A. Einstein: Kommentare und Erläuterungen: Zur Elektrodynamik bewegter Körper: Elektrodynamischer Teil: §7

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  § 7. Dopplersches Prinzip und Aberration[Bearbeiten]

Einstein 910-2.PNG

Der Vater des nach ihm benannten Prinzips heißt Doppler, nicht Doppeler.

»Elektrodynamische Wellen« heißen heute elektromagnetische Wellen.

Bei sehr großer Entfernung der Quelle von O sind die Wellen in der Umgebung von O praktisch eben, und als solche werden sie hier mathematisch dargestellt. Mit Vektorgleichungen können sie so beschrieben werden:




Φ ist der so genannte Phasenwinkel. Für eine ebene Welle kann er dargestellt werden als



wenn für t = 0 im Ursprung O Φ = 0 ist. ω ist die Kreisfrequenz der Welle (ω = 2 π f). In der folgenden Abbildung ist zur Vereinfachung angenommen, dass die Frontebenen der Welle (blaue Linien) auf der XY-Ebene senkrecht stehen.


Doppler 01.PNG


Der Einheitsvektor der Wellennormalen ist n = (a   b   c) = (cos α   cos β   cos γ).

Der Betrag des Skalarprodukts r n = ax + by + cz ist gleich der Länge der senkrechten Projektion von r auf n, also gleich dem Abstand OA. Der Quotient



ist die Laufzeit der Welle von A nach O. (Im abgebildeten Fall ist diese negativ, da r und n einen stumpfen Winkel bilden, und der Punkt A von der Welle früher erreicht wird als O.



Einstein 910-3.PNG
Einstein 911-1.PNG


Dies bedarf wohl einer Erklärung. Zunächst ist sieben Mal Φ' durch Φ zu ersetzen, denn der Phasenwinkel der Welle im Punkt P ist eine »absolute« Größe, die nicht vom Bezugssystem abhängt. Er kann zwar zum Einen durch die Parameter ω, a, b, c und die Orts- und Zeitkoordinaten x, y, z, t in K, zum Anderen durch die entsprechenden Größen in k ausgedrückt werden, aber das rechtfertigt noch nicht zwei verschiedene Bezeichnungen für dieselbe Größe. Dies bestätigt auch die Durchführung der Rechnung. Ausgehend von



findet man mittels der Transformationsgleichungen für t, x, y und z zunächst:



und durch Ordnen



Wenn wir nun bedenken, dass im System k für Φ gelten muss



wobei ω' die Kreisfrequenz der Welle in k,

τ der betrachtete Zeitpunkt in k,

ξ, η, ζ die Koordinaten von P in k und

a' , b' , c' die Richtungskosinus der Wellennormalen in k sind, dann müssen wir – um die beiden Gleichungen vergleichen zu können - die Gleichung (3) zunächst umformen:



Jetzt ergibt ein Vergleich der einander entsprechenden Größen:



Einstein 911-02.PNG


Den Inhalt dieses langen Satzes erklärt folgende Abbildung:


Doppler 021.PNG

cos φ ist der »erste« Richtungskosinus, meist cos α genannt, und hier identisch mit der Größe a in den obigen Formeln.



Einstein 911-3.PNG
Einstein 912-1.PNG


Korrektur: Ersetze durch -V.

Für φ = 0 bewegt sich das Licht nach rechts, parallel zur X-Achse. Wenn dann v < 0 ist, bewegt sich k dem Licht entgegen.


Einstein 912-2.PNG


Zum 2. Absatz: Es muss heißen: "Nennt man φ' den Winkel zwischen Wellennormale (Strahlrichtung) im bewegten System und der Ξ-Achse, so ..."

Zum 4. Absatz: Es ist gleichgültig, ob man mit A die Amplitude des elektrischen oder die des magnetischen Feldvektors bezeichnet, weil diese im CGS-System bei einer elektromagnetischen Welle gleich sind.

Zu dem Ergebnis kommt man folgendermaßen:

Wir betrachten einen Lichtstrahl, der in der XY-Ebene verläuft und mit der X-Achse den Winkel φ bildet. Der Lichtstrahl sei linear polarisiert, und zwar so, dass der elektrische Feldvektor in der XY-Ebene, der magnetische Feldvektor parallel zur Z-Achse schwingt. Die Amplitude der elektrischen Feldstärke sei E0, die der magnetischen Feldstärke H0 = N0.


Doppler 03.PNG


Im CGS-System ist die Amplitude des elektrischen Feldes gleich der des magnetischen Feldes: E0 = H0.

Wir zerlegen E0 in die Komponenten X0 und Y0. Es ist



und



Im relativ zu K mit der Geschwindigkeit v bewegten System k ist



oder



und somit



und schließlich


Dasselbe Ergebnis erhält man, wenn die Polarisationsrichtung der Welle um 90° gedreht ist. Bei beliebiger Polarisationsrichtung kann die Welle in zwei Teilwellen zerlegt werden, welche die oben behandelten Polarisationsrichtungen haben. Das Ergebnis gilt also ganz allgemein.


Zum letzten Absatz ist anzumerken, dass hier wieder v = - V zu setzen ist.

 

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