Abstellraum: Strukturwissenschaften: Gebrochene Ableitung

Gebrochene Ableitung

Schnelleinstieg, für Leute die schnelle Ergebnisse suchen

Also das hier ist für welche, die kurz schnelle Ergebnisse suchen, ohne große Qualitätsansprüche zu stellen.

Eine gebrochene Ableitung kann nur in zwei Schritten berechnet werden. Der erste Schritt ist es, gebrochen zu Integrieren und dann im zweiten Schritt folgt eine gewöhnliche Ableitung. Diese Schritte können auch in anderer Reihenfolge ausgeführt werden, das Ergebnis ist allerdings ein anderes. Dabei wird die Gamma Funktion und die Cauchy Formel für wiederholte Integrale verwendet. Die Gamma Funktion interpoliert die Fakultätsfunktion.

• $\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }y^{x-1}e^{-y}dy$

der Zusammenhang zu Fakultät ist:

• $\Gamma (n+1)=n!$

da

• $\Gamma (x-1)\cdot x=\Gamma (x)$

Dies lässt sich leicht anhand partieller Integration herleiten.

Für halbzahligen Argumente gibt es eine Berechnungsvorschrift, womit das Integral erspart werden kann

• $\Gamma {\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}={\sqrt {\pi }}$ und $\Gamma {\bigg (}n+{\frac {1}{2}}{\bigg )}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2n}}{\sqrt {\pi }}$