Zählrate eines Detektors aus a) oder b) in einem gut aufgelösten Bereich

[Bearbeiten] Spacial Resolution

"What is the smallest structure you can see with a given imaging system?" is a question that often arises in the context of (medical) imaging. A technical quantity giving an answer is the spacial resolution of the imaging system. It is defined slightly different for different purposes. For now we will use this simple definition: The spacial resolution is the smallest distance two lines can have to see them as two different lines, instead of one big blurred line . The unit of the spacial resolution is mm. Let us first of look at an example. The following two figures show the same image. The image consists of vertical lines. Their distance and thickness decrease to the right. The left hand figure shows the image acquired by a nearly perfect imaging system (with a very good spacial resolution), you can clearly see separated lines all over the picture, even near the right border. The right hand figure shows the same image, acquired with a lower quality imaging system, you see that you can not distinguish individual lines near the right border of this figure. In reality every imaging system is has got a limited spacial resolution. So the right hand image shows the realistic case.

(nearly) ideal imaging system
real imaging system

You also see that is quite difficult to give an exact value for the spacial resolution of the imaging system. We must look for the area in the right hand image in which two lines just start to overlap so much, that you can not see them as two different lines anymore. You notice that this does not happen at specific line but rather happens gradually of a range of lines. But you also see that the lines are clearly distinguishable at the left side, and that the lines are absolutely not distinguishable near the right border. Lets try to look at these two images in an other way. The following figure shows two graphs, the green one corresponds to the right hand image, and the red one to the left hand image. The y axis of the graph corresponds to the grey-level of the image. The uppermost points correspond to white, the lowest one correspond to black. Intermediate values mean different shades of grey respectively. The red graph would usually contain vertical lines connecting the horizontal ones, but they have been left out to make the figure more readable. The x axis corresponds to the x axis in the two image above. So it essentially contains the same information as the images above just plotted in a different way.

Comparison of real and ideal System

We basically see the same facts, we already saw above. But we also see that the amplitude of the oscillation (the difference between minimum and maximum) decreases almost linearly to the right until the function stops to be periodic at all. So we must admit that the information in that right most part is obviously lost. But we can restore the information in the periodic part. We can just scale the amplitudes properly to reach the full amplitude again. Unfortunately we also scale the noise, so this only works as long as signal is significantly stronger than the noise. Below you see the same function with an envelope plotted in blue.

real imaging system with blue envelope

We now simply scale the function and get an image with a better resolution. We keep the contrast of the left parts of the image constant but we boost the contrast of the right most pixels by a factor of 10, using some monotonous function in between. (Calculationaly we use the lower blue envelope function f(x) using the scaling factor \frac{1}{2 \cdot(0.5-f(x))}, which depends on the x (pixel-) position). Below you see two images. The right one has been improved by the method describe above.

real imaging system
real imaging system after contrast boost

We can clearly see more lines on the right image than on the left image. Still on the right most end we don't see any lines. But we see that the image got a better spacial resolution due to the contrast scaling. So we increased the spacial resolution computationally, without actually modifying the apparatus used for image acquisition. We have boosted the contrast of the right parts of the image. But original structure of the image was such that the lines got thiner and more numerous to the right. Thus the spacial frequency of the image was also increasing to the right. This means that we actually boosted high spacial frequency components of the image. And that is the trick Fourier methods are about. Fourier methods allow you to boost spacial frequency components selectively and thus increase spacial resolution. But you have to be careful not to boost to much, because you might end up boosting the noise, resulting in a very noisy image. It is important to note that we did not use any Fourier methods yet. We just used an images that was designed for our needs, so that we could see the effect of boosting high frequency components without needing to use Fourier at all. The cool thing about real Fourier methods is that they work on any image and they usually work better that our little computational legerdemain.

[Bearbeiten] Fourier-Reihen

Fast alle periodischen Funktionen die man in der medizinischen Bildgebung braucht können als Fourierreihe dargestellt werden. Dieser Ansatz basiert auf der Tatsache, dass jede Wellenform (mathematisch: jede periodische Funktion, die abschnittsweise stetig und monoton ist) als eine Reihe aus Sinus und Cosinusfunktionen angesehen werden kann. Man kann sie dann wie folgt aufschreiben.

\begin{matrix} f(x)=\frac{1}{2}a_0 & + & a_1 \mathrm{cos}(x)+a_2 \mathrm{cos}(2x)+...+a_\mathrm{n}+\mathrm{cos}(nx) & + & b_1 \mathrm{sin}(x)+b_2 \mathrm{sin}(2x)+...+b_\mathrm{n}+\mathrm{sin}(nx) \end{matrix}

Anmerkung des Übersetzers:

Wobei wir hier die Reihe nur bis zu dem Glied sin(nx) bzw. cos(nx) aufgeschrieben haben. Häufig hat man damit aber noch nicht genau die Funktion erreicht die man erreichen wollte. Man hat lediglich eine sehr ähnliche Funktion. Selbst wenn man es nicht schafft die exakte Funktion durch eine endliche Reihe darzustellen, so kann man immerhin eine Regel angeben nach der man beliebig viele Glieder einer unendlichen Reihe berechnen kann. Mit jedem weiteren Glied nähert man sich immer besser an die gesuchte Funktion an. Ferner kann man sich beliebig genau an die gesuchte Funktion annähern, wenn man nur genügend viele Glieder berechnet. Man sagt dann auch, die unendliche Reihe ist die gesuchte Funktion. Diese Aussage ist mathematisch korrekt, allerdings kann man eine unendliche Reihe numerisch nicht genau berechnen, denn dazu müsste man ja unendliche lange rechnen. Wichtig ist nur, dass man eine Funktion durch ihre Fourierreihe beliebig genau berechnen kann, wenn man die Regel, nach der die einzelnen Glieder der Reihe zu berechnen sind, kennt und lange genug rechnet.


Eine Rechteckfunktion besitzt folgende Fourierreihe.

f(x)=\frac{4h}{\pi}\left( \mathrm{sin}(x)+\frac{1}{3}\mathrm{sin}(3x)+ \frac{1}{5}\mathrm{sin}(5x)+\frac{1}{7}\mathrm{sin}(7x)\right)

             (1)

Wobei h die Amplitude der Rechtecksfunktion bezeichnet.

Auch die Gegenrichtung ist mathematisch möglich. z. B. kann eine Rechteckfunktion konstruiert werden indem, man eine große Zahl von Sinusschwingungen unterschiedlicher Amplitude aufaddiert. Die Summation der ersten 4 Terme ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Der erste Term sin(x) ist in Abbildung (a) gezeigt die Addition des zweiten Terms in Abbildung (b) und so weiter. Man beachte, dass die Fundamentale, (auch erste Harmonische bezeichnet, Abbildung (a)) die selbe Frequenz wie die Rechteckfunktion hat, und höhere Frequenzen die Form der Rechteckwelle nacheinander aufbauen (Abbildungen (b) bis (d)). Wir schließen daraus, dass höhere Frequenzen zur Schärfe der Flanken der Rechteckwelle beitragen.


(a) Erste Komponenete
(b) Erste zwei (nichtnull) Komponenten
(c) Erste drei (nichtnull) Komponenten
(d) Erste vier (nichtnull) Komponenten

[Bearbeiten] Fourier-Spektrum

Die Fourierreihe kann auch als Frequenzspektrum dargestellt werden. Als Beispiel sind in der folgenden Abblidung die Amplituden der Frequenzkomponenten aus der Gleichung der Rechteckswelle (1) gegen die Raumfrequnez dargestellt. Man beachte, dass das Fourierspektrum dazu verwendet werden kann, diejenigen Frequenzen und Amplituden zu identifizieren, die zu einiger gegebenen Wellenform beitragen. Man beachte weiterhin, dass Graphen, in denen die Amplitude gegen die Strecke aufgetragen wird, im algemeinen als Darstellung im Ortsraum und Graphen, in denen die Amplitude gegen die Raumfrequenz aufgetragen ist, als Darstellung im Frequenzraum bezeichnet werden

Fourierspektrum einer Rechteckwelle.

[Bearbeiten] Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation ist eine elegante mathematische Methode um Daten vom Ortsraum in den Frequenzraum zu konvertieren (siehe folgende Abbildung). Anders ausgedrückt, kann man die Frequenzen und Amplituden, aus denen eine beliebige Wellenform aufgebaut ist, leicht bestimmen, indem man die Fouriertransformierte dieser Wellenform berechnet.

Die Fourier-Transformation kann verwendet werden um das Fourier-Spektrum jeder beliebigen Wellenform zu berechnen, wie hier am Beispiel der Rechteckfunktion gezeigt wird.

Die Fouriertransformation wird im Bereich der medizinischen Bildgebung weithin verwendet. Einige ihre Anwendungen sind:

  • Bestimmung der räumlichen Auflösung von abbildenden Systemen.
  • räumliche Lokaisierung in NRM (Kernspin) Bildgebung.
  • Analyse von Doppler-Ultraschall-Signalen.
  • Filterung von Bildern in der Transmissions- und Emissionstomographie.


Die Inverse Fourier-Transformation ist eine mathematische Methode um Daten in der umgekehrten Richtung zu konvertieren. Also vom Frequenzraum in den Ortsraum, wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist:

Die inverse Fourier-Transformation kann verwendet werden um beliebige periodische Wellenformen beliebig genau anzunähern, wie hier am Beispiel der Rechteckfunktion gezeigt wird.

Zusammenfassend stellen wir fest, dass die Fouriertransformation FT uns erlaubt die Sinuswellen aus denen eine Wellenform aufgebaut ist zu bestimmen und wir mit der inversen Fouriertransformation IFT eine Wellenform aus einzelnen Sinuswellen zusammen zu bauen.

Schließlich, sollte noch erwähnt werden, dass die Berechnung von Fouriertransformationen mittel digitaler Computer meist mit einem speziellen Algorithmus namens Fast Fourier Transform (FFT) durchgeführt wird.

[Bearbeiten] Die Dirac-Delta Funktion

Ein für die medizinische Bildgebung wichtiger interessantester Fall ist die Diracsche Delta-Funktion δ(x). (Mathematisch korrekt müsste man sie eigentlich Delta- Distribution nennen, weil sie die mathematischen Eigenschaften die es braucht um sich Funktion nennen zu dürfen in nicht ganz erfüllt, aber außerhalb der Mathematik nimmt man es damit meist nicht so genau.) Sie hat überall den Wert 0, außer an der Stelle x = 0. Dort kennt man ihren Wert nicht wirklich. Ferner gilt die Normierungsbedingung: \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \mathrm{d}x=1. Ihre Fourier-Transformierte ist in der folgenden Abbildung gezeigt

Die Delta-Funktion (links) und ihre Fourier Transformierte (rechts)

Die Fouriertransformation der Delta-Funktion ist eine konstante Funktion. Die Fourierreihe der Delta-Funktion ist also die Summe aus unendlich vielen Sinus-Funktionen, die alle die gleiche Amplitude haben. Wenn wir nun anfangen, die Delta Funktion zu verbreitern (also etwa durch eine schmale Gaussfunktion, die der Normalbedingung genügt, ersetzen, sehen wir, dass die Sinusfunktionen mit niedrigeren Frequenzen hohe Amplituden haben und dass die Amplituden mit zunehmender Raumfrequenz abnehmen.

Die Fourier Transformierte einer verbreiterten Delta Funktion.

[Bearbeiten] Modulationsübertragungsfunktion

Diese Verbreiterung ist ein Phänomen sehr ähnlich denen, die in der medizinischen Bildgebung auftreten. Wir können annehmen, dass die vorhergehende Grafik in der Amplitude gegen Strecke folgenden Effekten ähnlich ist:

  • Dichtprofil einer Abbildung eine kleinen Lochs in einer Bleiplatte.
  • Zählratenprofiel durch ein Bild einer radioaktiven Punktquelle.

Die in dieser Grafik dargestellte Funktion wird als Point Spread Function (PSF, auf Deutsch Punktantwortfunktion, jedoch meist zugunsten des englischen Begriffs nicht verwendet) bezeichnet. Ihre Fouriertransformiert wird Modulationsübertragungsfuntion (oder aus Modulationsübertragungsfuntion) MTF genannt.

Darstellung der MTF eines idealen und eines realen Abbildenden Systems.

Einen Vergleich von allgemeinen Begriffen und Begriffen der Bildgebung, die in diesem Themenkreis verwendet werden, ist in der folgenden Tabelle gegeben.

Gebiet Algemeiner Begriff Begriff in der Bildgebung
Ortsraum Ausgangsfunktion Point Spread Function (PSF)
Frequenzraum Fourierspektrum Modulationstransferfunktion (MTF)


Weiterhin kann man die MTF bestimmen aus:

  • Linenantwortfuntion (Line-Spread-Function LSF)
  • der differenzierten Eckenantwortfunktion (Edge-Response-Function ERF).

Symbolisch können wir schreiben:

I_\mathrm{real} = I_\mathrm{Ideal} \otimes PSF

wobei \otimes die mathematische Faltungsoperation bezeichnet. Anders ausgedrückt erhält man das reale Bild indem man das ideale Bild mit der PSF des Abbildungssystems faltet.

Um das ideale Bild zurückzuerhalten, muss man den Effenkt der PSF auf rechnerische Weise rückgängig machen. Dies kann man leicht erreichen, indem man Fouriertransformation verwendet, weil der Faltungsprozess zu einer Multiplikation im Frequenzraum äquivalent ist. Also:

\mathcal{FT}(I_\mathrm{real})=\mathcal{FT}(I_\mathrm{ideal})\cdot \mathcal{FT}(I_\mathrm{PSF})

wobei \mathcal{FT}(h) die Fouriertransformierte der Ortsraumfunktion h(x) bezeichnet. Damit hat man:

\mathcal{FT}(I_\mathrm{ideal})=\frac{\mathcal{FT}(I_\mathrm{real}) }{ \mathcal{FT}(I_\mathrm{PSF})}

.

Der vollständige Rekonstruktionsprozess, der auch als Entfaltung bezeichnet wird, ist durch die folgende Gleichung gegeben:

I_\mathrm{ideal}=\mathcal{IFT}\left(\frac{\mathcal{FT}(I_\mathrm{actual}) }{ \mathcal{FT}(I_\mathrm{PSF})} \right)

wobei \mathcal{IFT}(g) die inverse Fouriertransformation der Frequenzraumfunktion g(f) bezeichnet.

[Bearbeiten] Filterung des Fourierspektrums

Die oben vorgestellte Methode zur Rückgewinnung des idelalen Bildes aus dem realen Bild ist ein Beispiel für die Filterung des Fourierspektrums. Anders ausgedrückt kann das Fourierspektrum, sobald es einmal für ein Bild erzeugt worden ist, gefiltert werden, so dass bestimmte Raumfrequenzen modifiziert, d.h. verstärkt oder unterdrückt werden. Das gefilterte Spektrum kann dann zurücktransformiert werden um daraus das gefilterte Bild zu gewinnen, und es so zu schärfen oder zu glätten. Dieser Prozess ist in der folgenden Abbildung schematisch dargestellt.

Die Filterung des Fourierspektrums

Eine Sache müssen wir noch im Detail klären, bevor wir uns näher mit den Bilddaten im Frequenzraum beschäftigen. Wir erinnern uns, dass Bilder im allgemeinen digital in einer rechteckigen Punktmatrix aufgenommen werden. Wobei die Größe dieser Punkte bestimmt, wie genau das digitale Bild seinem analogen Gegenstück entspricht. Die sich hieraus ergebende digitale räumliche Auflösung führt zu einer Grenze für die maximale Raumfrequenz die noch aufgenommen werden kann. Das üblicherweise in der digitalen Bildgebung verwendete Kriterium basiert auf dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem welches besagt, dass:

Wenn ein Bild Raumfrequenzkomponenten bis zu einer maximalen Raumfrequenz f enthält, dann sollten die Bilddaten mit einer Abtastfrequenz die mindestens doppelt so hoch wie f ist abgetastet werden um eine treue Wiedergabe zu erreichen.

Die Abtastfrequenz w This sampling frequency is commonly called the Nyquist frequency. At lower sampling frequencies, the resultant digital images can contain artefactual patterns, called Moiré patterns, and the phenomenon is sometimes referred to as aliasing.

[Bearbeiten] Gefilterte Rückprojektion

Dieser einfache Rückprojektionsprozess führt zu Unschärfe die das Bild so aussehen lässt als wäre es mit einer \frac{1}{r} Funktion verschmiert worden. In der gefilterten Rückprojektion werden Fourierfilter benutzt um den Effekt der \frac{1}{r} Verwischung zu entfernen.

In Formeln, kann man die gemessene Projektion als einer Faltung mit der Schmierfunktion wir folgt aufschreiben:


P_\mathrm{gemessen}=P \otimes \frac{1}{r} .

Die erste Stufe des Filterungsprozesses besteht in der Fouriertransformation der gemessenen projizierten Daten. D.h.

\mathcal{FT}(P_\mathrm{gemessen})=\mathcal{FT}(P_\mathrm{real}) \cdot \mathcal{FT}\left(\frac{1}{r}\right)

.

Die korrigierte Projektion, P, erhält man dann indem man die gemessene Projektion

durch \mathcal{FT}\left(\frac{1}{r}\right) teilt und die inverse Fouriertransformation berechnet:

P_\mathrm{real}=\mathcal{IFT}\left( \frac { \mathcal{FT}(P_\mathrm{gemessen}) } { \mathcal{FT}\left(\frac{1}{r}\right) } \right)

.

Der Ausdruck \mathcal{FT}\left(\frac{1}{r}\right) ist einfach eine steigende Ursprungsgerade (Diese wird im Englisch als Ramp bezeichnet).

Weiterhin kann man, wenn man die Funktion \mathcal{FT}\left(\frac{1}{r}\right) variiert, gleichzeitig die Unschärfe korrigieren und bestimmte Eigenschaften des rückprojizierten Bildes unterdrücken oder verstärken. Zum Beispiel kann man das Bild schärfen und gleichzeitig:

  • feine Details hervorheben (wie im sogenannten Knochenalgorithmus in der Röntgencomputertomographie)
  • das Bildrauschen unterdrücken (wie im sogenannten Weichgewebealgorithmus in der Röntgencomputertomographie)

Man kann die Ramp-Funktion variieren in dem man sie mit einer zweiten Funktion multipliziert, z.B. mit einer Butterworth Funktion wie sie beim SPECT verwendet wird:

\mathrm{Amplitude}= \frac { 1 } { \left( 1+\frac { f } { f_\mathrm{c} } \right)^{2n} }


wobei:

  • fc die cut-off-Frequenz bezeichnet, welche die Frequenz definiert, bei welcher der Filter nur noch 50% des Signals durchlässt.
  • n: die Ordnung des Filters definiert (je höher die Ordnung, um so steiler fällt die Durchlasskurve des Filters im Bereich der cut-off-Frequenz ab).


Ramp- und Butterworthfilter (Fünfte Ordnung 60% Cutoff)
Ramp- und Butterworthfilter (Fünfte Ordnung 40% Cutoff)
Ramp- und Butterworthfilter (Dritte Ordnung 40% Cutoff)


Die Eigenschaften einer Anzahl von Filtern, die in der SPECT-Bildgebung verwendet werden, sind in der folgenden Tabelle angegeben:

Filter
Equation
Comment
Ram-Lak
Amplitude = 1 for f < fc;
Amplitude = 0 for f > fc
star artefact removal; noise sensitivity
Butterworth
\text{Amplitude}=\frac{1}{1+\left(\frac{f}{f_\mathrm{c}} \right)^{2n}}
noise reduction
Metz
\text{Amplitude}=\frac{1-(1-\mathrm{MTF}(f)^2)^x}{\mathrm{MTF(f)}}
noise reduction; contrast enhancement
Wiener
\text{Amplitude}=\frac{1}{\mathrm{MTF}(f)}\cdot\frac{\mathrm{MTF}(f)^2}{S+\mathrm{MTF}(f)^2}
noise reduction; contrast enhancement
Scramp
\text{Amplitude}=1+\frac{f}{\mathrm{c}}\left( \mathrm{MTF}(f_c)-1 \right) for f < fc;
Amplitude = 0 for f > fc
noise reduction; contrast enhancement
Inverse MTF
\text{Amplitude}=\frac{1}{\mathrm{MTF(f)}} for f < fc;
Amplitude = 0 for f > fc
noise reduction; contrast suppression
Hamming
\text{Amplitude}=0.54+046\cdot \mathrm{cos} \left( \pi \frac{f}{f_\mathrm{c}}\right) for f < fc;
Amplitude = 0 for f > fc
noise reduction
Parzen
2 \left( 1- \left(\frac{f}{f_\mathrm{c}} \right)^3\right)for f < fc;
Amplitude = 0 for f > fc
noise reduction
Shepp-Logan
\text{Amplitude}=\frac{2f_c}{\pi f} \sin \left( \pi \frac{f}{f_c})\right)for f < fc;
Amplitude = 0 for f > fc
noise reduction
Hann
\text{Amplitude}=\frac{f}{2}\left( 1+\cos\left(\pi \frac{f}{f_c}\right)\right) for f < fc;
Amplitude = 0 for f > fc
noise reduction
Man beachte, dass das x in der Gleichung für den Metz-Filter Leistungsfaktor und das S in der Wiener-Filter-Gleichung Formfaktor genannt wird.

Bei der Auswahl des Filter für eine gegeben Rekonstruktionsaufgabe muss man im allgemeinen einen Kompromiss zwischen der Rauschunterdrückung und der Verstärkung feiner Details (und der Erhöhung des Kontrastes in einigen Fällen) finden. Wobei man das Raumfrequenzspektrum der interessierenden Bilddaten berücksichtigen muss.

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