A. Einstein: Kommentare und Erläuterungen: Zur Elektrodynamik bewegter Körper: Elektrodynamischer Teil: §10

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  § 10. Dynamik des (langsam beschleunigten) Elektrons

Hier sind Einstein Formulierungen uns doch sehr fremd und wegen der inzwischen erfolgten Präzisierung der mathematisch-physikalischen Begriffe antiquiert. Erste und zweite Ableitungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind Größen, die einem bestimmten Punkt bzw. Zeitpunkt zugeordnet sind, nicht einem Zeitintervall, auch nicht »dem nächsten Zeitteilchen«. Auch spricht Einstein von einer »Zeitepoche«, wenn er das meint, was wir heute einen Zeitpunkt nennen.

Im Übrigen kann man diesen Teil des Textes ohne Schaden einfach weglassen und gleich mit dem nächsten Absatz beginnen:

ein,

Hier geht es um Folgendes: Zur Zeit τ = 0 ruhe ein Elektron im Ursprung des Systems k. Dann bewegt es sich für einen Beobachter in K mit der Geschwindigkeit v nach rechts.

Nach dem dynamischen Grundgesetz »Masse x Beschleunigung = Kraft« lauten die Bewegungsgleichungen des Elektrons im System k:

$\mu {\frac {\operatorname {d} ^{2}\xi }{\operatorname {d} \tau ^{2}}}=\varepsilon \,X',\quad \mu {\frac {\operatorname {d} ^{2}\eta }{\operatorname {d} \tau ^{2}}}=\varepsilon \,Y',\quad \mu {\frac {\operatorname {d} ^{2}\zeta }{\operatorname {d} \tau ^{2}}}=\varepsilon \,Z',$

wenn in O' ein elektrisches Feld mit den Komponenten X' , Y' , Z'   vorhanden ist.

Diese Gleichungen werden nun in das System K transformiert.

Leider verrät uns Einstein wieder einmal nicht, wie er zu dem Ergebnis kommt. Um dies zu erkennen, müssen wir untersuchen, wie Beschleunigungen von einem System ins andere transformiert werden. Dazu betrachten wir einen Punkt, der zur Zeit t =τ = 0 im Ursprung O' des Systems k ruht. Dieser Punkt erfahre bezüglich k die Beschleunigungen a_ξ und a_η. Wie groß sind dann seine Beschleunigungen a_x und. a_y bezüglich des Systems K?

1. Aus dem Additionstheorem für Geschwindigkeiten

$w_{x}={\frac {w_{\xi }+v}{1+{\frac {v\,w_{\xi }}{V^{2}}}}}$

folgt

$a_{x}={\frac {\operatorname {d} w_{x}}{\operatorname {d} t}}={\frac {{\frac {\operatorname {d} w_{\xi }}{\operatorname {d} t}}\left({1+{\frac {v\,w_{\xi }}{V^{2}}}}\right)-\left({w_{\xi }+v}\right){\frac {v}{V^{2}}}{\frac {\operatorname {d} w_{\xi }}{\operatorname {d} t}}}{\left({1+{\frac {v\,w_{\xi }}{V^{2}}}}\right)^{2}}}$

und mit w_ξ = 0

$a_{x}=\left({1-{\frac {v^{2}}{V^{2}}}}\right){\frac {\operatorname {d} w_{\xi }}{\operatorname {d} t}}=\left({1-{\frac {v^{2}}{V^{2}}}}\right){\frac {\operatorname {d} w_{\xi }}{\operatorname {d} \tau }}{\frac {\operatorname {d} \tau }{\operatorname {d} t}}=\left({1-{\frac {v^{2}}{V^{2}}}}\right)^{\frac {3}{2}}a_{\xi }.$

2. Wegen w_ξ = 0 ist

$w_{y}={\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}w_{\eta }\quad \Rightarrow \quad {\frac {\operatorname {d} w_{y}}{\operatorname {d} t}}={\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}{\frac {\operatorname {d} w_{\eta }}{\operatorname {d} \tau }}{\frac {\operatorname {d} \tau }{\operatorname {d} t}}$

und schließlich

$a_{y}=\left({1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}\right)a_{\eta }.$

Analoges gilt für die Beschleunigungen in Richtung der Z-Achse.

Dass die beiden Transformationsgleichungen sich unterscheiden, leuchtet unmittelbar ein. Die »transversale Beschleunigung« des Punktes (das ist die Beschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung) ist im System K kleiner als in k, weil die Uhr des Beobachters in K schneller geht als die in k ruhende Uhr. Wegen der zweimaligen Differentiation tritt der Faktor 1 / β zweimal auf. Dasselbe gilt auch für die »longitudinale Beschleunigung« (das ist die Beschleunigung in Bewegungsrichtung), jedoch tritt hier der Faktor noch ein drittes Mal auf, weil die Geschwindigkeit des Punktes in K wegen der relativistischen Addition der Geschwindigkeiten langsamer wächst als in k.

In der Schreibweise Einsteins ist also

${\frac {\operatorname {d} ^{2}\xi }{\operatorname {d} \tau ^{2}}}=\beta ^{3}{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}\eta }{\operatorname {d} \tau ^{2}}}=\beta ^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}\zeta }{\operatorname {d} \tau ^{2}}}=\beta ^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}.$

Transformiert man auch die Feldstärken nach den angegebenen Gleichungen, so erhält man die Gleichungen auf S. 919:

$\mu \,\beta ^{3}{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=\varepsilon X,\quad \mu \,\beta ^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=\varepsilon \,\beta \left({Y-{\frac {v}{V}}N}\right)\;\;{\mbox{usw.}}$

Die Elektronenladung ε wird als konstant angenommen, was durch frühere Betrachtungen begründet ist.

Für die Masse existieren noch keine Transformationsformeln; diese sollen ja gerade aus den gegenwärtigen Gleichungen gewonnen werden.

Hier geschieht etwas einigermaßen Ungewöhnliches: Einstein verwendet in ein und derselben Bewegungsgleichung links Größen, die im System K gemessen werden, und rechts solche, die im System k gemessen werden. Er setzt nämlich das Produkt Masse mal Beschleunigung – gemessen in K – gleich der Kraft, welche in k gemessen wird. Sehr wohl war ihm dabei offenbar nicht, denn weiter unten schreibt er: »Natürlich würde man bei anderer Definition der Kraft und der Beschleunigung andere Zahlen für die Massen erhalten ...« ( Dabei ist auch das nicht richtig formuliert: Es geht hier nicht um die Definition der Kraft und schon gar nicht um die Definition der Beschleunigung – die Begriffe sind längst definiert -, sondern darum, welche Werte man für die Kraft einsetzt.)

Doch damit nicht genug. Einstein interpretiert den jeweils bei der Beschleunigung stehenden Faktor μ β³ bzw. μ β² als Masse des Elektrons, gemessen in K, und beruft sich dabei auf das dynamische Grundgesetzt, das – richtig zitiert – Kraft = Masse x Beschleunigung lautet. Nun gilt aber dieses Grundgesetz nur bei konstanter Masse, und diese Bedingung ist hier gerade nicht erfüllt. Wenn die Masse sich ändert, lautet das dynamische Grundgesetzt nämlich

${\overrightarrow {F}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {p}}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left({m\,{\overrightarrow {v}}}\right)={\frac {\operatorname {d} m}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {v}}+m{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {v}}}{\operatorname {d} t}},$

wobei p der Impuls des Körpers ist. Der letzte Term ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung, dazu aber tritt nun noch ein Term, der die Massenveränderung berücksichtigt. Da die Masse des Körpers mit der Geschwindigkeit zunimmt, fällt die Beschleunigung bei gleicher Kraft kleiner aus.

Einstein fragt dann nach der longitudinalen und der transversalen Masse des Körpers.

Historisches:
Bereits 1881 hatte Joseph John Thomson festgestellt, dass das elektrostatische Feld zur Masse eines Körpers beiträgt und von seiner Geschwindigkeit abhängig ist. Diese sogenannte "elektromagnetische" oder "scheinbare" Masse ergab sich mit: $m_{em}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{em}}{c^{2}}}$

wo $E_{em}$ die elektromagnetische Energie und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Dieses Konzept wurde vor allem von Hendrik Antoon Lorentz weiterentwickelt. Lorentz erkannte nämlich, dass das Michelson-Morley-Experiment gemäß seiner Theorie trotz der Längenkontraktion zu einem positiven Resultat führen müsste, wenn die Strahlen durch ein festes Medium hindurchgehen würden. Dies konnte nur dadurch vermieden werden, wenn die Masse abhängig von der Geschwindigkeit im Äther war. Unter Benutzung der newtonschen Kraftdefinition F=ma leitete Lorentz 1899 und allgemeiner 1904 folgende Werte für die longitudinale Masse in Bewegungsrichtung ($M_{L}$) und die transversale Masse senkrecht dazu ($M_{T}$) ab:

$m_{L}={\frac {m_{0}}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{3}}}$ und $m_{T}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

wo $m_{0}$ die Masse eines ruhenden Körpers darstellt und gewöhnlich mit der elektromagnetischen Masse = $(4/3)E/c^{2}$ gleichgesetzt wurde. Lorentz fügte jedoch hinzu, dass dieser Zusammenhang für alle Massen gültig sein müsse, auch wenn diese nicht elektromagnetischen Ursprungs sind. Parallel zu Lorentz hatte auch Max Abrahams (1902, 1903) eine Elektronentheorie entwickelt, mit jedoch stark von Lorentz abweichenden Formeln für die longitudinale und transversale Masse.
Walter Kaufmann überprüfte nun in einer Reihe von Messungen (von 1901 bis 1903) die transversale Masse von Kathodenstrahlen und fand (nach Korrektur eines Rechenfehlers) eine angeblich gute Übereinstimmung mit der Theorie Abrahams. Jedoch 1904 konnte Lorentz zeigen, dass auch seine Theorie mit den Kaufmannschen Daten übereinstimmte, sodass Kaufmann 1905 eine Reihe neuer Messungen vornahm (dazu weiter unten mehr).

Einstein waren zu diesem Zeitpunkt (nach eigenen Aussagen) die entsprechenden Arbeiten von Lorentz (1899, 1904) nicht bekannt, wofür auch die Tatsache spricht, dass Einstein (wie im folgenden geschildert wird) einen falschen Ausdruck für die transversale Masse benutzte, wogegen der ältere Wert von Lorentz korrekt war. Die Terminologie "longitudinale" und "transversale" Masse dürfte Einstein aus einigen Arbeiten Abrahams in den Annalen der Physik übernommen haben.

Das Elektron bei longitudinaler Beschleunigung verhält sich so, als hätte es die Masse μ x β³, und dieses Ergebnis ist sogar richtig, weil X = X' ist. Das heißt, die longitudinale Feldstärke ist in beiden Systemen dieselbe und damit auch die Kraft auf das Elektron. (Einsteins oben beschriebener Fehler hat hier also keine Auswirkung.) Falsch ist und bleibt nur die Vorstellung, das Elektron hätte longitudinal eine andere Masse als transversal. (Ich komme später darauf zurück.)

Dagegen ist der von Einstein berechnete Wert der transversalen Masse falsch.

Der Fehler rührt – wie schon gesagt - daher, dass Einstein als Kraft die in k wirkende Kraft einsetzt, anstatt der in K wirkenden:

$F_{K}=\varepsilon \left({Y-{\frac {v}{V}}N}\right),$

und der Quotient aus Kraft und Beschleunigung, also die Masse des Elektrons, ist

$m=\mu \,\beta ={\frac {\mu }{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}.$

Hier darf nämlich das dynamische Grundgesetz in seiner verkürzten Form benutzt werden, weil sich nämlich die Geschwindigkeit des Elektrons und damit auch seine Masse bei transversaler Beschleunigung zunächst (das heißt zum betrachteten Zeitpunkt t = τ = 0) nicht ändert. Erst wenn das Elektron eine von 0 verschiedene Transversalgeschwindigkeit erlangt hat, wirkt sich eine weitere Beschleunigung auch auf die Gesamtgeschwindigkeit des Elektrons aus.

Die transversale Masse des Elektrons (allgemein: eines Körpers) ist nun seine tatsächliche, mit der Geschwindigkeit veränderliche Masse. Sie äußert sich unmittelbar bei Beschleunigung des Körpers quer zu seiner Bewegungsrichtung.

Und was hat es mit der longitudinalen Masse auf sich? Nach dem dynamischen Grundgesetz (dem 1. Newtonschen Axiom) ist Kraft = Masse mal Beschleunigung. Bestimmt man danach die Masse des Elektrons wie oben als Quotient von Kraft und Beschleunigung, so erhält man (bei Beschleunigung in Bewegungsrichtung) den oben angegebenen Wert. Aber: Das dynamische Grundgesetz in der angegebenen Form gilt nur, wenn die Masse des Körpers konstant ist. Ist sie das nicht, so gilt das allgemeinere Gesetz: Kraft = Änderungsgeschwindigkeit des Impulses:

${\overrightarrow {F}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {p}}}{\operatorname {d} t}}\quad {\mbox{und}}\quad F={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} \left({m\,v}\right)}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} m}{\operatorname {d} t}}v+m{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}=\left({\frac {\operatorname {d} m}{\operatorname {d} v}}v+m\right){\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}$

Setzt man in diese Gleichung die relativistische Masse

$m={\frac {\mu }{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}=\mu \left({1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}\right)^{-{\frac {1}{2}}},$

ein, so ergibt sich mit

${\frac {\operatorname {d} m}{\operatorname {d} v}}=\mu {\frac {v}{V^{2}\left({1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}}$

schließlich

$F={\frac {\mu }{\left({1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}}{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}$

und

${\frac {F}{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}}={\frac {F}{a}}={\frac {\mu }{\left({1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Das bedeutet: Betrachtet man den Quotienten aus Kraft und Beschleunigung in hier nicht erlaubter Weise als die Masse des Körpers, so erhält man tatsächlich den als longitudinale Masse bezeichneten Wert.

Zusammenfassung:

Ein Körper mit der »Ruhemasse« μ (das ist die Masse, die er für einen relativ zu ihm ruhenden Beobachter besitzt) hat für einen relativ zu ihm mit der Geschwindigkeit v bewegten Beobachter die Masse

$m={\frac {\mu }{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}.$

Wirkt auf den Körper senkrecht zur Bewegungsrichtung die Kraft F ein (gemessen im System des Beobachters), so gilt

$F=m\,a={\frac {\mu }{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}a,$

weil in diesem Fall wegen m = konst. das dynamische Grundgesetz in seiner verkürzten Form angewendet werden kann.

Wirkt dagegen auf den Körper eine Kraft in Bewegungsrichtung ein, so gilt

$F={\frac {\operatorname {d} m}{\operatorname {d} t}}v+m{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} m}{\operatorname {d} t}}v+m\,a\quad {\mbox{mit}}\quad m={\frac {\mu }{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}.$

Für die erzielte Beschleunigung gilt dann

$a={\frac {F-{\frac {\operatorname {d} m}{\operatorname {d} t}}v}{m}}.$

Wie man sieht, ist die Beschleunigung kleiner als im ersten Fall, aber nicht darum, weil die Masse des Körpers größer wäre, sondern weil ein Teil der Kraft zur Vergrößerung der Masse gebraucht wird.

Ein ponderabler (d. h. wägbarer) materieller Punkt ist ein Massenpunkt.

Mit dem Integranden nimmt Einstein folgende Umformungen vor:

$\varepsilon \,X\,\operatorname {d} x=\mu \,\beta ^{3}{\frac {\operatorname {d} ^{2}{x}}{\operatorname {d} t^{2}}}\operatorname {d} x=\mu \,\beta ^{3}{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}\operatorname {d} x=\mu \,\beta ^{3}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\operatorname {d} v=\mu \,\beta ^{3}v\operatorname {d} v.$

Nach der Substitution

$1-{\frac {v^{2}}{V^{2}}}=u$

ist die Integration einfach. Das Ergebnis lässt sich dann wie folgt umformen:

$W=\mu \,V^{2}\left({{\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}-1}\right)=V^{2}\left({{\frac {\mu }{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}-\mu }\right)=V^{2}\left({m-\mu }\right)=\Delta m\,V^{2},$

wobei m die Masse des Körpers bei der Geschwindigkeit v und Δm seine Massenzunahme m – μ bedeuten.

Wie man sieht, war Einstein hier schon ganz nahe daran, die Trägheit der Energie zu entdecken – wenn er nur den relativistischen Ausdruck für die Masse identifiziert, also zuvor die »transversale Masse« richtig berechnet hätte. So aber vergingen noch einige Monate, bis Einstein diese Entdeckung auf ganz anderem Wege machen dann konnte (Einstein, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?, Annalen der Physik, Jg. 18, 1905, S. 639 ff.).

Zum selben Ergebnis gelangt man, wenn man vom vollständigen dynamischen Grundgesetz ausgeht und dann die richtige Masse einsetzt:

$F={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left({m\,v}\right)={\frac {\operatorname {d} m}{\operatorname {d} t}}v+m{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}},$

$W=\int _{0}^{x_{\operatorname {e} }}{F\,\operatorname {d} x}=\int _{0}^{x_{\operatorname {e} }}{\left({{\frac {\operatorname {d} m}{\operatorname {d} t}}v\,\operatorname {d} x+m{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}\operatorname {d} x}\right)}=\int _{0}^{x_{\operatorname {e} }}{\left({v^{2}\operatorname {d} m+m\,v\operatorname {d} v}\right)}.$

Setzt man nun

$m={\frac {\mu }{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}},$

so kommt man nach einigen Umrechnungen auf dasselbe Integral wie oben.

Wenn man die Integrale über die beiden Summanden getrennt berechnet, erfährt man, welcher Anteil der aufgewendeten Energie zur Steigerung der Geschwindigkeit und damit zu Erhöhung der kinetischen Energie im ursprünglichen Sinn führt (Integral über den 2. Summanden. - Diese Energie ist natürlich auch träge und trägt zur gesamten Massensteigerung bei.) Mit der Steigerung der Geschwindigkeit ist aber auch eine relativistische Massenzunahme verbunden; ihre Energie gibt das Integral über den 1. Summanden an.

Historisches:
Wie oben geschildert begann Kaufmann 1905 erneut, die transversale Masse der Kathodenstrahlen zu messen. Inzwischen war auch Einsteins Arbeit erschienen und Kaufmann erkannte, dass trotz völlig unterschiedlicher Voraussetzungen die Mathematik und somit die experimentellen Vorhersagen der Theorien von Lorentz und Einstein äquivalent sind. Er merkte an, dass bei korrekter Rechnung sich auch nach Einsteins Theorie die selbe transversale Masse wie bei Lorentz ergibt. Deshalb bezeichnete er das "Relativitätsprinzip" als die "Lorentz-Einsteinsche" Grundannahme. Kaufmann glaubte nun, die Theorien von Lorentz und Einstein widerlegt, und die Theorie Abrahams bewiesen zu haben. Doch zeigten später angefertigte Analysen diverse Fehler in Kaufmanns Messmethoden auf, und spätere Messungen durch Alfred Bucherer (1908) und anderen bestätigten die Lorentz-Einsteinsche Formel für die relativistische (transversale) Masse. (In modernen Teilchenbeschleunigern ist die Bestätigung der Vorhersagen der Relativitätstheorie bereits Routine).
Während anfangs noch der Begriff "Lorentz-Einstein-Theorie" benutzt wurde, erkannten immer mehr Forscher den fundamentalen konzeptionellen Unterschied zwischen der Lorentzschen Äthertheorie und der Einsteinschen Relativitätstheorie, sodass die Relativitätstheorie - elegant reformuliert durch Hermann Minkowski als vierdimensionaler Raumzeitformalismus - sich in der Fachwelt immer mehr durchzusetzen begann.

Quellen

Für ausführlichere Quellenangaben siehe Geschichte der speziellen Relativitätstheorie

• Miller, A.I.: Albert Einstein’s special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905–1911). Addison–Wesley, Reading 1981, ISBN 0-201-04679-2.

• Das Relativitätsprinzip und seine Ableitung wurde ausführlich diskutiert im Briefwechsel zwischen Hendrik Antoon Lorentz und Emil Wiechert, siehe: Wilfried Schroeder, Hendrik A. Lorentz und Emil Wiechert. Arch. hist. ex. sci., 1984.

• Thomson, Joseph John. “On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies”. Philosophical Magazine, 11:229-249, 1881.

• Lorentz, Hendrik Antoon. “Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems”. Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences, 1:427–442, 1899.

• Lorentz, Hendrik Antoon. “Über die scheinbare Masse der Ionen”. Physikalische Zeitschrift, 2:78-80, 1900.

• Kaufmann, Walter. “Die elektromagnetische Masse des Elektrons”. Physikalische Zeitschrift, 4:54–56, 1902.

• Abraham, Max. “Prinzipien der Dynamik des Elektrons”. Annalen der Physik, 315:105–179, 1903.

• Lorentz, Hendrik Antoon. Das Relativitätsprinzip. Eine Sammlung von Abhandlungen, Elektromagnetische Erscheinungen in einem System, das sich mit beliebiger, die des Lichtes nicht erreichender Geschwindigkeit bewegt, pages 6-26. B.G. Teubner, (Original 1904, Übersetzung 1913).

• Kaufmann, Walter. “Über die Konstitution des Elektrons”. Annalen der Physik, 324:487–553, 1906.

• Bucherer, A. H.. “Messungen an Becquerelstrahlen. Die experimentelle Bestätigung der Lorentz-Einsteinschen Theorie.”. Physikalische Zeitschrift, 9:755–762, 1908.

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