Abstellraum: Strukturwissenschaften: Matrizen

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Allgemein[Bearbeiten]

Matrizen sind ein sehr wichtiges mathematisches Werkzeug. Zum Beispiel lässt sich jede Tabelle mit Zahleneinträgen als Matrix auffassen. Auch in der Programmierung mathematischer Strukturen wird mit Matrizen gerechnet. Elementare Berechnungen in der 3D-Programmierung, z.B Rotation oder Spiegelungen, gehören dazu.

Definition: Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von reellen Zahlen .

Für die Zeilenanzahl m gilt 1 <= i <= m und analog für die Spaltenanzahl n: 1 <= j <= n.

nennt man eine Matrix vom Format .

Besondere Matrizen[Bearbeiten]

quadratische Matrix[Bearbeiten]

Ist die Anzahl der Zeilen gleich der Anzahl der Spalten, so heißt die Matrix quadratisch. Ihr Format m * n nennt man dann auch die Ordnung der Matrix. Elemente mit gleichem Zeilen- und Spaltenindex i = j heißen Hauptdiagonalelemente.

Diagonalmatrix[Bearbeiten]

Diagonalmatrizen sind quadratische Matrizen, deren Hauptdiagonalelemente ungleich null sind, während alle anderen Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen gleich null sind.

Einheitsmatrix[Bearbeiten]

Einheitsmatrizen sind Diagonalmatrizen, deren Hauptdiagonalelemente gleich eins sind.

Die quadratische Matrix mit n Hauptdiagonalelementen und sonst 0, nennt man n-dimensionale Einheitsmatrix.

Operationen[Bearbeiten]

Summe[Bearbeiten]

Aus zwei Matrizen kann eine Summe gebildet werden, wenn sie formatgleich sind, d.h. sie die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten aufweisen. Es werden jeweils die Elemente addiert, die den gleichen Index haben.

Multiplikation mit Skalaren[Bearbeiten]

Eine Matrix kann mit einer Zahl multipliziert werden. Hierzu wird jedes Element der Matrix mit multipliziert.

Multiplikation zweier Matrizen[Bearbeiten]

Die Multiplikation zweier Matrizen gestaltet sich etwas schwieriger.

Als Vorbedingung müssen die Matrizen, die multipliziert werden sollen, formatverträglich sein, d.h. ein bestimmtes Format haben:

Ist die erste Matrix vom Format (m x n), also m Zeilen und n Spalten, so muss die zweite Matrix n Zeilen und eine beliebige Anzahl p Spalten besitzen. Ihr Format ist also (n x p). Das Matrizenprodukt ist dann eine Matrix des Formats (m x p).

Die Berechnung läßt sich mathematisch recht einfach schreiben.

Jedes Element der Ergebnismatrix C = A * B berechnet sich folgendermaßen:

in Worten: Um das Element der Ergebnismatrix C in der Zeile i und der Spalte j zu berechnen , nimmt man aus der Matrix A die i. Zeile und aus der Matrix B die j. Spalte (am besten bunt markieren). Aus diesen multipliziert man die ersten Elemente miteinander, dann die zweiten, dann die dritten usw.. Zum Schluß bildet man aus diesen Produkten die Summe.


Ein Beispiel: