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Analysis: Differenzierbarkeit einer Funktion

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Differenzierbarkeit für Funktionen auf Banachräumen

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Seien und Banachräume, sei offen und sei eine Funktion. Dann heißt differenzierbar in , falls ein Operator und eine Funktion existieren, so daß folgendes gilt:

1. ist stetig in mit

2. Für alle ist .

heißt differenzierbar auf , wenn differenzierbar in ist für alle

Ist differenzierbar in , dann ist der Operator eindeutig bestimmt.

Sind nämlich und sind stetig in mit und bzw. für , dann erhält man durch Subtraktion der Gleichungen nach Umstellen die Gleichung für alle . Ist nun mit , dann ist durch eine Folge in definiert mit . Setzt man nun für in obige Gleichung ein, erhält man und damit für alle . Durch Grenzübergang folgt nun mit der Stetigkeit der Funktionen und , daß . Also ist für alle mit . Für beliebiges folgt dann aus der Linearität der Operatoren und für ist die Gleichung trivial.

Der somit eindeutig bestimmte Operator wird meist mit bezeichnet. Die Abbildung heißt Ableitung der Funktion .


Beispiele:

1. Sei und sei . Dann ist differenzierbar auf ganz mit für alle . Dies folgt einfach aus der Linearität von wegen für alle .

2. Sei fest und sei . Dann ist differenzierbar auf ganz mit für alle . Auch dies ist leicht einsehbar, da für alle gilt.

3. Seien Banachräume, sei offen, sei differenzierbar in und sei . Dann ist auch die Abbildung differenzierbar in mit .

Aus folgt wegen Linearität von die Gleichung und die Funktion ist stetig in als Komposition stetiger Funktionen mit , also ist , d.h. ein Operator , der nach der Funktion zur Anwendung kommt, kann aus der Ableitung „herausgezogen“ werden. Aber Vorsicht: Stehen und in umgekehrter Reihenfolge, folgt aus der Kettenregel: .


Differenzierbarkeit reeller Funktionen

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Im Fall beachte, daß isometrisch isomorph ist zu vermöge der kanonischen Einbettung mit mit der Inversen . Die Aussage „ ist differenzierbar in “ bedeutet also die Existenz einer reellen Zahl sowie einer in stetigen Funktion mit , so daß . Als Schreibweise hierfür wird auch verwendet, die Ableitung kann also wiederum als reelle Funktion aufgefaßt werden und wird mit bezeichnet.